Lois de probabilité usuelles en prépa ECG : formules, espérance et variance

Les lois usuelles en bref

Ici p est un réel de ]0, 1[, λ et ν des réels strictement positifs, σ > 0, et C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) est le coefficient binomial « k parmi n ». Les densités sont nulles en dehors des intervalles indiqués.

Ce que disent les programmes officiels

Les programmes de mathématiques de la classe ECG sont fixés par l'arrêté du 5 janvier 2021, publié au Bulletin officiel spécial n° 1 du 11 février 2021. Ils s'appliquent depuis la rentrée 2021 en première année et depuis la rentrée 2022 en deuxième année. L'annexe 1 contient le programme de mathématiques appliquées, l'annexe 2 celui de mathématiques approfondies.

Les lois à densité arrivent donc en deuxième année dans les deux options, au troisième semestre en approfondies et au quatrième en appliquées. Les deux programmes demandent de savoir représenter les densités des lois normales et d'utiliser la fonction de répartition Φ de la loi normale centrée réduite. Pour les approximations par la loi normale, ils précisent que « toutes les indications devront être fournies aux candidats quant à la justification de l'utilisation des approximations ».

Les lois discrètes finies

La loi de Bernoulli

Situation type : une seule épreuve à deux issues, succès ou échec. X vaut 1 en cas de succès, 0 sinon, et X ↪ B(p) avec P(X = 1) = p. L'indicatrice d'un événement A suit la loi de Bernoulli de paramètre P(A).

Espérance et variance : E(X) = 0 × (1 − p) + 1 × p = p. Comme X² = X, E(X²) = p, et la formule de Koenig-Huygens donne V(X) = p − p² = p(1 − p).

Exemple : tu réponds au hasard à une question de QCM à 4 choix dont un seul est juste. X ↪ B(1/4), E(X) = 1/4 et V(X) = (1/4)(3/4) = 3/16.

La loi binomiale

Situation type : X compte le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli de paramètre p. Alors X ↪ B(n, p) et, pour tout k de ⟦0, n⟧, P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^(n − k).

Espérance et variance : X est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p. Par linéarité, E(X) = np ; par indépendance, les variances s'additionnent et V(X) = np(1 − p).

Exemple : un QCM compte 10 questions à 4 choix, et tu réponds au hasard, indépendamment d'une question à l'autre. Le nombre X de bonnes réponses suit B(10, 1/4).

• E(X) = 10 × 1/4 = 2,5 et V(X) = 10 × (1/4) × (3/4) = 1,875.

• P(X = 0) = (3/4)^10 ≈ 0,056 : tu as environ 94 % de chances d'avoir au moins une bonne réponse.

• P(X = 3) = C(10, 3) (1/4)³ (3/4)^7 = 120 × (1/64) × (2187/16384) ≈ 0,250.

Si X₁ ↪ B(n₁, p) et X₂ ↪ B(n₂, p) sont indépendantes, X₁ + X₂ ↪ B(n₁ + n₂, p). Le paramètre p doit être le même.

La loi uniforme discrète

Situation type : un tirage équiprobable parmi n valeurs. X ↪ U(⟦1, n⟧) si P(X = k) = 1/n pour tout k de ⟦1, n⟧.

Espérance et variance : E(X) = (1/n) × n(n + 1)/2 = (n + 1)/2. Avec E(X²) = (n + 1)(2n + 1)/6, on obtient V(X) = (n + 1)(2n + 1)/6 − (n + 1)²/4 = (n² − 1)/12.

Pour une loi uniforme sur ⟦a, b⟧, X − a + 1 suit U(⟦1, b − a + 1⟧). D'où E(X) = (a + b)/2 et V(X) = ((b − a + 1)² − 1)/12.

Exemple : le résultat d'un dé équilibré suit U(⟦1, 6⟧), donc E(X) = 7/2 et V(X) = 35/12 ≈ 2,92. En maths approfondies, a et b peuvent être négatifs : pour U(⟦−2, 2⟧), E(X) = 0 et V(X) = (5² − 1)/12 = 2.

Les lois discrètes infinies

La loi géométrique

Situation type : le programme de maths appliquées la définit comme le « rang d'apparition du premier succès dans un processus de Bernoulli sans mémoire ». Tu répètes une épreuve de paramètre p, de façon indépendante, jusqu'au premier succès, et X est le numéro de l'épreuve qui le donne. X ↪ G(p) et, pour tout k de N∗, P(X = k) = p(1 − p)^(k − 1). X prend ses valeurs dans N∗ : il faut au moins une épreuve.

Espérance et variance : on pose q = 1 − p. Avec la série dérivée, la somme des k q^(k − 1) pour k ≥ 1 vaut 1/(1 − q)², donc E(X) = p/p² = 1/p. Avec la série dérivée seconde, E(X(X − 1)) = 2q/p², puis V(X) = E(X(X − 1)) + E(X) − E(X)² = q/p², soit (1 − p)/p².

