Variables aléatoires à densité et loi normale en prépa ECG : cours et méthodes

Les variables à densité en bref

Ce que disent les programmes : approfondies et appliquées

Les programmes de mathématiques de la classe ECG sont fixés par l'arrêté du 5 janvier 2021, publié au Bulletin officiel spécial n° 1 du 11 février 2021 : l'annexe 1 contient le programme de mathématiques appliquées, l'annexe 2 celui de mathématiques approfondies.

En maths approfondies, les intégrales généralisées sont vues dès le second semestre de première année, et le chapitre « Introduction aux variables aléatoires à densité » arrive au troisième semestre. En maths appliquées, les intégrales généralisées sont introduites au troisième semestre « comme outil pour l'étude des variables aléatoires à densité », et le chapitre lui-même est placé au quatrième semestre.

Les deux programmes prévoient des exemples de variables n'admettant pas d'espérance ou pas de variance, et attendent que tu saches « représenter graphiquement les fonctions densités des lois normales et utiliser la fonction de répartition Φ ».

Définir une variable à densité

Fonction de répartition et densité

La fonction de répartition de X est FX(x) = P(X ≤ x). X est à densité si FX est continue sur R et de classe C1 sur R, sauf éventuellement en un nombre fini de points. Toute fonction positive qui ne diffère de F′X qu'en un nombre fini de points est alors une densité de X, et pour tout réel x, FX(x) est l'intégrale de fX de −∞ à x.

Le programme d'approfondies définit aussi une densité de probabilité : une fonction f positive, continue sauf en un nombre fini de points, dont l'intégrale sur R vaut 1. Toute densité de probabilité est la densité d'une variable aléatoire, résultat admis dans les deux options.

Quatre conséquences à retenir :

• P(X = a) = 0 pour tout réel a, car FX est continue. Les inégalités larges et strictes donnent donc les mêmes probabilités : P(X < a) = P(X ≤ a).

• P(a < X ≤ b) = FX(b) − FX(a), intégrale de fX de a à b : une probabilité est une aire sous la courbe.

• Une densité n'est pas unique : changer sa valeur en un nombre fini de points ne change pas la loi.

• Une valeur de la densité n'est pas une probabilité : fX(x) peut dépasser 1.

Méthode : montrer qu'une fonction est une densité

Exemple corrigé. Soit c un réel et f la fonction nulle sur ]−∞, 1[ et égale à c/x³ pour x ≥ 1. Pour quelle valeur de c est-ce une densité ?

• Continuité : f est continue sur R privé du point 1.

• Intégrale : pour A > 1, l'intégrale de c/x³ de 1 à A vaut (c/2)(1 − 1/A²), qui tend vers c/2. L'intégrale de f sur R vaut donc c/2, et elle vaut 1 si et seulement si c = 2.

• Positivité : avec c = 2, f est positive.

Pour c = 2, f est une densité. La fonction de répartition associée vaut 0 pour x < 1 et 1 − 1/x² pour x ≥ 1. Par exemple, P(X > 2) = 1/4.

Méthode : retrouver une densité à partir de FX

Exemple corrigé. Soit FX nulle sur ]−∞, 0[, égale à x² sur [0, 1] et à 1 sur ]1, +∞[. C'est la fonction de répartition du maximum de deux variables indépendantes de loi U[0, 1]. FX est continue en 0 et en 1, où elle vaut 0 et 1, et de classe C1 sur R privé de {0, 1} : on peut dériver. Une densité est fX(x) = 2x sur [0, 1] et 0 ailleurs ; les valeurs en 0 et en 1 sont sans importance.

Espérance, variance et moments

X de densité fX admet une espérance si et seulement si l'intégrale de x fX(x) sur R est absolument convergente, et E(X) est alors égale à cette intégrale. Pour g(X), le théorème de transfert évite de chercher la loi de g(X) : si fX est nulle en dehors de ]a, b[ et si g est continue sur ]a, b[ sauf éventuellement en un nombre fini de points, g(X) admet une espérance si et seulement si l'intégrale de g(t) fX(t) de a à b converge absolument, et E(g(X)) vaut alors cette intégrale.

