Probabilités en prépa ECG : programme, méthodes et exercices types

Les probabilités en prépa ECG en bref

Pourquoi les probabilités pèsent si lourd en prépa ECG

Les programmes officiels le disent dès leur introduction : les probabilités et la statistique interviennent dans l'actuariat, la finance quantitative, l'épidémiologie ou la prévision économique, partout où l'on modélise des phénomènes aléatoires à partir de données. Une école de management attend donc de toi que tu saches traduire une situation concrète en modèle probabiliste, puis l'exploiter.

Les concours tirent les conséquences de cette ambition. Dans la brochure 2026 de la BCE, la description de l'épreuve conçue par l'EDHEC indique qu'« une place importante est réservée aux probabilités », qui peuvent servir de support soit à deux exercices, soit à un exercice et au problème. Les autres concepteurs de sujets annoncent une épreuve portant sur l'ensemble du programme des deux années : les probabilités y figurent donc à côté de l'algèbre linéaire et de l'analyse.

Enfin, les probabilités irriguent tout le reste du programme. Les séries servent à définir l'espérance d'une variable discrète, les intégrales généralisées celle d'une variable à densité, les matrices décrivent les chaînes de Markov en maths appliquées. Un bon niveau en probabilités suppose un bon niveau en analyse, et réciproquement.

Le programme officiel : ce que tu étudies en 1re et 2e année

Les programmes de mathématiques de la voie générale ont été fixés par l'arrêté du 5 janvier 2021, publié au Journal officiel du 7 février 2021 et au Bulletin officiel spécial n°1 du 11 février 2021. Ils s'appliquent depuis la rentrée 2021 en première année et depuis la rentrée 2022 en deuxième année. L'annexe 1 de cet arrêté contient le programme de mathématiques appliquées, l'annexe 2 celui de mathématiques approfondies. Il existe deux programmes distincts, « mathématiques approfondies - informatique » et « mathématiques appliquées - informatique ». Tu suis l'un des deux pendant tes deux années, et la BCE te fait passer les épreuves correspondant au parcours suivi.

Dans les deux options, chaque année est découpée en deux semestres, et le programme impose de respecter ce découpage. Tout ce qui suit est tiré de ces textes.

En première année : du fini au discret

Le principe est le même dans les deux options : on se place sur un univers fini au premier semestre, puis sur des espaces probabilisés plus généraux au second. Le programme précise qu'on n'emploie pas le terme « tribu » et qu'aucune difficulté théorique sur l'ensemble des événements n'est soulevée.

La première année de maths approfondies va donc plus loin : couples de variables, inégalités et loi faible des grands nombres y sont vus dès le second semestre. En maths appliquées, la première année se concentre sur les variables discrètes et les lois usuelles, et le programme insiste sur l'étude des variables discrètes comme outil de modélisation de problèmes concrets.

En deuxième année : couples, densités, convergences et estimation

La différence la plus nette concerne la fin de programme. En maths approfondies, l'estimation est traitée de façon plus formelle : définition d'un intervalle de confiance et d'un intervalle de confiance asymptotique, estimateur sans biais, suite d'estimateurs convergente et condition suffisante de convergence. En maths appliquées, le programme précise que le paragraphe sur les intervalles de confiance « ne doit pas faire l'objet d'un exposé théorique » et que l'intervalle de confiance asymptotique obtenu avec le théorème limite central n'est « pas exigible en l'état ».

Ce qui est hors programme

Connaître les limites du programme t'évite de perdre du temps. Les textes précisent que ces limites doivent être respectées en classe comme dans l'évaluation.

• La loi hypergéométrique ne figure dans aucun des deux programmes : tu n'as pas à connaître sa loi ni ses moments par cœur.

• Le terme « tribu » n'est pas employé, et aucune difficulté théorique sur l'ensemble des événements n'est soulevée.

• La définition générale de l'espérance d'une variable aléatoire quelconque n'est au programme d'aucune option : on admet que les propriétés de l'espérance et de la variance se généralisent.

• Le risque quadratique : le programme de maths approfondies indique explicitement que cette notion n'est pas au programme, et celui de maths appliquées ne l'aborde pas.

• La théorie des familles sommables n'est pas au programme de maths approfondies ; les résultats nécessaires sur les séries indexées par un ensemble dénombrable sont admis et doivent être rappelés par l'énoncé.

