Théorème de Gauss en électrostatique : énoncé, méthode et exemples corrigés
Théorème de Gauss électrostatique : énoncé exact, lien avec Maxwell-Gauss, méthode en 5 étapes et exemples corrigés, de la boule au condensateur plan.
ViragePrépa
Le théorème de Gauss en électrostatique te permet de calculer un champ électrique en quelques lignes, à condition que la distribution de charges soit très symétrique. C'est l'une des lois centrales de notre guide sur l'électromagnétisme en prépa, et un calcul incontournable de deuxième année, à l'écrit comme en colle.
Tu trouveras ici l'énoncé, la méthode en cinq étapes, cinq exemples corrigés et l'analogie gravitationnelle. À ne pas confondre avec le théorème de Gauss d'arithmétique (si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c).
Le théorème de Gauss en bref
Question | Réponse |
|---|---|
Énoncé | Le flux de E sortant d'une surface fermée S vaut Qint / ε₀ |
Qint | Charge totale contenue à l'intérieur de S |
Constante | ε₀ ≈ 8,85 × 10⁻¹² F·m⁻¹, permittivité du vide |
Forme locale | div E = ρ / ε₀, équation de Maxwell-Gauss |
Passage de l'une à l'autre | Théorème d'Ostrogradski |
Quand l'utiliser pour calculer E | Distributions de haute symétrie : sphérique, cylindrique, plane |
Programmes | Deuxième année de MP, PC et PSI, programmes publiés au BO n°31 du 26 août 2021 |
Équivalent en gravitation | Flux de g sortant de S = −4πG Mint |
L'énoncé exact du théorème de Gauss
Flux du champ électrique
Le flux de E à travers une surface est la somme des produits scalaires E · dS, où dS est le vecteur surface élémentaire, normal à la surface. Pour une surface fermée, dS est toujours orienté vers l'extérieur. Deux cas servent dans tous les exercices : si E est colinéaire à dS et de norme constante sur une portion d'aire A, le flux vaut E × A, avec E algébrique ; si E est perpendiculaire à dS, le flux est nul.
L'énoncé
Pour toute surface fermée S, en électrostatique :
flux de E sortant de S = ∯ E · dS = Qint / ε₀
où Qint est la charge totale située à l'intérieur de S. Cette surface, que tu choisis librement, s'appelle la surface de Gauss.
Vérifie-le avec une charge ponctuelle q au centre d'une sphère de rayon r : le champ de Coulomb, q / (4π ε₀ r²), est radial et de norme constante sur la sphère, donc le flux vaut q / (4π ε₀ r²) × 4π r² = q / ε₀. Le rayon disparaît : c'est la décroissance en 1 / r² qui rend le flux indépendant de la surface.
Ce que le théorème ne dit pas
Il ne dit pas que le champ sur S ne dépend que des charges intérieures. Les charges extérieures créent bien un champ sur la surface, mais leur flux total est nul. Le théorème est toujours vrai ; il ne donne le champ que si les symétries permettent de sortir E de l'intégrale.
Du théorème de Gauss à l'équation de Maxwell-Gauss
Le théorème d'Ostrogradski dit que le flux d'un champ A sortant d'une surface fermée est égal à l'intégrale de div A sur le volume V qu'elle délimite. Le flux de E devient donc l'intégrale de div E sur V, tandis que Qint / ε₀ est l'intégrale de ρ / ε₀ sur V. L'égalité valant pour tout volume, aussi petit soit-il, on obtient en chaque point div E = ρ / ε₀ : c'est l'équation de Maxwell-Gauss, forme locale du théorème. Pour la relier aux trois autres, lis notre fiche sur les équations de Maxwell et leurs formes locale et intégrale.
Le théorème de Gauss dans les programmes de MP, PC et PSI
Les programmes de deuxième année ont été publiés au Bulletin officiel n°31 du 26 août 2021 et s'appliquent depuis la rentrée 2022.