Retiens aussi P(X > k) = (1 − p)^k : les k premières épreuves sont des échecs. On en déduit l'absence de mémoire : P(X > n + k sachant X > n) = q^(n + k) / q^n = P(X > k).

Exemple : tu lances un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6. X ↪ G(1/6), E(X) = 6 lancers et V(X) = (5/6) / (1/36) = 30. La probabilité qu'il faille plus de 6 lancers vaut (5/6)^6 ≈ 0,335.

La loi de Poisson

Situation type : le nombre d'événements rares observés sur une période ou une zone fixée, comme des appels, des pannes ou des arrivées. Le programme de maths appliquées demande d'en connaître le « contexte d'utilisation ». X ↪ P(λ) si, pour tout k de N, P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k!.

Espérance et variance : avec la série exponentielle, E(X) = λ e^(−λ) × e^λ = λ. De même, E(X(X − 1)) = λ², donc V(X) = λ² + λ − λ² = λ. Espérance et variance sont égales.

Exemple : un standard reçoit en moyenne 3 appels par heure, et le nombre X d'appels en une heure suit P(3).

• P(X = 0) = e^(−3) ≈ 0,050.

• P(X = 2) = e^(−3) × 3² / 2 = 4,5 e^(−3) ≈ 0,224.

• P(X ≤ 2) = e^(−3) (1 + 3 + 4,5) = 8,5 e^(−3) ≈ 0,423.

Lien avec la binomiale : si Xₙ ↪ B(n, λ/n), alors P(Xₙ = k) tend vers e^(−λ) λ^k / k! pour tout entier naturel k. Pour B(100 ; 0,03), P(X = 2) ≈ 0,2252, contre 0,2240 pour P(3). Les lois de Poisson sont aussi stables par somme : si X₁ ↪ P(λ₁) et X₂ ↪ P(λ₂) sont indépendantes, X₁ + X₂ ↪ P(λ₁ + λ₂).

Les lois à densité

Pour une variable à densité, P(X = a) = 0 pour tout réel a. Les inégalités larges et strictes donnent donc les mêmes probabilités, et tout se calcule avec la fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x).

La loi uniforme sur un intervalle

Situation type : un réel choisi « au hasard » dans [a, b], sans zone privilégiée. X ↪ U[a, b] si X a pour densité f(x) = 1/(b − a) sur [a, b] et 0 ailleurs. Sur [a, b], F(x) = (x − a)/(b − a).

Espérance et variance : E(X) = (a + b)/2. Avec E(X²) = (a² + ab + b²)/3, V(X) = (b − a)²/12. Le programme donne aussi : X ↪ U[0, 1] si et seulement si a + (b − a)X ↪ U[a, b].

Exemple : un bus passe toutes les 10 minutes et tu arrives à l'arrêt à un instant aléatoire. Ton attente X suit U[0, 10] : E(X) = 5 minutes, V(X) = 100/12 ≈ 8,33, et P(X > 7) = 3/10.

La loi exponentielle

Situation type : une durée de vie ou un temps d'attente sans usure. X ↪ E(λ) si X a pour densité f(x) = λ e^(−λx) pour x ≥ 0 et 0 pour x < 0. Pour x ≥ 0, F(x) = 1 − e^(−λx) et P(X > x) = e^(−λx).

Espérance et variance : une intégration par parties donne E(X) = 1/λ, puis E(X²) = 2/λ², d'où V(X) = 1/λ². Le paramètre λ est donc l'inverse de la moyenne.

Les deux programmes la caractérisent par l'absence de mémoire : pour tous s et t positifs, P(X > s + t sachant X > s) = P(X > t). Le programme d'approfondies ajoute que X ↪ E(1) si et seulement si X/λ ↪ E(λ).

Exemple : un composant a une durée de vie moyenne de 2 ans, modélisée par E(1/2). P(X > 3) = e^(−1,5) ≈ 0,223. S'il fonctionne encore au bout de 2 ans, la probabilité qu'il tienne 3 ans de plus vaut toujours e^(−1,5) ≈ 0,223.

La loi normale

Situation type : une grandeur qui résulte de nombreux petits effets indépendants, comme une erreur de mesure, et la limite donnée par le théorème limite central. X ↪ N(μ, σ²) si X a pour densité f(x) = e^(−(x − μ)²/(2σ²)) / (σ√(2π)), courbe en cloche symétrique autour de μ.

Espérance et variance : E(X) = μ et V(X) = σ². Le second paramètre est la variance, pas l'écart-type.

Les trois propriétés à maîtriser :

• X ↪ N(μ, σ²) si et seulement si (X − μ)/σ ↪ N(0, 1).

• Si a ≠ 0, aX + b ↪ N(aμ + b, a²σ²).

• Pour tout réel x, Φ(−x) = 1 − Φ(x), où Φ est la fonction de répartition de N(0, 1).

Une somme de variables normales indépendantes suit encore une loi normale, résultat admis. Ses paramètres viennent de la linéarité de l'espérance et de l'additivité des variances : si X₁ ↪ N(μ₁, σ₁²) et X₂ ↪ N(μ₂, σ₂²) sont indépendantes, X₁ + X₂ ↪ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²).