• En maths appliquées, les lois γ, l'espérance conditionnelle, la densité d'une somme par produit de convolution et la convergence en probabilité n'apparaissent pas. Le programme limite aussi l'étude aux densités ayant des limites finies à gauche et à droite en tout point.

• En maths approfondies, les chaînes de Markov et le maximum de vraisemblance n'apparaissent pas dans le programme de mathématiques.

Les notions clés, chapitre par chapitre

Les formules sont écrites en texte simple. P(A) désigne la probabilité de l'événement A, PA(B) la probabilité de B sachant A, Ā l'événement contraire de A, E(X) l'espérance et V(X) la variance de la variable aléatoire X.

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Une probabilité est une application P à valeurs dans [0, 1], additive sur un univers fini puis σ-additive dans le cadre général, telle que P(Ω) = 1. Pour deux événements, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Pour trois événements, la formule du crible donne :

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant A est PA(B) = P(A ∩ B) / P(A). Trois formules découlent de cette définition et structurent presque tous les exercices :

• la formule des probabilités composées : si P(A1 ∩ … ∩ An−1) ≠ 0, alors P(A1 ∩ … ∩ An) = P(A1) PA1(A2) … PA1∩…∩An−1(An) ;

• la formule des probabilités totales : si (A1, …, An) est un système complet d'événements de probabilités non nulles, P(B) = PA1(B) P(A1) + … + PAn(B) P(An) ;

• la formule de Bayes : avec les mêmes hypothèses et P(B) ≠ 0, PB(Ai) = PAi(B) P(Ai) / P(B), où P(B) se calcule par la formule des probabilités totales.

La formule des probabilités totales s'étend en deuxième semestre à un système complet dénombrable. En maths approfondies s'ajoute le théorème de la limite monotone : pour une suite croissante d'événements, la probabilité de leur réunion est la limite des P(An) ; pour une suite décroissante, celle de leur intersection est aussi la limite des P(An). C'est l'outil qui permet de montrer, par exemple, qu'obtenir indéfiniment pile au jeu de pile ou face est un événement négligeable.

Variables aléatoires discrètes

Une variable aléatoire discrète prend ses valeurs dans un ensemble indexé par une partie finie ou infinie de N. Sa loi est la donnée de X(Ω) et des probabilités P(X = x) pour x dans X(Ω).

• Espérance : E(X) est la somme des x P(X = x). Quand X(Ω) est infini, X admet une espérance si et seulement si cette série est absolument convergente.

• Théorème de transfert : E(g(X)) est la somme des g(x) P(X = x), sous réserve de convergence absolue. Tu n'as pas besoin de la loi de g(X) pour calculer son espérance.

• Linéarité : E(aX + bY) = a E(X) + b E(Y).

• Variance : V(X) = E((X − E(X))²), calculée en pratique par la formule de Koenig-Huygens V(X) = E(X²) − E(X)², avec V(aX + b) = a² V(X).

• Variable centrée réduite : si σ(X) ≠ 0, (X − E(X)) / σ(X) est centrée réduite.

La fonction de répartition FX(x) = P(X ≤ x) apparaît dès la première année en maths approfondies ; le programme de maths appliquées la mentionne explicitement avec les variables à densité.

Les lois usuelles

Voici les lois au programme, avec leur espérance et leur variance.

Pour la loi géométrique, P(X = k) = p(1 − p)^(k − 1) pour tout entier k ≥ 1 : c'est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes. Pour la loi de Poisson, P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k!. Deux résultats de stabilité sont au programme des deux options : la somme de deux variables indépendantes de lois B(n1, p) et B(n2, p) suit la loi B(n1 + n2, p), et la somme de deux variables indépendantes de lois P(λ1) et P(λ2) suit la loi P(λ1 + λ2).

Variables à densité et loi normale

Une variable X est à densité si sa fonction de répartition FX est continue sur R et de classe C1 sur R, sauf éventuellement en un nombre fini de points. Une densité f est alors positive, et pour tout réel x, FX(x) est l'intégrale de f de −∞ à x. Conséquence à retenir : P(X = x) = 0 pour tout réel x, et une valeur de la densité n'est pas une probabilité.

L'espérance existe si l'intégrale de x f(x) sur R est absolument convergente, et vaut alors cette intégrale. La loi exponentielle est caractérisée par l'absence de mémoire : si X suit E(λ), alors pour tous réels positifs s et t, P(X > s + t) = P(X > s) P(X > t), soit PX > s = P(X > t).