Filière | Ce que dit le programme officiel |
|---|---|
MP | L'accent est mis sur le théorème de Gauss « pour des situations présentant un haut degré de symétrie ; ce dernier est admis ». Il faut établir les champs d'une sphère chargée en volume, d'un cylindre infini chargé en volume et d'un plan infini chargé en surface, étudier le condensateur plan comme superposition de deux distributions surfaciques de charges opposées et « utiliser le théorème de Gauss de la gravitation ». |
PC | Rubrique « Théorème de Gauss et équation locale de Maxwell-Gauss » : choisir une surface adaptée et utiliser le théorème. Pour les distributions continues, on se limite aux situations de haute symétrie traitées par Gauss et à leurs superpositions. Plan infini, condensateur plan, capacité, densité d'énergie, analogies avec le champ gravitationnel. |
PSI | Maxwell-Gauss est prise comme postulat. Il faut « énoncer et appliquer le théorème de Gauss », établir le champ et le potentiel d'une charge ponctuelle et de distributions à symétrie sphérique et cylindrique, le champ d'un plan infini et celui d'un condensateur plan en négligeant les effets de bord. Les seuls calculs de champ électrique exigibles doivent pouvoir se faire par le théorème de Gauss. |
En MP, « admis » signifie que tu n'as pas à démontrer le théorème à partir de la loi de Coulomb, mais que tu dois savoir l'énoncer et l'appliquer avec rigueur. En PSI, Maxwell-Gauss est un postulat dont le théorème découle par Ostrogradski, que les trois programmes demandent de « citer et utiliser ». En PC, les équations de Maxwell figurent dans une rubrique intitulée « Postulats de l'électromagnétisme », et le programme ne précise pas de démonstration attendue pour le théorème de Gauss.
La méthode en 5 étapes
Rédige les cinq étapes à chaque fois : identifier puis exploiter les symétries et les invariances fait partie des capacités exigibles des trois programmes.
Étape 1 : les symétries
Elles reposent sur le principe de Curie, énoncé par Pierre Curie en 1894 : les effets ont au moins les symétries de leurs causes. Le champ E étant un vecteur polaire, en un point M d'un plan de symétrie de la distribution, E(M) est contenu dans ce plan ; en un point d'un plan d'antisymétrie, il lui est perpendiculaire. Avec deux plans de symétrie passant par M, E(M) est porté par leur droite d'intersection.
Étape 2 : les invariances
Une invariance par translation selon un axe supprime la dépendance en la coordonnée correspondante ; une invariance par rotation supprime la dépendance angulaire. Tu conclus par une ligne du type E = E(r) ur, où ur est le vecteur unitaire radial et E(r) une composante algébrique.
Étape 3 : la surface de Gauss
Elle doit être fermée, passer par M et respecter les symétries : sur chaque morceau, E est soit colinéaire à dS et de norme constante, soit perpendiculaire à dS. Sphère pour une symétrie sphérique, cylindre fermé par ses deux bases pour une symétrie cylindrique ou plane.
Étape 4 : le flux
Découpe la surface en morceaux : ceux où E est perpendiculaire à dS donnent zéro, les autres E × aire, avec le signe imposé par l'orientation vers l'extérieur.
Étape 5 : la charge intérieure
Calcule Qint en distinguant les zones (M dans la distribution ou hors d'elle), égale le flux à Qint / ε₀ et isole E. Vérifie ensuite l'homogénéité et la continuité du champ pour une distribution volumique.
Exemples corrigés
Distribution | Surface de Gauss | Champ obtenu |
|---|---|---|
Boule de rayon R, charge Q en volume | Sphère de rayon r | Q / (4π ε₀ r²) dehors ; Q r / (4π ε₀ R³) dedans |
Fil infini, densité λ | Cylindre coaxial fermé | λ / (2π ε₀ r) |
Cylindre infini de rayon a, densité ρ | Cylindre coaxial fermé | ρ a² / (2 ε₀ r) dehors ; ρ r / (2 ε₀) dedans |
Plan infini, densité σ | Cylindre fermé traversant le plan | σ / (2 ε₀) de chaque côté |
Condensateur plan, ±σ | Superposition de deux plans | σ / ε₀ entre les armatures, 0 dehors |
Exemple 1 : la boule uniformément chargée en volume
Une boule de centre O et de rayon R porte une charge Q uniforme, de densité ρ = 3Q / (4π R³). On cherche E en M, à la distance r de O.
