Équations de Maxwell : forme locale, forme intégrale et sens physique

Les équations de Maxwell en bref

Dans tout l'article, E est le champ électrique, B le champ magnétique, j le vecteur densité de courant, ρ la densité volumique de charge, ε₀ la permittivité du vide et μ₀ la perméabilité du vide. Les formes intégrales sont écrites pour une surface ou un contour fixes.

Les deux premières portent sur la divergence : ce sont des équations de flux. Les deux dernières portent sur le rotationnel : ce sont des équations de circulation. Maxwell-Thomson et Maxwell-Faraday ne font intervenir ni ρ ni j, alors que Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère relient les champs à leurs sources.

Un peu d'histoire : de Maxwell à Heaviside

James Clerk Maxwell publie en 1865 « A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field » dans les « Philosophical Transactions » de la Royal Society. Il y rassemble les lois de l'électricité et du magnétisme et en déduit que la lumière est une onde électromagnétique. Son système, écrit composante par composante, est bien plus long que celui que tu apprends : c'est Oliver Heaviside qui, au milieu des années 1880, le réécrit sous la forme vectorielle compacte utilisée aujourd'hui.

Maxwell-Gauss : les charges sources du champ électrique

La forme locale s'écrit div E = ρ/ε₀ : en un point, la divergence du champ électrique est proportionnelle à la densité de charge en ce point. La forme intégrale est le théorème de Gauss : pour toute surface fermée S, le flux de E sortant de S vaut Qint/ε₀, où Qint est la charge contenue dans S.

Physiquement, une charge positive est une « source » de lignes de champ et une charge négative un « puits ». Là où il n'y a pas de charge, le flux de E qui entre dans un petit volume est égal à celui qui en sort. Cette équation reste vraie en régime variable. Elle permet de calculer le champ d'une sphère chargée, d'un fil infini ou d'un plan, à condition que la symétrie donne la direction de E et les variables dont il dépend.

Maxwell-Thomson : le flux magnétique se conserve

La forme locale s'écrit div B = 0. La forme intégrale dit que le flux de B sortant de toute surface fermée est nul : on parle de conservation du flux magnétique.

Le champ magnétique n'a ni source ni puits ponctuel : il n'existe pas de monopôle magnétique. Conséquence utile : le flux de B à travers une surface qui s'appuie sur un contour ne dépend que du contour. C'est ce qui donne un sens au « flux à travers un circuit » de la loi de Faraday. Attention, div B = 0 ne signifie pas que B est uniforme.

Maxwell-Faraday : l'induction

La forme locale s'écrit rot E = −∂B/∂t. Pour un contour C fixe et orienté, et une surface S qui s'appuie sur C, la forme intégrale s'écrit : circulation de E le long de C = −dΦ/dt, où Φ est le flux de B à travers S.

Un champ magnétique variable crée un champ électrique dont la circulation sur un contour fermé n'est pas nulle. Pour un circuit fixe, cette circulation est la force électromotrice induite : tu retrouves la loi de Faraday e = −dΦ/dt vue en première année. Le signe moins traduit la loi de Lenz : les effets de l'induction s'opposent à leur cause.

En régime statique, rot E = 0 et le champ dérive d'un potentiel : E = −grad V. En régime variable, ce n'est plus vrai en général, un point sur lequel le programme de PC insiste explicitement.

Maxwell-Ampère : les sources du champ magnétique

La forme locale s'écrit rot B = μ₀ j + μ₀ε₀ ∂E/∂t. Pour un contour C fixe et une surface S qui s'appuie sur C, la forme intégrale est le théorème d'Ampère généralisé : circulation de B le long de C = μ₀ Ienlacé + μ₀ε₀ d(flux de E à travers S)/dt.

Le champ magnétique « tourne » autour de deux types de sources : les courants, décrits par j, et les champs électriques variables. En régime stationnaire, le second terme disparaît et tu retrouves le théorème d'Ampère de la magnétostatique. Le terme ε₀ ∂E/∂t a la dimension d'une densité de courant : on l'appelle courant de déplacement, même si aucune charge ne se déplace.