La loi normale est la plus importante. X suit N(μ, σ²) si et seulement si (X − μ) / σ suit N(0, 1), et l'on calcule ses probabilités avec la fonction de répartition Φ de la loi normale centrée réduite, qui vérifie Φ(−x) = 1 − Φ(x). Une valeur à connaître : Φ(1,96) ≈ 0,975. Enfin, une somme de variables indépendantes de lois normales suit une loi normale.

Couples de variables et indépendance

La loi d'un couple (X, Y) de variables discrètes est donnée par les P([X = x] ∩ [Y = y]). On en déduit les lois marginales, par la formule des probabilités totales, et la loi de variables comme X + Y, le minimum ou le maximum de X et Y. Deux variables discrètes sont indépendantes si P([X = x] ∩ [Y = y]) = P(X = x) P(Y = y) pour tous x et y.

La covariance mesure la dépendance linéaire : Cov(X, Y) = E(XY) − E(X) E(Y), et V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov(X, Y). Si X et Y sont indépendantes, E(XY) = E(X) E(Y), donc Cov(X, Y) = 0 et V(X + Y) = V(X) + V(Y). La réciproque est fausse : si X suit la loi uniforme sur {−1, 0, 1} et Y = X², alors Cov(X, Y) = E(X³) − E(X) E(X²) = 0, mais P([X = 0] ∩ [Y = 0]) = 1/3 alors que P(X = 0) P(Y = 0) = 1/9.

Convergences et théorèmes limites

Tout part de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : si X admet une variance, pour tout ε > 0, P(|X − E(X)| ≥ ε) ≤ V(X) / ε². Appliquée à la moyenne de n variables indépendantes de même loi, d'espérance m et de variance σ², elle donne la loi faible des grands nombres : pour tout ε > 0, la probabilité que la moyenne s'écarte de m d'au moins ε tend vers 0 quand n tend vers +∞.

Une suite de variables converge en loi vers X si leurs fonctions de répartition convergent vers FX en tout point où FX est continue. Pour des variables à valeurs entières, cela revient à la convergence des P(Xn = k). C'est le cadre de l'approximation de la loi B(n, λ/n) par la loi P(λ).

Le théorème limite central, admis dans les deux options, affirme que si les Xi sont indépendantes, de même loi, d'espérance m et de variance σ² non nulle, la moyenne centrée réduite √n (X̄n − m) / σ converge en loi vers N(0, 1). Les deux programmes précisent que, dans les sujets, toutes les indications doivent être fournies pour justifier l'utilisation des approximations.

Estimation

L'estimation consiste à approcher un paramètre inconnu θ, par exemple le paramètre p d'une loi de Bernoulli, à partir d'un échantillon de n variables indépendantes de même loi. L'estimateur de base est la moyenne empirique X̄n = (X1 + … + Xn) / n.

Un intervalle de confiance au niveau 1 − α est un intervalle aléatoire qui contient le paramètre avec une probabilité au moins égale à 1 − α. Les deux programmes demandent de savoir en construire un à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour l'espérance en maths appliquées et pour le paramètre d'une loi de Bernoulli en maths approfondies, ainsi qu'un intervalle de confiance de l'espérance d'une loi normale dont l'écart type est connu. En maths approfondies, tu étudies en plus le biais et la convergence des estimateurs, avec la condition suffisante : si E(Tn) tend vers g(θ) et V(Tn) vers 0, la suite d'estimateurs (Tn) est convergente.

Les méthodes types à maîtriser

Les sujets de probabilités se ressemblent davantage qu'il n'y paraît. Ces six réflexes couvrent l'essentiel des questions.

1. Nommer les événements avant de calculer

Commence toujours par introduire des notations : « pour tout entier k, notons Pk l'événement "obtenir pile au k-ième lancer" ». Écris ensuite l'événement demandé à l'aide de réunions, d'intersections et de contraires. La moitié des erreurs vient d'une traduction approximative de l'énoncé, pas du calcul.

2. Conditionner par le bon système complet

Dès qu'une expérience se déroule en plusieurs étapes, ou dépend d'un premier tirage, cherche un système complet d'événements lié à la première étape et applique la formule des probabilités totales. Vérifie par écrit que les événements sont deux à deux incompatibles, que leur réunion est Ω et que leurs probabilités sont non nulles.

3. Inverser un conditionnement avec Bayes

Exemple corrigé. Une urne U1 contient 3 boules blanches et 2 noires, une urne U2 contient 1 boule blanche et 4 noires. On lance un dé équilibré : si l'on obtient 6, on tire une boule dans U1, sinon dans U2. On tire une boule blanche : quelle est la probabilité qu'elle vienne de U1 ?

