Loi de Lenz-Faraday : comprendre l'induction électromagnétique en prépa

La loi de Lenz-Faraday en bref

Un peu d'histoire : Faraday, Lenz et Neumann

Michael Faraday découvre l'induction en 1831 : dans son expérience de l'anneau de fer, notée le 29 août, l'établissement ou la coupure du courant dans un enroulement fait apparaître un courant bref dans un second. C'est la variation du magnétisme, et non sa présence, qui produit l'effet.

En 1834, le physicien Heinrich Lenz, qui travaille à Saint-Pétersbourg, énonce la règle qui donne le sens du courant induit. En 1845, Franz Neumann donne aux lois de l'induction une forme mathématique.

L'induction dans le programme de prépa

En première année, l'induction forme la partie 1.7 « Induction et forces de Laplace » des programmes de physique de MPSI et de PCSI, fixés par les arrêtés du 5 janvier 2021, publiés au Bulletin officiel spécial n°1 du 11 février 2021 et appliqués depuis la rentrée 2021.

Les limites sont nettes : « toute étude du champ électromoteur est exclue », et le circuit mobile est étudié dans un champ uniforme et stationnaire, avec deux modèles seulement, les rails de Laplace et le cadre rectangulaire en rotation. Le programme insiste aussi sur l'expérience : interpréter des expériences illustrant les lois de Lenz et de Faraday, mesurer une inductance propre (et une inductance mutuelle en PCSI).

En deuxième année, l'induction revient avec les équations locales. Les programmes de MP et de PC demandent de relier l'équation de Maxwell-Faraday à la loi de Faraday. Celui de PSI approfondit les courants de Foucault, déjà vus qualitativement en première année, et ajoute l'énergie de deux bobines couplées et l'inégalité M² ≤ L1 L2, puis la conversion de puissance : transformateur, machine synchrone, machine à courant continu.

Le flux magnétique : la grandeur de départ

Le flux du champ magnétique B à travers une surface S qui s'appuie sur un contour fermé est la somme des produits scalaires B · dS, où dS est un élément de surface orienté. Pour un champ uniforme et une surface plane, cas exigible en première année :

Φ = B S cos θ

où θ est l'angle entre B et la normale n à la surface. Pour une bobine de N spires identiques, le flux total vaut N B S cos θ. Comme le flux de B à travers toute surface fermée est nul, le flux à travers un circuit ne dépend que du contour. Le calcul rappelle le flux électrique du théorème de Gauss en électrostatique.

L'orientation est la clé. Tu choisis un sens de parcours du circuit, arbitraire, que tu flèches sur le schéma. La normale n s'en déduit par la règle de la main droite : les doigts suivent le sens de parcours, le pouce indique n. Changer l'orientation change le signe de Φ, de e et de i, jamais le sens réel du courant.

La loi de Faraday : e = −dΦ/dt

Quand le flux à travers un circuit varie, une force électromotrice induite apparaît :

e = −dΦ/dt

La force électromotrice e est comptée dans le sens d'orientation du circuit : dans le schéma équivalent, c'est un générateur de force électromotrice e, en convention générateur, orienté dans ce sens. Le programme demande précisément d'« utiliser la loi de Faraday en précisant les conventions d'algébrisation » : sans orientation explicite, le signe moins n'a aucun sens.

Exemple : une bobine de N = 100 spires de surface S = 10 cm², soit 1,0 × 10⁻³ m², est placée dans un champ uniforme parallèle à son axe. On oriente le circuit pour que la normale soit dans le sens de B. Le champ passe régulièrement de 0 à 0,50 T en 0,10 s. Le flux augmente de N S ΔB = 100 × 1,0 × 10⁻³ × 0,50 = 5,0 × 10⁻² Wb en 0,10 s, donc e = −0,50 V. Si la bobine est fermée sur une résistance totale R = 2,0 Ω, le courant vaut i = e / R = −0,25 A : il circule en sens inverse de l'orientation choisie.

La loi de Lenz : le sens du signe moins

La loi de Lenz est une loi de modération : les effets de l'induction s'opposent aux causes qui leur ont donné naissance. Le courant induit crée son propre champ, dont le flux s'oppose à la variation du flux extérieur. Dans l'exemple précédent, le flux augmente, donc le courant induit crée un champ opposé à B : c'est bien ce que traduit i < 0.