La variance se définit comme en discret, V(X) = E((X − E(X))²), et se calcule par la formule de Koenig-Huygens V(X) = E(X²) − E(X)². On garde E(aX + b) = a E(X) + b et V(aX + b) = a² V(X). Si σ(X) ≠ 0, (X − E(X))/σ(X) est centrée réduite. En approfondies, on admet que l'existence de l'espérance et de la variance équivaut à l'existence de E(X²).

Sur l'exemple du maximum, E(X) est l'intégrale de 2x² de 0 à 1, soit 2/3, et E(X²) celle de 2x³, soit 1/2. Donc V(X) = 1/2 − 4/9 = 1/18. Les espérances et variances des lois uniforme, exponentielle et normale sont rassemblées dans notre guide des lois de probabilité usuelles en prépa ECG.

Une variable sans espérance. f(x) = 1 / (π(1 + x²)) est une densité sur R, car arctan(x)/π en est une primitive. Comme |x| f(x) est équivalent à 1/(π|x|) en ±∞, l'intégrale de |x| f(x) diverge : X n'a pas d'espérance. C'est la loi de Cauchy, qui n'est pas une loi usuelle : seul le programme d'approfondies la cite, en travaux pratiques.

Une variable sans variance. Pour la densité 2/x³ sur [1, +∞[ vue plus haut, E(X) est l'intégrale de 2/x² de 1 à +∞, égale à 2. En revanche, x² f(x) = 2/x n'est pas intégrable en +∞ : E(X²) n'existe pas, donc X n'a pas de variance.

Trouver la loi de aX + b, X² ou exp(X)

Les programmes demandent de savoir retrouver ces lois. La méthode est toujours la même :

1. déterminer les valeurs possibles de Y ;

2. traduire l'événement [Y ≤ y] en un événement portant sur X ;

3. exprimer FY(y) à l'aide de FX ;

4. vérifier que FY est continue sur R et de classe C1 sauf en un nombre fini de points, puis dériver.

La transformation affine aX + b

Soit Y = aX + b avec a ≠ 0. Si a > 0, [Y ≤ y] = [X ≤ (y − b)/a], donc FY(y) = FX((y − b)/a). Si a < 0, l'inégalité change de sens : FY(y) = P(X ≥ (y − b)/a) = 1 − FX((y − b)/a), en utilisant P(X = (y − b)/a) = 0. Dans les deux cas, une densité de Y est fY(y) = fX((y − b)/a) / |a|.

Le carré X²

Soit Y = X². Pour y < 0, FY(y) = 0. Pour y ≥ 0, [Y ≤ y] = [−√y ≤ X ≤ √y], donc FY(y) = FX(√y) − FX(−√y).

Exemple corrigé. X ↪ U[−1, 1], donc FX(x) = (x + 1)/2 sur [−1, 1]. Pour y dans [0, 1], FY(y) = (√y + 1)/2 − (1 − √y)/2 = √y, et FY(y) = 1 pour y > 1. FY est continue sur R et de classe C1 sauf en 0 et en 1, et une densité est fY(y) = 1/(2√y) sur ]0, 1], 0 ailleurs. Cette densité n'est pas bornée près de 0 : elle dépasse 1 sans que cela pose problème. Contrôle : E(Y) est l'intégrale de √y/2 de 0 à 1, soit 1/3, ce qui est bien E(X²) = V(X) = 2²/12.

Avec X ↪ N(0, 1), la même méthode donne FY(y) = Φ(√y) − Φ(−√y) = 2Φ(√y) − 1 pour y ≥ 0.