Passer de la forme locale à la forme intégrale

Les deux théorèmes à connaître

Les programmes officiels demandent de « citer et utiliser » deux théorèmes d'analyse vectorielle.

• Le théorème d'Ostrogradski, ou de flux-divergence : le flux d'un champ A sortant d'une surface fermée S, orientée vers l'extérieur, est égal à l'intégrale de div A sur le volume V délimité par S.

• Le théorème de Stokes, ou de Kelvin-Stokes : la circulation de A le long d'un contour fermé C est égale au flux de rot A à travers une surface S qui s'appuie sur C, orientée par la règle de la main droite.

Deux exemples

De Maxwell-Gauss au théorème de Gauss : intègre div E = ρ/ε₀ sur un volume V délimité par S. À droite, tu obtiens Qint/ε₀ ; à gauche, Ostrogradski transforme l'intégrale de div E en flux de E sortant de S.

De Maxwell-Faraday à la loi de Faraday : calcule le flux des deux membres de rot E = −∂B/∂t à travers une surface S fixe. Stokes transforme le flux de rot E en circulation de E sur C. Comme S ne bouge pas, le flux de −∂B/∂t vaut −dΦ/dt.

Pour remonter de l'intégral au local, on applique les mêmes théorèmes, puis on utilise le fait que l'égalité vaut pour tout volume ou toute surface, aussi petits soient-ils. Retiens la répartition : Ostrogradski pour les équations de flux (Gauss, Thomson), Stokes pour les équations de circulation (Faraday, Ampère).

Le courant de déplacement et la conservation de la charge

Une cohérence à vérifier

La conservation de la charge s'écrit localement div j + ∂ρ/∂t = 0 : si de la charge sort d'un petit volume, la densité de charge y diminue d'autant.

Prends la divergence de Maxwell-Ampère. La divergence d'un rotationnel est nulle, donc 0 = μ₀ div j + μ₀ε₀ ∂(div E)/∂t. Avec Maxwell-Gauss, div E = ρ/ε₀, il reste div j + ∂ρ/∂t = 0. Sans le courant de déplacement, tu obtiendrais div j = 0 en toutes circonstances, ce qui est faux dès que de la charge s'accumule quelque part. Les programmes de MP, PC et PSI demandent tous de savoir établir ce lien.

L'exemple du condensateur qui se charge

Un fil alimente un condensateur plan avec un courant I. Prends un contour circulaire autour du fil. Une surface qui coupe le fil est traversée par I ; une surface déformée pour passer entre les armatures n'est traversée par aucun courant de conduction. Sans courant de déplacement, le même contour donnerait deux résultats différents.

Entre les armatures, en négligeant les effets de bord, E = Q/(ε₀ A), où Q est la charge de l'armature positive et A l'aire des armatures. Le flux de E vaut Q/ε₀, et ε₀ fois sa dérivée vaut dQ/dt = I : le courant de déplacement prend exactement le relais du courant de conduction.

L'équation de propagation dans le vide

Établir l'équation

Dans une région vide de charges et de courants, ρ = 0 et j = 0. Prends le rotationnel de Maxwell-Faraday et utilise l'identité rot(rot E) = grad(div E) − ΔE, où Δ est le laplacien vectoriel. Comme div E = 0, le membre de gauche vaut −ΔE. Celui de droite vaut −∂(rot B)/∂t, soit −μ₀ε₀ ∂²E/∂t² d'après Maxwell-Ampère.

Tu obtiens l'équation de d'Alembert : ΔE − (1/c²) ∂²E/∂t² = 0, avec c = 1/√(μ₀ε₀). Le même calcul donne l'équation identique pour B. Le couplage des deux équations de circulation fait naître les ondes électromagnétiques, qui se propagent dans le vide à la vitesse c : les interactions électromagnétiques ne sont pas instantanées.