Attention : le courant induit s'oppose à la variation du flux, pas au champ. Si le flux diminue, le champ induit est dans le même sens que B.

• Un aimant qu'on approche d'une spire, pôle nord en avant : le flux augmente, la spire présente une face nord à l'aimant et le repousse. Si on éloigne l'aimant, elle l'attire.

• Un aimant qui tombe dans un tube de cuivre : les courants induits dans le tube le freinent nettement.

Le signe moins est une exigence énergétique : avec un signe plus, le courant induit renforcerait sa cause et le système créerait de l'énergie à partir de rien. Faraday donne la valeur, Lenz donne le sens et sert de contrôle.

Induction de Neumann et induction de Lorentz

On distingue traditionnellement deux cas, que le programme désigne par leur situation physique plutôt que par ces noms.

En première année, la méthode ne change pas : dans les deux cas, tu calcules e avec la loi de Faraday, le champ électromoteur étant hors programme. En deuxième année, l'équation de Maxwell-Faraday, rot E = −∂B/∂t, éclaire le cas de Neumann : pour un contour fixe, la circulation du champ électrique est égale à −dΦ/dt. Le passage de la forme locale à la forme intégrale est détaillé dans notre article sur les équations de Maxwell.

Auto-induction et inductance mutuelle

L'inductance propre

Un circuit parcouru par un courant i crée un flux à travers lui-même, le flux propre, proportionnel à i :

Φp = L i

L est l'inductance propre, exprimée en henrys (H), toujours positive quand la normale est liée au sens de i par la règle de la main droite. Si i varie, la loi de Faraday donne une force électromotrice d'auto-induction e = −L di/dt. En convention récepteur, la tension aux bornes d'une bobine idéale est u = L di/dt.

Pour une bobine longue de N spires, de longueur ℓ et de section S, L = μ₀ N² S / ℓ. Avec N = 1 000 spires, ℓ = 50 cm et un rayon de 2,0 cm, on obtient L ≈ 3,2 mH.

Par la loi de Lenz, la bobine s'oppose aux variations du courant : d'où la continuité de l'intensité qui la traverse, et l'étincelle possible à l'ouverture brutale d'un circuit inductif.

L'énergie magnétique

La puissance reçue par la bobine vaut u i = L i di/dt, c'est-à-dire la dérivée de L i² / 2. Une bobine parcourue par un courant i stocke donc l'énergie magnétique :

E = L i² / 2

Pour la bobine précédente parcourue par 2,0 A, E ≈ 6,3 mJ.

L'inductance mutuelle

Deux circuits proches sont couplés : i1 crée un flux M i1 à travers le second circuit, et i2 un flux M i2 à travers le premier, avec le même coefficient M, l'inductance mutuelle, dont le signe dépend des orientations choisies.

Pour deux bobines longues de même axe, de même longueur ℓ et de même section S, en « influence totale », on obtient M = μ₀ N1 N2 S / ℓ, et M² = L1 L2 : c'est le couplage parfait. En général, M² ≤ L1 L2, inégalité que le programme de PSI demande d'établir.

C'est le principe du transformateur : deux enroulements de N1 et N2 spires traversés par le même flux. Dans le modèle idéal, le rapport des tensions vaut, en valeur absolue, N2 / N1. Il faut un flux variable : en continu, aucune tension n'est transmise.

Force de Laplace et couplage électromécanique

La force de Laplace

Un élément de conducteur de longueur dl, parcouru par un courant i et placé dans un champ magnétique extérieur B, subit la force de Laplace :

dF = i dl ∧ B

Pour une barre de longueur ℓ perpendiculaire à un champ uniforme, la résultante vaut i ℓ B en valeur absolue. Seul le champ extérieur intervient, pas le champ propre de la barre.

Les rails de Laplace corrigés

Deux rails horizontaux parallèles à l'axe Ox, distants de ℓ, sont reliés en x = 0 par une résistance R. Une barre de masse m, parallèle à l'axe Oy, glisse sans frottement sur les rails à l'abscisse x, avec la vitesse v = dx/dt. L'ensemble est plongé dans un champ uniforme et vertical B = B uz, dirigé vers le haut. On néglige l'auto-induction.

