Convergences et théorèmes limites en prépa ECG : loi faible des grands nombres et théorème limite central

Les convergences et théorèmes limites en bref

Ce que disent les programmes officiels

Les programmes de mathématiques de la classe ECG sont fixés par l'arrêté du 5 janvier 2021, publié au Bulletin officiel spécial n° 1 du 11 février 2021 : annexe 1 pour les mathématiques appliquées, annexe 2 pour les mathématiques approfondies. Ils s'appliquent depuis la rentrée 2021 en première année et 2022 en deuxième année.

En maths approfondies, la partie « Convergences et approximations » du second semestre de première année familiarise avec ces notions « sans définir la convergence en probabilité ni la convergence en loi » : inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev pour les variables discrètes, loi faible des grands nombres, approximation de B(n, λ/n) par P(λ). Au quatrième semestre, le programme propose de rappeler ces inégalités, puis définit la convergence en probabilité et la convergence en loi, énonce le théorème limite central et donne des exemples d'approximation des lois binomiale et de Poisson par la loi normale.

En maths appliquées, la première année se contente de remarquer, au second semestre, que P(λ) est « loi limite » de B(n, λ/n), notion précisée en deuxième année. Tout le reste arrive au quatrième semestre : inégalité de Markov, « résultat non exigible », inégalité de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres, convergence en loi, théorème limite central et approximations normales. La convergence en probabilité n'y figure pas.

Dans les deux options, le théorème limite central est admis, et le programme pose une règle précieuse : « toutes les indications devront être fournies aux candidats quant à la justification de l'utilisation des approximations ».

L'inégalité de Markov

Énoncé. Si X est une variable aléatoire à valeurs positives qui admet une espérance, alors pour tout réel a > 0 :

P(X ≥ a) ≤ E(X) / a

Démonstration dans le cas discret. E(X) est la somme des x P(X = x), dont tous les termes sont positifs. Elle est donc supérieure à la somme restreinte aux x ≥ a, elle-même au moins égale à a fois la somme des P(X = x) pour x ≥ a, c'est-à-dire a P(X ≥ a). Pour une variable à densité, on raisonne de même avec l'intégrale de x f(x) sur [a, +∞[.

Exemple corrigé. Tu lances un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6 : le nombre X de lancers suit G(1/6), donc E(X) = 6, et Markov donne P(X ≥ 30) ≤ 6/30 = 0,2. La vraie valeur est P(X > 29) = (5/6)^29 ≈ 0,0051. La majoration est juste mais grossière : elle n'utilise que l'espérance.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé. Si X admet une variance, c'est-à-dire un moment d'ordre 2, alors pour tout ε > 0 :

P(|X − E(X)| ≥ ε) ≤ V(X) / ε²

Démonstration. Y = (X − E(X))² est positive, d'espérance V(X), et les événements [|X − E(X)| ≥ ε] et [Y ≥ ε²] sont égaux. L'inégalité de Markov appliquée à Y avec a = ε² conclut. C'est une question de cours classique.

Avec ε = kσ, où σ > 0 est l'écart type, on obtient P(|X − E(X)| ≥ kσ) ≤ 1/k² : quelle que soit sa loi, une variable de variance non nulle s'écarte de sa moyenne d'au moins deux écarts types avec une probabilité d'au plus 1/4.

Exemples corrigés.

• Pour X de loi G(1/6), V(X) = (5/6) / (1/36) = 30. Comme [X ≥ 30] est inclus dans [|X − 6| ≥ 24], P(X ≥ 30) ≤ 30/576 ≈ 0,052, près de quatre fois mieux que Markov.

• Le nombre X de piles en 100 lancers d'une pièce équilibrée suit B(100, 1/2), avec E(X) = 50 et V(X) = 25 : P(|X − 50| ≥ 10) ≤ 25/100 = 0,25, pour une vraie valeur d'environ 0,057.

La loi faible des grands nombres

Énoncé en maths approfondies. Si (Xn) est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, qui admettent une espérance m et une variance, et si X̄n = (X1 + … + Xn) / n, alors pour tout ε > 0, P(|X̄n − m| ≥ ε) tend vers 0 quand n tend vers +∞.

En maths appliquées, les Xn sont supposées indépendantes et admettant une même espérance m et une même variance, sans exiger qu'elles aient la même loi. La démonstration montre pourquoi cela suffit.

Démonstration. Note σ² la variance commune. Par linéarité, E(X̄n) = m ; par indépendance, V(X̄n) = (1/n²) × nσ² = σ²/n. Bienaymé-Tchebychev donne P(|X̄n − m| ≥ ε) ≤ σ² / (nε²), qui tend vers 0.

Appliquée à des variables de Bernoulli de paramètre p, elle dit que la fréquence de succès se rapproche de p : le programme de maths approfondies y voit un moyen de « conforter l'approche intuitive de probabilité d'un événement ». C'est aussi le principe de la méthode de Monte-Carlo.