Symétries : tout plan contenant la droite OM est un plan de symétrie. E(M) appartient à tous ces plans, donc à la droite OM : il est radial.
Invariances : invariance par toute rotation autour de O, donc E = E(r) ur.
Surface de Gauss : la sphère de centre O et de rayon r. Flux = E(r) × 4π r².
Charge intérieure : Qint = Q pour r ≥ R ; Qint = ρ × (4/3)π r³ = Q r³ / R³ pour r ≤ R.
Résultat : E(r) = Q / (4π ε₀ r²) à l'extérieur ; E(r) = Q r / (4π ε₀ R³) = ρ r / (3 ε₀) à l'intérieur.
Vérification : les deux valent Q / (4π ε₀ R²) en r = R, le champ est continu. À l'extérieur, c'est le champ d'une charge ponctuelle Q placée en O, résultat que le programme de MP demande d'établir pour toute distribution à symétrie sphérique.
En prenant V nul à l'infini, E = −dV/dr donne V(r) = Q / (4π ε₀ r) à l'extérieur et V(r) = Q (3 − r² / R²) / (8π ε₀ R) à l'intérieur.
Variante : si Q est répartie sur la seule surface de la sphère, Qint = 0 pour r < R et le champ intérieur est nul ; il saute alors de σ / ε₀ en r = R, avec σ = Q / (4π R²).
Exemple 2 : le fil infini
Un fil infini, porté par l'axe Oz, a une densité linéique λ uniforme ; r est la distance de M à l'axe.
Symétries : le plan contenant le fil et M, et le plan perpendiculaire au fil passant par M, sont deux plans de symétrie. Leur intersection est la droite radiale passant par M.
Invariances : translation selon Oz et rotation autour de Oz, donc E = E(r) ur.
Surface de Gauss : un cylindre fermé d'axe Oz, de rayon r et de hauteur h.
Flux : nul sur les bases, où E est perpendiculaire à dS ; E(r) × 2π r h sur la surface latérale.
Charge intérieure : Qint = λ h.
Résultat : E(r) = λ / (2π ε₀ r).
Attention : le fil s'étendant jusqu'à l'infini, on ne peut pas prendre le potentiel nul à l'infini. On obtient V(r) = −λ ln(r / r₀) / (2π ε₀), avec r₀ une distance de référence.
Exemple 3 : le cylindre infini chargé en volume
Ce cas figure explicitement au programme de MP. Un cylindre infini d'axe Oz et de rayon a porte une densité volumique ρ uniforme. Symétries, invariances et surface de Gauss sont celles du fil : le flux vaut E(r) × 2π r h.
Pour r ≥ a : Qint = ρ π a² h, d'où E(r) = ρ a² / (2 ε₀ r).
Pour r ≤ a : Qint = ρ π r² h, d'où E(r) = ρ r / (2 ε₀).
Les deux expressions valent ρ a / (2 ε₀) en r = a. En posant λ = ρ π a², le champ extérieur devient λ / (2π ε₀ r) : vu de l'extérieur, le cylindre se comporte comme un fil.
Exemple 4 : le plan infini uniformément chargé
Le plan z = 0 porte une densité surfacique σ uniforme.
Symétries : tout plan perpendiculaire au plan chargé et passant par M est un plan de symétrie, donc E(M) est porté par uz, le vecteur unitaire normal au plan.
Invariances : translations selon Ox et Oy, donc E ne dépend que de z : E = E(z) uz.
Symétrie supplémentaire : le plan chargé est lui-même plan de symétrie, d'où E(−z) = −E(z).
Surface de Gauss : un cylindre fermé de section A, d'axe parallèle à Oz, dont les bases sont aux cotes z et −z, avec z > 0.