• Notations : U1 est l'événement « tirer dans U1 », U2 son contraire, B l'événement « tirer une boule blanche ».

• Système complet : (U1, U2), avec P(U1) = 1/6 et P(U2) = 5/6, toutes deux non nulles.

• Probabilités totales : P(B) = PU1(B) P(U1) + PU2(B) P(U2) = (3/5)(1/6) + (1/5)(5/6) = 3/30 + 5/30 = 4/15.

• Bayes : PB(U1) = PU1(B) P(U1) / P(B) = (3/30) / (8/30) = 3/8.

Le résultat se commente : la boule blanche fait passer la probabilité de U1 de 1/6 à 3/8, car U1 contient beaucoup plus de boules blanches.

4. Distinguer indépendance deux à deux et indépendance mutuelle

On lance deux fois une pièce équilibrée. Soit A « pile au premier lancer », B « pile au second », C « les deux lancers donnent le même résultat ». Chacun a une probabilité 1/2, et chaque intersection de deux d'entre eux a une probabilité 1/4 : les événements sont indépendants deux à deux. Mais A ∩ B ∩ C est l'événement « deux piles », de probabilité 1/4, alors que P(A) P(B) P(C) = 1/8. Ils ne sont donc pas mutuellement indépendants. Quand un énoncé dit « lancers indépendants », il s'agit d'indépendance mutuelle.

5. Calculer une espérance sans passer par la loi

Trois outils évitent des calculs lourds.

• La série dérivée : pour la loi géométrique, E(X) est la somme des k p (1 − p)^(k − 1), qui vaut p / (1 − (1 − p))² = 1/p, grâce à la somme de la série des k q^(k − 1), égale à 1 / (1 − q)² pour |q| < 1, au programme des deux options.

• Les indicatrices et la linéarité : on tire n fois avec remise une boule dans une urne de N boules numérotées, et X compte les numéros jamais tirés. X est la somme des indicatrices des événements « le numéro i n'est jamais tiré », chacun de probabilité (1 − 1/N)^n. Donc E(X) = N (1 − 1/N)^n, soit environ 3,49 pour N = n = 10, sans jamais déterminer la loi de X.

• Le conditionnement : en maths approfondies, la formule de l'espérance totale donne E(X) comme somme des E(X / An) P(An) pour un système complet (An), sous les conditions d'existence du programme.

6. Passer par la fonction de répartition pour un maximum ou un minimum

Exemple corrigé. On lance deux dés équilibrés indépendants, de résultats X et Y, et M est le plus grand des deux. Pour tout k de 1 à 6, [M ≤ k] = [X ≤ k] ∩ [Y ≤ k], donc par indépendance P(M ≤ k) = (k/6)². On en déduit P(M = k) = P(M ≤ k) − P(M ≤ k − 1) = (k² − (k − 1)²) / 36 = (2k − 1) / 36. La somme de ces probabilités vaut bien 36/36 = 1, et E(M) = (1 × 1 + 2 × 3 + 3 × 5 + 4 × 7 + 5 × 9 + 6 × 11) / 36 = 161/36 ≈ 4,47.

La même méthode donne la loi d'un minimum, avec P(min > k), et elle fonctionne aussi pour des variables à densité.

Un exemple d'estimation : l'intervalle de confiance d'une proportion

On observe n réalisations indépendantes d'une loi B(p), de moyenne empirique X̄n. Comme E(X̄n) = p et V(X̄n) = p(1 − p) / n ≤ 1 / (4n), l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne P(|X̄n − p| ≥ ε) ≤ 1 / (4nε²). En choisissant ε = 1 / (2√(nα)), cette probabilité est au plus α, donc [X̄n − ε, X̄n + ε] est un intervalle de confiance de p au niveau 1 − α.

Pour n = 1 000 et α = 0,05, ε ≈ 0,071. L'intervalle de confiance asymptotique obtenu par le théorème limite central, en majorant aussi p(1 − p) par 1/4, a une demi-largeur de 1,96 / (2√n) ≈ 0,031 : il est plus de deux fois plus étroit, mais son niveau n'est garanti qu'à la limite. Cette comparaison est explicitement proposée par les deux programmes.