Exemple corrigé. Combien de lancers d'une pièce équilibrée faut-il pour que la fréquence de piles Fn s'écarte de 1/2 d'au moins 0,05 avec une probabilité d'au plus 0,05 ? Ici V(Fn) = 1/(4n), donc P(|Fn − 1/2| ≥ 0,05) ≤ 1 / (4n × 0,0025) = 100/n. Il suffit que 100/n ≤ 0,05, soit n ≥ 2 000.

La convergence en probabilité, en maths approfondies

Définition. (Xn) converge en probabilité vers X si, pour tout ε > 0, P(|Xn − X| ≥ ε) tend vers 0 quand n tend vers +∞. La loi faible des grands nombres dit alors que X̄n converge en probabilité vers m. Le programme ajoute deux propriétés :

• si Xn converge en probabilité vers X et si f est continue sur R, f(Xn) converge en probabilité vers f(X), résultat admis ;

• si Xn converge en probabilité vers X et Yn vers Y, Xn + Yn converge en probabilité vers X + Y.

Ainsi X̄n² converge en probabilité vers m². Tu retrouveras cette notion en estimation : en maths approfondies, une suite d'estimateurs est convergente si elle converge en probabilité vers la quantité à estimer.

La convergence en loi

Définition. (Xn) converge en loi vers X si FXn(x) tend vers FX(x) en tout réel x où FX est continue. Quand les Xn et X sont à valeurs entières, cela équivaut à la convergence de P(Xn = k) vers P(X = k) pour tout entier k : le programme de maths approfondies l'énonce pour des valeurs dans N, celui de maths appliquées pour des valeurs dans Z, avec la mention « Résultat admis ». Les maths approfondies ajoutent que f(Xn) converge en loi vers f(X) si f est continue sur R, résultat admis.

Exemple 1 : de la loi binomiale à la loi de Poisson

Soit λ > 0 et, pour n > λ, Xn de loi B(n, λ/n). Pour tout entier naturel k et n ≥ k :

P(Xn = k) = [n(n − 1)…(n − k + 1) / n^k] × (λ^k / k!) × (1 − λ/n)^n × (1 − λ/n)^(−k)

Le crochet est un produit de k facteurs qui tendent vers 1. Ensuite, (1 − λ/n)^n = exp(n ln(1 − λ/n)) tend vers e^(−λ), car n ln(1 − λ/n) tend vers −λ, et le dernier facteur tend vers 1. Donc P(Xn = k) tend vers e^(−λ) λ^k / k! : Xn converge en loi vers une variable de loi P(λ). Pour B(100 ; 0,03), P(X = 0) = 0,97^100 ≈ 0,048, contre e^(−3) ≈ 0,050 pour P(3). Ces deux lois sont détaillées dans notre guide des lois de probabilité usuelles en prépa ECG.

Exemple 2 : un maximum de variables uniformes

Soit U1, …, Un indépendantes de loi uniforme sur [0, 1], Mn leur maximum et Tn = n(1 − Mn). Par indépendance, P(Mn ≤ t) = t^n pour t dans [0, 1]. Pour 0 ≤ x ≤ n, P(Tn ≤ x) = P(Mn ≥ 1 − x/n) = 1 − (1 − x/n)^n, qui tend vers 1 − e^(−x) ; pour x < 0, P(Tn ≤ x) = 0. On reconnaît la fonction de répartition de la loi E(1), continue sur R : Tn converge en loi vers une variable de loi E(1). Calculer FTn puis passer à la limite à x fixé est un schéma classique.

Un piège : converger en loi ne veut pas dire se rapprocher

Si X suit N(0, 1) et Xn = −X pour tout n, chaque Xn suit N(0, 1), donc la suite converge en loi vers X. Pourtant |Xn − X| = 2|X| ne tend pas vers 0. La convergence en loi porte sur les lois, pas sur les valeurs.

Le théorème limite central

Énoncé. Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, admettant une espérance m et une variance σ² non nulle, et X̄n = (X1 + … + Xn) / n. Alors la suite des variables centrées réduites :

Zn = √n (X̄n − m) / σ

converge en loi vers une variable de loi normale centrée réduite. Le programme en déduit que, pour −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞, P(a ≤ Zn ≤ b) tend vers l'intégrale de a à b de exp(−t²/2) / √(2π), soit Φ(b) − Φ(a). Ces résultats sont admis dans les deux options.

Avec Sn = X1 + … + Xn, on a E(Sn) = nm, V(Sn) = nσ² et Zn = (Sn − nm) / (σ√n) : la somme centrée réduite suit approximativement N(0, 1) pour n grand, quelle que soit la loi de départ. Pour manipuler Φ et sa table, appuie-toi sur notre guide des variables à densité et de la loi normale en prépa ECG.