Les valeurs de ε₀, μ₀ et c depuis 2019

Depuis la révision du Système international entrée en vigueur le 20 mai 2019, les unités sont définies à partir de sept constantes fixées exactement, dont c = 299 792 458 m/s et la charge élémentaire e. L'ancienne définition de l'ampère fixait μ₀ à exactement 4π × 10⁻⁷ H/m. D'après la brochure du SI du Bureau international des poids et mesures, c'est désormais e qui est fixée, et μ₀ doit être déterminée expérimentalement. Valeurs recommandées CODATA 2022, publiées par le NIST :

La relation ε₀μ₀c² = 1 reste vraie. Pour tes calculs, 4π × 10⁻⁷ H/m reste une excellente approximation de μ₀, l'écart relatif étant de l'ordre de 10⁻¹⁰, mais n'écris plus que cette valeur est exacte.

L'ARQS : quand négliger le courant de déplacement

L'approximation des régimes quasi stationnaires, ou ARQS, néglige les effets de propagation. Le temps de parcours du système, de l'ordre de L/c pour une taille L, doit être très petit devant le temps caractéristique T des variations, ce qui revient à L très petite devant la longueur d'onde λ = cT. À 50 Hz, λ vaut 6 000 km : tout circuit de laboratoire est dans l'ARQS. À 1 GHz, λ ne vaut plus que 30 cm : l'ARQS devient discutable dès qu'un circuit mesure quelques centimètres.

Dans l'ARQS magnétique, cadre retenu par les programmes de PC et de PSI, on néglige le courant de déplacement : rot B = μ₀ j. On garde Maxwell-Faraday, donc l'induction. La conservation de la charge devient div j = 0 : l'intensité est la même en tout point d'une branche, ce qui justifie la loi des nœuds. Les champs magnétiques établis en régime stationnaire, comme celui d'un solénoïde, restent valables en régime lentement variable.

Équations de Maxwell dans les milieux

Dans la matière, des charges et courants liés au matériau s'ajoutent aux charges et courants libres. Le programme de PSI traite les milieux magnétiques : il définit l'aimantation M et l'excitation magnétique H, avec B = μ₀(H + M), et demande d'écrire Maxwell-Ampère avec H. Dans l'ARQS, elle devient rot H = j, où j ne contient que les courants libres. Les sources de H sont les courants libres ; celles de B sont les courants libres et l'aimantation. Pour les diélectriques, on introduit de même D = ε₀E + P, où P est la polarisation, avec div D = ρ libre ; cette notion ne figure pas aux programmes de MP, PC et PSI.

Place dans les programmes officiels de deuxième année

Les programmes de seconde année de MP, PC et PSI ont été fixés par trois arrêtés du 13 juillet 2021, publiés au Bulletin officiel n°31 du 26 août 2021 et appliqués depuis la rentrée 2022.

Les erreurs fréquentes aux concours

• Oublier le signe moins de Maxwell-Faraday ou mal orienter. Fixe l'orientation du contour, puis celle de la surface par la règle de la main droite.

• Confondre les surfaces. Gauss utilise une surface fermée ; Faraday et Ampère, une surface ouverte qui s'appuie sur un contour.

• Écrire E = −grad V en régime variable, alors que rot E n'est pas nul.

• Mal gérer le courant de déplacement : l'oublier hors ARQS, ou le garder quand l'énoncé se place dans l'ARQS.

• Croire que div B = 0 signifie B uniforme.

• Mal utiliser le laplacien vectoriel : il ne se calcule composante par composante qu'en coordonnées cartésiennes.

• Négliger l'homogénéité : μ₀ε₀ ∂E/∂t doit avoir la même unité que μ₀ j.

Méthode pour un exercice sur les équations de Maxwell

1. Identifie le régime : statique, ARQS ou propagation. Il dit quels termes garder.

2. Analyse symétries et invariances pour trouver la direction des champs et leurs variables.

3. Choisis la forme adaptée : l'intégrale avec une forte symétrie (surface de Gauss, contour d'Ampère), la locale pour établir une équation aux dérivées partielles ou vérifier qu'un champ proposé est solution.

4. Oriente avant de calculer : normale sortante pour une surface fermée, main droite pour un contour.

5. Contrôle ton résultat : homogénéité, cas limites, cohérence avec la conservation de la charge.

Pour garder en tête formes locales, formes intégrales et conditions de validité, regroupe-les sur une fiche de révision d'une page.