Flux : nul sur la surface latérale. Base du haut, normale sortante uz : E(z) A. Base du bas, normale sortante −uz : −E(−z) A = E(z) A. Total : 2 E(z) A.
Charge intérieure : Qint = σ A.
Résultat : E(z) = σ / (2 ε₀) pour z > 0 et −σ / (2 ε₀) pour z < 0.
Le champ est uniforme de chaque côté, dirigé vers l'extérieur si σ est positive, et saute de σ / ε₀ à la traversée : c'est la relation de passage, que le programme de MP permet d'exploiter à condition de la rappeler ; en PC, elle ne figure pas au programme, qui fait seulement remarquer cette discontinuité.
Exemple 5 : le condensateur plan
Deux armatures parallèles d'aire S, distantes de e, portent +σ et −σ. Si e est petit devant les dimensions des armatures, on néglige les effets de bord et on superpose deux plans infinis. L'armature positive crée σ / (2 ε₀) en s'éloignant d'elle, la négative σ / (2 ε₀) vers elle. Entre les armatures, les deux champs s'ajoutent : E = σ / ε₀, de l'armature positive vers la négative. À l'extérieur, ils se compensent : E = 0.
La tension vaut U = E e = σ e / ε₀ et, avec Q = σ S, la capacité C = Q / U = ε₀ S / e. Pour S = 100 cm² et e = 1 mm, C ≈ 8,85 × 10⁻¹¹ F, soit environ 89 pF. L'énergie C U² / 2 s'écrit aussi (ε₀ E² / 2) × S e : la densité volumique d'énergie multipliée par le volume, calcul demandé en PC et en PSI.
Le théorème de Gauss gravitationnel
Les forces de Coulomb et de Newton ont la même forme en 1 / r², à un signe près : deux masses s'attirent toujours.
Électrostatique | Gravitation |
|---|---|
Charge q | Masse m |
Champ E | Champ g |
1 / (4π ε₀) | −G, avec G ≈ 6,67 × 10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻² |
Flux de E sortant de S = Qint / ε₀ | Flux de g sortant de S = −4πG Mint |
div E = ρ / ε₀ | div g = −4πG ρm |
Le signe moins traduit le fait que g pointe vers les masses. Modélise une planète de masse M et de rayon R par une boule homogène et reprends l'exemple 1 : à l'extérieur, g(r) = −G M / r², comme si toute la masse était au centre ; à l'intérieur, g(r) = −G M r / R³. Dans ce modèle, qui reste une approximation, la pesanteur s'annule au centre.
Les erreurs fréquentes
Prendre une surface ouverte : un cylindre sans ses bases n'est pas une surface de Gauss. Inclus les bases, puis montre que leur flux est nul.
Affirmer les symétries sans les justifier : nomme les plans de symétrie passant par M, puis les invariances.
Confondre charge intérieure et charge totale : dans la boule, Qint vaut Q r³ / R³, pas Q.
Se tromper de signe : dS est sortant, E(r) est algébrique, σ ou λ peuvent être négatives. Oublier la base inférieure du cylindre, pour le plan, donne σ / ε₀ au lieu de σ / (2 ε₀) : un champ deux fois trop grand.
Utiliser Gauss sans symétrie suffisante : pour un disque ou un fil fini, le théorème est vrai mais ne donne pas le champ.
Oublier l'hypothèse des effets de bord négligés pour le condensateur plan.
Regroupe la méthode et les cinq résultats sur une fiche de révision d'une page, puis refais chaque calcul sans regarder.
Conclusion
Le théorème de Gauss en électrostatique tient en une ligne, flux de E sortant d'une surface fermée = Qint / ε₀, et sa forme locale s'obtient par Ostrogradski. Sa force vient de la méthode : symétries justifiées par le principe de Curie, invariances, surface fermée adaptée, flux, charge intérieure zone par zone, puis vérification. Avec les cinq exemples corrigés et l'analogie gravitationnelle, tu couvres l'essentiel des programmes de MP, PC et PSI.
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