Exemple corrigé. On lance 100 fois un dé équilibré, et S est la somme des résultats. Chaque lancer a pour espérance 7/2 et pour variance 35/12, donc E(S) = 350 et σ√n = 10√(35/12) ≈ 17,08. Avec Φ(1,96) ≈ 0,975, P(|S − 350| ≤ 1,96 × 17,08) ≈ 2Φ(1,96) − 1 ≈ 0,95. Comme 1,96 × 17,08 ≈ 33,5 et que S est entière, S est comprise entre 317 et 383 avec une probabilité d'environ 95 % ; le calcul exact donne 0,950.

Retour sur la pièce. Pour la fréquence Fn, m = σ = 1/2, donc Zn = 2√n (Fn − 1/2), et |Fn − 1/2| ≥ 0,05 équivaut à |Zn| ≥ 0,1√n. Demander 0,1√n ≥ 1,96 donne n ≥ 385, contre 2 000 avec Bienaymé-Tchebychev. Mais c'est une approximation : pour n = 385, la probabilité exacte vaut environ 0,053. Bienaymé-Tchebychev donne une garantie, le théorème limite central une estimation plus fine mais asymptotique ; les deux programmes proposent de comparer les intervalles de confiance ainsi obtenus.

Les approximations par la loi normale

Le programme demande des « exemples d'approximations de la loi binomiale et de la loi de Poisson par la loi normale ». Les deux découlent du théorème limite central.

Binomiale. Si X suit B(n, p), X a la même loi qu'une somme de n variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p, donc (X − np) / √(np(1 − p)) suit approximativement N(0, 1) pour n grand. Exemple : pour X de loi B(400, 1/2), np = 200 et √(np(1 − p)) = 10, d'où P(X ≥ 220) = P((X − 200)/10 ≥ 2) ≈ 1 − Φ(2) ≈ 1 − 0,9772 = 0,0228. La valeur exacte est environ 0,0255.

Poisson. Par stabilité, une variable de loi P(n) a la même loi qu'une somme de n variables indépendantes de loi P(1), d'espérance et de variance 1. Pour X de loi P(λ), (X − λ) / √λ suit donc approximativement N(0, 1) pour λ entier grand, et le résultat reste vrai pour λ réel grand. Exemple : pour X de loi P(100), P(X ≤ 80) = P((X − 100)/10 ≤ −2) ≈ Φ(−2) ≈ 0,0228, pour une valeur exacte d'environ 0,0226.

Aucun des deux programmes ne fixe de seuil numérique ni de correction de continuité : reprends les indications du sujet, cite le théorème utilisé, centre avec l'espérance et réduis avec l'écart type.

Illustrer les théorèmes limites en Python

En maths approfondies, les travaux pratiques proposent de comparer expérimentalement B(n, λ/n) et P(λ) dès la première année, puis, en deuxième année, de simuler une loi normale par le théorème limite central, avec le cas de 12 variables uniformes. En maths appliquées, on observe la convergence en loi d'une chaîne de Markov vers son état stable et on compare des intervalles de confiance. Les commandes ci-dessous figurent dans les listes officielles.

Loi faible des grands nombres : on suit la fréquence des 6 sur 10 000 lancers de dé.

• import numpy as np

• import numpy.random as rd

• n = 10000

• X = rd.randint(1, 7, n)

• F = np.cumsum(X == 6) / np.arange(1, n + 1)

• print(F[99], F[999], F[9999])

Ces fréquences varient d'une exécution à l'autre mais se resserrent autour de 1/6 ≈ 0,167.

Théorème limite central : on simule 100 000 sommes de 100 lancers, centrées et réduites.

• N = 100000

• S = np.sum(rd.randint(1, 7, [N, 100]), 1)

• Z = (S - 350) / np.sqrt(3500 / 12)

• print(np.mean(np.abs(Z) <= 1.96))

La proportion affichée est proche de 0,95, comme dans l'exemple corrigé.

Approximation par la loi de Poisson, avec les mêmes importations et la même valeur de N :

• X = rd.binomial(100, 0.03, N)

• Y = rd.poisson(3, N)

• print(np.mean(X == 0), np.mean(Y == 0))

Les deux valeurs sont proches de 0,048 et 0,050. En maths approfondies, la liste officielle ajoute sp.ndtr, de scipy.special, qui calcule Φ : après import scipy.special as sp, 1 - sp.ndtr(2) renvoie environ 0,0228.

Les erreurs fréquentes

• Oublier une hypothèse : Markov exige une variable positive, Bienaymé-Tchebychev une variance, le théorème limite central des variables indépendantes de même loi avec une variance non nulle.

• Diviser par σ au lieu de σ√n : Sn a pour écart type σ√n, X̄n a pour écart type σ/√n.

• Confondre σ et σ² : pour B(400, 1/2), la variance vaut 100 et on divise par 10.

• Oublier les points de continuité : la définition de la convergence en loi ne porte que sur les points où FX est continue.