L'exponentielle exp(X) et les fonctions monotones

Exemple corrigé. X ↪ E(2) et Y = e^X. Comme X ≥ 0, Y prend ses valeurs dans [1, +∞[. Pour y ≥ 1, [Y ≤ y] = [X ≤ ln y], donc FY(y) = 1 − e^(−2 ln y) = 1 − 1/y². On retrouve la densité 2/y³ sur [1, +∞[ de l'exemple précédent. Le théorème de transfert le confirme : E(e^X) est l'intégrale de e^x × 2e^(−2x) de 0 à +∞, égale à 2, alors que E(e^(2X)) est l'intégrale de la constante 2, qui diverge.

Plus généralement, si φ est de classe C1 et strictement monotone sur un intervalle contenant les valeurs de X, FY(y) vaut FX(φ⁻¹(y)) si φ est croissante et 1 − FX(φ⁻¹(y)) si elle est décroissante, pour y dans l'image de cet intervalle. Ce cas général figure explicitement au programme d'approfondies.

La méthode d'inversion et la loi exponentielle

Le programme d'appliquées fait établir la loi de X = −(1/λ) ln(1 − Y) quand Y ↪ U[0, 1[ et λ > 0. Comme 1 − Y est dans ]0, 1], X ≥ 0. Pour x ≥ 0 :

P(X ≤ x) = P(ln(1 − Y) ≥ −λx) = P(1 − Y ≥ e^(−λx)) = P(Y ≤ 1 − e^(−λx)) = 1 − e^(−λx).

X suit donc la loi E(λ). C'est le principe de la méthode d'inversion, étudiée en travaux pratiques d'approfondies : si F est continue et strictement croissante, appliquer F⁻¹ à une variable uniforme sur ]0, 1[ produit une variable de fonction de répartition F.

La loi normale

La loi normale centrée réduite

X ↪ N(0, 1) si X a pour densité f(x) = e^(−x²/2) / √(2π) sur R. L'intégrale de e^(−x²/2) sur R vaut √(2π), ce qui fait bien de f une densité ; le programme d'appliquées propose d'en démontrer la convergence en exercice.

• Espérance : x f(x) est intégrable sur R, une primitive étant −e^(−x²/2) / √(2π), et la fonction est impaire, donc E(X) = 0.

• Variance : une intégration par parties, avec u(x) = x et v′(x) = x e^(−x²/2), donne E(X²) = 1, donc V(X) = 1.

• Symétrie : la densité est paire, d'où Φ(−x) = 1 − Φ(x) pour tout réel x, Φ(0) = 1/2 et P(|X| ≤ x) = 2Φ(x) − 1 pour x ≥ 0.

Φ n'a pas d'expression à l'aide des fonctions usuelles : on la lit dans une table ou on la calcule en Python.

La loi normale générale

Pour σ > 0, X ↪ N(μ, σ²) si X a pour densité e^(−(x − μ)²/(2σ²)) / (σ√(2π)). Le second paramètre est la variance : E(X) = μ et V(X) = σ².

• Centrer et réduire : X ↪ N(μ, σ²) si et seulement si (X − μ)/σ ↪ N(0, 1). Donc P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ).

• Transformée affine : si a ≠ 0, aX + b ↪ N(aμ + b, a²σ²).

• Somme : une somme de variables indépendantes de lois normales suit une loi normale, résultat admis en maths appliquées. Si X₁ ↪ N(μ₁, σ₁²) et X₂ ↪ N(μ₂, σ₂²) sont indépendantes, X₁ + X₂ ↪ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²).

Pour représenter la densité, retiens qu'elle est symétrique par rapport à μ, qu'elle atteint son maximum 1/(σ√(2π)) en μ et qu'elle a deux points d'inflexion, en μ − σ et μ + σ. Plus σ est petit, plus la cloche est haute et resserrée : pour σ = 0,1, le maximum vaut environ 3,99.