Simuler les probabilités en Python

Le Python fait partie du programme des deux options, en travaux pratiques sur les deux années. Les fonctions de la bibliothèque numpy.random listées par les programmes sont rd.random, rd.binomial, rd.randint, rd.geometric, rd.poisson, rd.exponential, rd.normal et rd.gamma, avec l'importation import numpy.random as rd. En maths approfondies, elles font partie des commandes exigibles, et les syntaxes non exigibles doivent être rappelées dans les sujets ; en maths appliquées, le programme précise que leur utilisation doit être accompagnée de la documentation utile.

Ce que les programmes attendent :

• en première année, dans les deux options : simuler des expériences aléatoires élémentaires, notamment les lois binomiale et géométrique ; le programme de maths approfondies cite en plus rd.random pour ces simulations et la production d'échantillons de lois usuelles ;

• en maths approfondies : comparer expérimentalement les lois B(n, λ/n) et P(λ) dès la première année, puis, en deuxième année, la méthode d'inversion, plusieurs méthodes de simulation d'une loi géométrique, la simulation d'une loi normale par le théorème limite central et la méthode de Monte-Carlo ; la fonction sp.ndtr de scipy.special, qui calcule Φ, figure dans la liste des commandes ;

• en maths appliquées : simuler des chaînes de Markov et observer leur état stable, comparer des estimateurs et des intervalles de confiance.

Vérifier un calcul de Bayes par simulation

On reprend l'exemple des deux urnes. C vaut 1 si l'on tire dans U1, ce qui arrive avec probabilité 1/6, et W vaut 1 si la boule est blanche, avec probabilité 0,2 + C / 2,5, soit 0,6 dans U1 et 0,2 dans U2 :

• import numpy as np

• import numpy.random as rd

• N = 100000

• C = rd.binomial(1, 1/6, N)

• W = rd.binomial(1, 0.2 + C / 2.5)

• print(np.mean(W))

• print(np.sum(C + W == 2) / np.sum(W))

La première valeur affichée est proche de 4/15 ≈ 0,267 et la seconde de 3/8 = 0,375 : la fréquence approche la probabilité, comme le prévoit la loi faible des grands nombres.

Estimer une espérance par la méthode de Monte-Carlo

Pour le maximum de deux dés, on utilise l'égalité max(x, y) = (x + y + |x − y|) / 2, avec les importations et la valeur de N du programme précédent. Attention, rd.randint(1, 7, N) renvoie des entiers de 1 à 6, la borne de droite étant exclue :

• X = rd.randint(1, 7, N)

• Y = rd.randint(1, 7, N)

• M = (X + Y + np.abs(X - Y)) / 2

• print(np.mean(M))

Le résultat est proche de 161/36 ≈ 4,47.

Observer le théorème limite central

Le programme de maths approfondies suggère le cas de 12 variables indépendantes de même loi uniforme. Avec la loi uniforme sur [0, 1], leur somme a pour espérance 6 et pour variance 12 × 1/12 = 1, donc la somme diminuée de 6 est déjà centrée réduite.

• U = rd.random([N, 12])

• Z = np.sum(U, 1) - 6

• print(np.mean(Z), np.var(Z), np.mean(Z <= 1.96))

Tu obtiens une moyenne proche de 0, une variance proche de 1 et une proportion proche de 0,975, la valeur de Φ(1,96).

Les probabilités aux concours BCE et Ecricome

Les épreuves écrites de mathématiques

À la BCE, chaque épreuve de mathématiques de la voie générale existe en version approfondies et en version appliquées. Toutes durent 4 heures. Le calendrier des épreuves écrites 2027 publié par la BCE fixe les dates suivantes :

Les descriptions officielles les plus récentes, celles du concours 2026, présentent l'épreuve de l'EDHEC comme composée de trois exercices et d'un problème, avec une place importante réservée aux probabilités. Les épreuves de l'ESSEC et d'HEC portent sur l'ensemble du programme de mathématiques et d'informatique des deux années. Le règlement du concours 2026 n'autorise la calculatrice que lorsque la définition de l'épreuve le prévoit, ce qui, dans la brochure 2026, ne concerne que l'épreuve de management et sciences de gestion de la voie technologique. Retrouve le détail sur la page du calendrier des épreuves écrites 2027 de la BCE.

