Machines thermiques en prépa : moteur, réfrigérateur, pompe à chaleur et rendement

Les machines thermiques en bref

Ce que dit le programme officiel

Les programmes de première année ont été publiés au Bulletin officiel spécial n° 1 du 11 février 2021 et s'appliquent depuis la rentrée 2021 : voir par exemple le programme officiel de la voie PCSI. En MPSI, PCSI, PTSI et MP2I, la partie 3.5 porte sur l'application des deux principes « aux machines thermiques cycliques dithermes : rendement, efficacité, théorème de Carnot ». Les capacités exigibles sont identiques dans les quatre filières :

• donner le sens des échanges énergétiques pour un moteur ou un récepteur thermique ditherme ;

• analyser un dispositif concret et le modéliser par une machine cyclique ditherme ;

• définir un rendement ou une efficacité et les relier aux énergies échangées au cours d'un cycle ;

• justifier et utiliser le théorème de Carnot ;

• citer quelques ordres de grandeur des rendements des machines réelles actuelles ;

• expliquer le principe de la cogénération ;

• mettre en œuvre une machine thermique cyclique ditherme, en travaux pratiques.

En deuxième année, d'après les programmes publiés au Bulletin officiel n° 31 du 26 août 2021, MP, PC et PSI prolongent le chapitre avec les systèmes ouverts en écoulement stationnaire : premier principe en enthalpie massique, Δs = se + sc, et étude de machines réelles avec le diagramme (P,h), complété par le diagramme (T,s) en PC. En PT, dont le programme figure dans le même Bulletin officiel, une partie « Thermodynamique industrielle » traite compresseurs, turbines, détendeurs, échangeurs et cycles industriels.

Les conventions de signe et les deux bilans

Le système, c'est le fluide

Le système étudié est le fluide, qui revient périodiquement dans le même état. En prépa, on compte positivement les transferts reçus : un transfert que le fluide reçoit est positif, un transfert qu'il cède est négatif. Pour revoir l'écriture des bilans, relis notre fiche sur le premier principe de la thermodynamique.

Sur un cycle, on note W le travail reçu, Qc le transfert thermique reçu de la source chaude à Tc et Qf celui reçu de la source froide à Tf. Les sources sont des thermostats, de température constante, exprimée en kelvins.

Les deux bilans sur un cycle

Premier principe. Sur un cycle, les fonctions d'état reprennent leur valeur initiale : ΔU = 0, d'où W + Qc + Qf = 0.

Second principe. De même ΔS = 0. Le bilan du programme, ΔS = Sech + Scréé, avec Sech = Qc/Tc + Qf/Tf pour deux thermostats et Scréé ≥ 0, donne :

Qc/Tc + Qf/Tf = −Scréé ≤ 0

C'est l'inégalité de Clausius pour une machine ditherme ; l'égalité correspond à un cycle réversible.

Pas de moteur monotherme

Avec une seule source à T, on obtient W + Q = 0 et Q/T ≤ 0, donc W ≥ 0 : le fluide ne peut que recevoir du travail. Un moteur cyclique monotherme est impossible, c'est l'énoncé de Kelvin du second principe. Un récepteur monotherme existe, en revanche : un radiateur électrique reçoit du travail électrique et cède de la chaleur.

Moteur, réfrigérateur et pompe à chaleur

Le sens des échanges

Le réfrigérateur et la pompe à chaleur sont des récepteurs : ils reçoivent du travail pour faire passer de la chaleur du froid vers le chaud. Ils fonctionnent de la même façon, seule l'énergie utile change.

Rendement et efficacités : utile sur coûteux

La performance est le rapport, positif, de l'énergie utile à l'énergie coûteuse :

• moteur : η = −W/Qc = 1 + Qf/Qc, inférieur à 1 puisque Qf < 0 ;

• réfrigérateur : e = Qf/W ;

• pompe à chaleur : e = −Qc/W = 1 + Qf/W.

Pour un même cycle, l'efficacité en pompe à chaleur vaut celle en réfrigérateur plus 1. Une efficacité dépasse en général 1 : la machine déplace de la chaleur au lieu de la produire. Pour une pompe à chaleur, on parle aussi de coefficient de performance, ou COP.