Lire la table de Φ

Les tables usuelles donnent Φ(x) pour x ≥ 0. Elles servent aussi en lecture inverse : chercher x tel que Φ(x) = 0,975 donne x ≈ 1,96. Comme la calculatrice n'est pas autorisée aux épreuves de mathématiques de la BCE et d'Ecricome, d'après les règles de la session 2026, quelques valeurs repères font gagner du temps.

Ici Z ↪ N(0, 1), et les valeurs sont arrondies à 10⁻⁴.

Quatre calculs types sur la loi normale

On note X la durée en minutes d'un trajet, avec X ↪ N(12, 4) : μ = 12 et σ = 2.

1. Calculer une probabilité. On centre et on réduit toujours avec σ = 2, pas avec 4.

• P(X ≤ 15) = Φ((15 − 12)/2) = Φ(1,5) ≈ 0,9332.

• P(X ≤ 9) = Φ(−1,5) = 1 − Φ(1,5) ≈ 0,0668.

• P(10 ≤ X ≤ 14) = Φ(1) − Φ(−1) = 2Φ(1) − 1 ≈ 0,6827.

2. Trouver un seuil. On cherche t tel que P(X ≤ t) = 0,975. Il faut Φ((t − 12)/2) = 0,975, donc (t − 12)/2 = 1,96 et t = 15,92 minutes.

3. Retrouver un paramètre. Y ↪ N(50, σ²) et P(Y ≤ 60) = 0,975. Alors Φ(10/σ) = 0,975, donc 10/σ = 1,96 et σ = 10/1,96 ≈ 5,10.

4. Comparer deux variables indépendantes. Un second trajet dure X₂ ↪ N(8, 12), indépendante de X. Quelle est la probabilité que le premier trajet soit le plus court ? On pose D = X − X₂. −X₂ ↪ N(−8, 12) par transformation affine, et X et −X₂ sont indépendantes, donc D ↪ N(4, 4 + 12) = N(4, 16). Ainsi P(X < X₂) = P(D < 0) = Φ((0 − 4)/4) = Φ(−1) = 1 − Φ(1) ≈ 0,1587.

Vérifier ses calculs en Python

Les deux programmes retiennent numpy.random, importée sous le nom rd. rd.normal(μ, σ, N) renvoie N tirages de N(μ, σ²) : l'argument est l'écart type. La fonction sp.ndtr de scipy.special, qui calcule Φ, figure dans la liste des commandes du programme d'approfondies, pas dans celle d'appliquées. Les exemples de l'article se vérifient ainsi :

• import numpy as np

• import numpy.random as rd

• import scipy.special as sp

• N = 100000

• X = rd.normal(12, 2, N)

• print(np.mean(X <= 15), sp.ndtr(1.5))

• D = rd.normal(12, 2, N) - rd.normal(8, np.sqrt(12), N)

• print(np.mean(D < 0))

Le premier affichage donne une fréquence proche de 0,933 suivie de la valeur exacte Φ(1,5) ≈ 0,9332, le second une fréquence proche de P(D < 0) ≈ 0,159. De même, -np.log(1 - rd.random(N)) / 0.5 simule la loi E(1/2) par la méthode d'inversion : sa moyenne empirique est proche de 2.

Les pièges à éviter

• Oublier la partie négative pour X² : FY(y) = FX(√y) − FX(−√y), et non FX(√y).

• Oublier de renverser l'inégalité avec a < 0 dans aX + b : diviser par un négatif change son sens.

• Réduire avec σ² au lieu de σ : pour N(12, 4), on divise par 2, et rd.normal attend aussi l'écart type.

• Écrire Φ(−x) = −Φ(x) : la bonne relation est Φ(−x) = 1 − Φ(x).

• Soustraire les variances : V(X − X₂) = V(X) + V(X₂) quand les variables sont indépendantes.

• Additionner des normales sans indépendance : le résultat de stabilité du programme suppose l'indépendance.