Au concours Ecricome, les candidats de la voie générale passent six épreuves écrites réparties sur trois journées, dont une épreuve de mathématiques approfondies ou de mathématiques appliquées de 4 heures, en avril 2027, de 8 h à 12 h. Ecricome précise que la calculatrice est autorisée uniquement pour l'épreuve de management et gestion, qui relève de la voie technologique. Les coefficients publiés sur la page du concours Ecricome Prépa sont les suivants :

Ce que les correcteurs attendent dans un exercice de probabilités

Un exercice de probabilités de concours peut enchaîner la modélisation d'une situation concrète, des calculs de lois et d'espérances, une question de convergence ou d'approximation et une question de Python où il faut compléter ou interpréter un programme. Les points vont à la rigueur de la rédaction : système complet justifié, indépendance citée au bon moment, existence de l'espérance vérifiée avant le calcul, résultat commenté.

Quand l'énoncé donne le résultat d'une question que tu n'as pas réussi à démontrer, tu peux l'admettre pour continuer, en le signalant clairement sur ta copie. Pour t'entraîner, utilise les annales publiées par la BCE et par Ecricome sur leurs sites, ainsi que les rapports de jury que la BCE publie pour chaque épreuve : ils relèvent les erreurs les plus fréquentes dans les copies.

Les erreurs fréquentes en probabilités

Ces erreurs reviennent sans cesse dans les copies et en colle. Les connaître, c'est déjà les éviter.

• Confondre P(A ∩ B) et PA(B) : dans un arbre, la probabilité portée par une branche est conditionnelle ; celle d'un chemin complet est une intersection.

• Confondre incompatibles et indépendants : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque P(A ∩ B) = 0 alors que P(A) P(B) > 0.

• Appliquer la formule des probabilités totales sans système complet justifié, ou conditionner par un événement de probabilité nulle.

• Croire que l'indépendance deux à deux suffit pour multiplier trois probabilités.

• Calculer une espérance sans vérifier son existence : pour une variable discrète infinie ou à densité, la convergence absolue de la série ou de l'intégrale doit être établie.

• Écrire V(X + Y) = V(X) + V(Y) sans indépendance, ou déduire l'indépendance d'une covariance nulle.

• Oublier où commence la loi géométrique : au programme, elle prend ses valeurs à partir de 1, pas de 0.

• Lire N(μ, σ²) comme N(μ, σ) : le second paramètre est la variance. En Python, rd.normal attend au contraire l'écart type, et rd.exponential attend la moyenne 1/λ.

• Prendre une densité pour une probabilité : f(x) peut dépasser 1, et P(X = x) = 0 pour une variable à densité.

• Utiliser une approximation sans la justifier : reprends les conditions données par l'énoncé et cite le théorème employé.

Comment bien travailler les probabilités sur les deux années

Les probabilités récompensent la régularité plus que les révisions de dernière minute. Quelques principes simples :

• En première année, soigne le conditionnement : probabilités composées, totales et Bayes doivent devenir des automatismes avant l'arrivée des variables infinies.

• Fais une fiche des lois usuelles avec, pour chacune, une situation type, la loi, l'espérance, la variance et la commande Python. Relis-la avant chaque colle.

• Révise les séries et les intégrales généralisées en même temps que les probabilités : ce sont elles qui garantissent l'existence des espérances.

• Apprends les démonstrations courtes : espérance et variance des lois usuelles, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres, loi d'un maximum. Ce sont des questions de cours fréquentes.

• Travaille Python à chaque chapitre : simule chaque loi nouvelle et compare moyenne et variance empiriques aux valeurs théoriques.

• Refais les exercices sans le corrigé quelques jours plus tard, en rédigeant toutes les justifications.

Les guides de ce dossier sur les probabilités en prépa ECG

Ce guide est la porte d'entrée d'une série d'articles qui détaillent chaque grand chapitre.

• Les lois usuelles : notre guide des lois de probabilité usuelles en prépa ECG reprend chaque loi du programme avec sa situation type, ses formules, un exemple corrigé et sa simulation en Python.

• Les variables à densité et la loi normale : un prochain guide détaillera la définition d'une densité, les calculs de fonctions de répartition, les lois uniforme, exponentielle et normale et l'utilisation de la table de la loi normale.

• Les couples de variables et l'indépendance : un autre article sera consacré aux lois de couples, aux lois marginales, à la covariance et aux sommes de variables indépendantes.

• Les convergences et les théorèmes limites : un guide traitera de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, de la loi faible des grands nombres, de la convergence en loi et du théorème limite central.

• L'estimation : un article reprendra les estimateurs et les intervalles de confiance, en distinguant ce qui est attendu dans chaque option.

• La simulation en Python : un dernier guide rassemblera les commandes de numpy.random et les programmes types à savoir écrire et compléter.