Le théorème de Carnot

L'énoncé

Le rendement d'un moteur ditherme ne peut pas dépasser le rendement de Carnot, qui ne dépend que des températures des sources :

η ≤ ηC = 1 − Tf/Tc

L'égalité est atteinte pour un fonctionnement réversible : tous les moteurs réversibles entre les deux mêmes sources ont le même rendement, quel que soit le fluide. De même, l'efficacité d'un réfrigérateur est majorée par Tf/(Tc − Tf) et celle d'une pompe à chaleur par Tc/(Tc − Tf).

La démonstration

Le programme demande de « justifier » le théorème : sache le démontrer. Pour le moteur, l'inégalité de Clausius donne Qf/Tf ≤ −Qc/Tc ; en multipliant par Tf et en divisant par Qc > 0, Qf/Qc ≤ −Tf/Tc, d'où η = 1 + Qf/Qc ≤ 1 − Tf/Tc.

Pour la pompe à chaleur, Clausius donne −Qf ≥ Qc Tf/Tc, donc W = −Qc − Qf ≥ −Qc (1 − Tf/Tc). Comme −Qc > 0, e = −Qc/W ≤ Tc/(Tc − Tf). Le réfrigérateur se traite de la même façon. La méthode est toujours la même : premier principe, inégalité de Clausius, puis grandeur utile et grandeur coûteuse exprimées avec un seul transfert.

Ce que le théorème t'apprend

• Un moteur gagne à un grand écart de température. Entre 573 K et 293 K, soit 300 °C et 20 °C, ηC ≈ 0,49 : même parfait, ce moteur rejette plus de la moitié de la chaleur reçue.

• Une pompe à chaleur gagne à un faible écart. Entre 5 °C dehors et 35 °C dans un plancher chauffant, l'efficacité maximale vaut 308/30 ≈ 10,3 ; à −10 °C dehors, elle tombe à 308/45 ≈ 6,8.

• Les machines réelles restent en dessous. Frottements et transferts thermiques sous un écart de température fini créent de l'entropie.

Ordres de grandeur et cogénération

Dans une centrale thermique classique, la chaleur cédée à la source froide est perdue dans l'environnement. La cogénération la récupère pour chauffer des bâtiments ou un procédé industriel : le même combustible produit électricité et chaleur utile, sans contourner Carnot.

Une plaquette de la DRIRE Île-de-France, ancien service régional de l'État, en donne des chiffres : sur la saison de chauffe 2003-2004, les cogénérations de la région avaient un rendement électrique de 34 % et un rendement thermique de 42 %, soit 76 % au total. Elle situe le rendement global d'une cogénération « de l'ordre de 65 à 85 % ».

Le cycle de Carnot

Quatre transformations réversibles

Avec deux thermostats, un échange de chaleur n'est réversible qu'à la température de la source, et le fluide ne doit échanger aucune chaleur entre les deux. Le seul cycle ditherme réversible comporte donc :

1. une détente isotherme à Tc, au contact de la source chaude ;

2. une détente adiabatique réversible de Tc à Tf ;

3. une compression isotherme à Tf, au contact de la source froide ;

4. une compression adiabatique réversible de Tf à Tc.

Il porte le nom de Sadi Carnot, auteur en 1824 des « Réflexions sur la puissance motrice du feu ».

Les diagrammes

Dans le diagramme de Clapeyron, le travail reçu vaut W = −∮ P dV : l'aire du cycle donne sa valeur absolue. Parcouru dans le sens horaire, le cycle donne W < 0, c'est un moteur ; dans le sens trigonométrique, c'est un récepteur. Dans le diagramme entropique (T,S), le cycle de Carnot est un rectangle, deux isothermes horizontales et deux isentropiques verticales, et le sens horaire correspond aussi à un moteur.

Application à un gaz parfait

Prends une mole de gaz parfait avec γ = 1,4, entre Tc = 600 K et Tf = 300 K, le volume doublant pendant la détente isotherme. Les formules sont celles de notre fiche sur le gaz parfait en prépa.

• Isotherme à Tc : ΔU = 0, donc Qc = nR Tc ln 2 ≈ 8,314 × 600 × 0,693 ≈ 3,46 kJ.

• Adiabatiques : la loi de Laplace, T V^(γ−1) constant, impose le même rapport de volumes, 2, sur les deux isothermes. Les travaux des deux adiabatiques, n Cv (Tf − Tc) et n Cv (Tc − Tf), se compensent.

• Isotherme à Tf : Qf = −nR Tf ln 2 ≈ −1,73 kJ.