Exemple : une note X suit N(10, 9), donc σ = 3.

• P(X ≥ 16) = P((X − 10)/3 ≥ 2) = 1 − Φ(2) ≈ 1 − 0,9772 = 0,0228.

• P(7 ≤ X ≤ 13) = Φ(1) − Φ(−1) = 2Φ(1) − 1 ≈ 2 × 0,8413 − 1 = 0,6826.

Les lois γ, en maths approfondies seulement

X ↪ γ(ν), avec ν > 0, si X a pour densité t^(ν − 1) e^(−t) / Γ(ν) pour t > 0, où Γ(ν) est l'intégrale de 0 à +∞ de t^(ν − 1) e^(−t). Le programme suggère d'établir Γ(ν + 1) = νΓ(ν) et Γ(n + 1) = n! pour calculer les moments, et cite l'espérance : E(X) = Γ(ν + 1)/Γ(ν) = ν. La variance n'y figure pas explicitement, mais elle se retrouve de la même façon : E(X²) = Γ(ν + 2)/Γ(ν) = ν(ν + 1), donc V(X) = ν.

La loi γ(1) est la loi E(1). Si X₁ ↪ γ(ν₁) et X₂ ↪ γ(ν₂) sont indépendantes, X₁ + X₂ ↪ γ(ν₁ + ν₂). La somme de n variables indépendantes de loi E(1) suit donc γ(n). Pour des variables de loi E(λ), le programme indique de multiplier d'abord par λ pour se ramener à E(1). En maths appliquées, les lois γ ne figurent pas au programme.

Simuler les lois usuelles en Python

Les deux programmes retiennent la bibliothèque numpy.random, importée par import numpy.random as rd, avec les fonctions rd.random, rd.binomial, rd.randint, rd.geometric, rd.poisson, rd.exponential, rd.normal et rd.gamma. En maths approfondies, ces commandes figurent dans la liste des commandes exigibles. En maths appliquées, le programme précise que leur utilisation doit être « accompagnée de la documentation utile », sans maîtrise exigée.

Un dernier argument N renvoie un vecteur de N tirages : rd.binomial(10, 0.2, 100) donne 100 tirages de B(10 ; 0,2). Pour vérifier une loi, compare la moyenne et la variance empiriques à E(X) et V(X). Ces quatre lignes, exécutées sur 100 000 tirages, donnent une moyenne proche de 6 et une variance proche de 30 :

• import numpy as np

• import numpy.random as rd

• X = rd.geometric(1/6, 100000)

• print(np.mean(X), np.var(X))

Avec X = rd.exponential(2, 100000), np.mean(X > 3) estime P(X > 3) pour la loi E(1/2) : tu obtiens environ 0,22, comme dans l'exemple. C'est le principe de la méthode de Monte-Carlo.

Le programme de maths appliquées fait aussi établir la loi de X = −(1/λ) ln(1 − Y) quand Y ↪ U[0, 1[ : c'est la loi E(λ). En Python, X = -np.log(1 - rd.random(100000)) / 0.5 simule donc E(1/2). En maths approfondies, les travaux pratiques de deuxième année demandent trois méthodes de simulation de la loi géométrique :

• une boucle while qui répète une épreuve de Bernoulli jusqu'au premier succès en comptant les essais ;

• la partie entière d'une exponentielle : si Y ↪ E(λ) avec λ = −ln(1 − p), alors np.floor(Y) + 1 suit G(p), car P(k − 1 ≤ Y < k) = (1 − p)^(k − 1) − (1 − p)^k = p(1 − p)^(k − 1) ;

• la fonction rd.geometric.

Les pièges à éviter

• Décaler la loi géométrique : G(p) commence à 1. Le nombre d'échecs avant le premier succès, X − 1, prend ses valeurs dans N et a pour espérance 1/p − 1. Ce n'est pas une loi G(p).

• Confondre σ et σ² : dans N(10, 9), la variance vaut 9 et l'écart-type 3. Il faut centrer avec 10 et réduire avec 3.

• Prendre λ pour la moyenne d'une exponentielle : pour E(λ), la moyenne vaut 1/λ. Une durée moyenne de 2 ans correspond à λ = 1/2.

• Utiliser la binomiale sans indépendance : des tirages sans remise dans une urne ne donnent pas une loi binomiale. La loi hypergéométrique qui les décrit n'est au programme d'aucune des deux options : il faut alors raisonner par dénombrement.

• Mal compter les valeurs d'une uniforme discrète : ⟦a, b⟧ contient b − a + 1 entiers, pas b − a.

• Mélanger inégalités larges et strictes en discret : pour une variable à densité, P(X ≤ a) = P(X < a), mais pour une loi discrète, P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k).

• Oublier le cas k = 0 : une variable de loi binomiale ou de Poisson peut valoir 0, une variable de loi géométrique jamais.

• Se tromper d'argument en Python : rd.randint(1, 6) ne renvoie jamais 6, rd.exponential attend la moyenne et rd.normal l'écart-type.