• Bilan : W = −(Qc + Qf) ≈ −1,73 kJ et η = −W/Qc = 0,50 = 1 − 300/600.

On vérifie que Qc/Tc + Qf/Tf = 0 : le cycle est réversible. Infiniment lent, il reste une référence, pas un moteur réel.

Le cycle de Beau de Rochas

Le cycle à quatre temps est décrit par Alphonse Beau de Rochas dans un brevet de 1862, puis réalisé par Nikolaus Otto en 1876 ; on parle aussi de cycle d'Otto. Dans le modèle des exercices, de l'air assimilé à un gaz parfait subit :

1. A → B : une compression adiabatique réversible de Vmax à Vmin ;

2. B → C : un apport de chaleur à volume constant, qui modélise la combustion ;

3. C → D : une détente adiabatique réversible de Vmin à Vmax ;

4. D → A : un refroidissement à volume constant, qui modélise l'échappement.

Seules les isochores échangent de la chaleur : Q1 = n Cv (TC − TB) > 0 et Q2 = n Cv (TA − TD) < 0. D'où η = 1 + Q2/Q1 = 1 − (TD − TA)/(TC − TB). Avec la loi de Laplace et le rapport volumétrique a = Vmax/Vmin, TB = TA a^(γ−1) et TC = TD a^(γ−1), ce qui donne :

η = 1 − a^(1−γ)

Pour a = 9 et γ = 1,4, η ≈ 0,58. Avec TA = 300 K et TC = 2 000 K, on trouve TB ≈ 722 K et TD ≈ 830 K, alors que le rendement de Carnot entre 300 K et 2 000 K vaut 0,85.

Attention : ce cycle n'est pas ditherme, les échanges thermiques se font à température variable. Ne calcule pas son rendement avec la formule de Carnot, qui n'en donne qu'un majorant : repars toujours de Q1 et Q2.

Exercices corrigés

Exercice 1 : un moteur réel

Un moteur fonctionne entre Tc = 800 K et Tf = 300 K. Par cycle, le fluide reçoit Qc = 2,0 kJ et fournit 0,75 kJ de travail. Calcule Qf, η, ηC et l'entropie créée.

• Signes : W = −0,75 kJ, puisque le fluide fournit le travail.

• Premier principe : Qf = −W − Qc = −1,25 kJ, cédés à la source froide.

• Rendement : η = 0,75/2,0 = 0,375, inférieur à ηC = 1 − 300/800 = 0,625.

• Entropie créée : Scréé = −(Qc/Tc + Qf/Tf) = −(2,50 − 4,17) ≈ 1,67 J/K par cycle, positive comme il se doit.

Exercice 2 : un congélateur

L'intérieur est à −18 °C, la cuisine à 25 °C. Le fluide extrait 100 W de l'intérieur avec une efficacité réelle de 2,0.

• Températures : Tf = 255 K et Tc = 298 K, jamais en degrés Celsius dans les formules.

• Puissance électrique : P = 100/2,0 = 50 W.

• Premier principe en puissance : Pc = −(P + Pf) = −150 W. La cuisine reçoit 150 W : l'arrière de l'appareil chauffe.

• Carnot : emax = 255/43 ≈ 5,9, environ trois fois l'efficacité réelle.

Pour modéliser l'appareil : l'évaporateur est au contact de la source froide, le condenseur de la source chaude, et le compresseur fournit le travail.

Exercice 3 : une pompe à chaleur

Une maison a besoin de 8,0 kW de chauffage, fournis par une pompe à chaleur d'efficacité 3,5, valeur donnée par l'énoncé.

• Puissance électrique : 8,0/3,5 ≈ 2,3 kW, contre 8,0 kW pour des radiateurs électriques.

• Chaleur prise à l'air extérieur : 8,0 − 2,3 ≈ 5,7 kW.

Les erreurs fréquentes

• Mélanger les conventions : écris tout comme reçu par le fluide, puis place les signes selon le fonctionnement.

• Utiliser des degrés Celsius dans Tf/Tc : 300 °C et 20 °C donnent 1 − 293/573, pas 1 − 20/300.

• Oublier le signe moins dans η = −W/Qc.

• Confondre les efficacités : l'énergie utile est Qf pour le réfrigérateur, −Qc pour la pompe à chaleur.

• Appliquer Carnot à un cycle non ditherme, comme celui de Beau de Rochas.