1. Orientation : on oriente le circuit dans le sens trigonométrique vu de dessus, de sorte que la normale soit uz, dans le sens de B. Dans la barre, le sens positif du courant est alors celui de uy.

2. Flux : la surface du circuit vaut ℓ x, donc Φ = B ℓ x.

3. Loi de Faraday : e = −dΦ/dt = −B ℓ v.

4. Équation électrique : e = R i, soit i = −B ℓ v / R.

5. Force de Laplace : F = i ℓ uy ∧ B uz = i ℓ B ux, soit, en projection sur Ox, F = −B² ℓ² v / R. Elle freine la barre, comme le prévoit la loi de Lenz.

6. Équation mécanique : m dv/dt = −B² ℓ² v / R. La vitesse décroît exponentiellement, v(t) = v0 exp(−t/τ), avec τ = m R / (B² ℓ²).

Application numérique : m = 50 g, R = 0,10 Ω, B = 0,50 T et ℓ = 10 cm donnent τ = 0,050 × 0,10 / (0,25 × 0,010) = 2,0 s.

Le bilan de puissance

La puissance de la force de Laplace vaut i ℓ B v, celle de la force électromotrice e i = −B ℓ v i. Leur somme est nulle :

P(Laplace) + e i = 0

Ce résultat, général pour un circuit mobile dans un champ stationnaire, traduit une conversion intégrale entre puissance mécanique et électrique. Ici, e i = R i² : l'énergie cinétique perdue part en effet Joule, soit m v0² / 2 = 25 mJ au total pour v0 = 1,0 m/s. Avec un générateur dans la maille, la barre se met en mouvement : c'est le principe du moteur.

Les applications de l'induction

• L'alternateur : une bobine de N spires de surface S tourne à vitesse angulaire ω dans un champ uniforme B, autour d'un axe perpendiculaire au champ. Le flux vaut N B S cos(ωt), donc e = N B S ω sin(ωt). Avec N = 100, S = 1,0 × 10⁻² m², B = 0,10 T et une fréquence de 50 Hz, l'amplitude atteint environ 31 V.

• Le freinage par courants de Foucault : dans une pièce métallique massive en mouvement dans un champ magnétique, des courants induits circulent et, par la loi de Lenz, freinent le mouvement. C'est le principe des ralentisseurs électromagnétiques des poids lourds, sans usure par frottement. Les plaques à induction exploitent les mêmes courants pour chauffer le fond de la casserole.

• Le transformateur : il élève ou abaisse une tension alternative. Son noyau feuilleté limite les pertes par courants de Foucault, un point étudié en PSI.

• Le haut-parleur : une bobine mobile, solidaire de la membrane et placée dans le champ d'un aimant permanent, subit une force de Laplace quand le courant du signal la traverse. Le microphone électrodynamique fonctionne à l'inverse, par induction.

La méthode pour un exercice d'induction

1. Orienter le circuit sur le schéma, puis en déduire la normale par la règle de la main droite.

2. Calculer le flux Φ(t), extérieur et éventuellement propre.

3. Appliquer la loi de Faraday : e = −dΦ/dt, ou e = −L di/dt pour l'auto-induction.

4. Écrire l'équation électrique sur le schéma équivalent, e en convention générateur.

5. Écrire l'équation mécanique avec la force ou le couple de Laplace : principe fondamental de la dynamique ou théorème du moment cinétique.

6. Résoudre le système couplé, puis vérifier : loi de Lenz, bilan P(Laplace) + e i = 0, homogénéité.

Les erreurs d'orientation fréquentes

• Calculer un flux sans avoir orienté le circuit : le signe de Φ, donc celui de e, devient arbitraire.

• Placer e en convention récepteur dans le schéma équivalent, ce qui inverse tous les signes.

• Confondre l'angle θ entre B et la normale avec l'angle entre B et le plan de la spire : cos devient sin.

• Oublier le facteur N pour une bobine de plusieurs spires.

• Croire que le courant induit s'oppose au champ alors qu'il s'oppose à la variation du flux.

• Oublier le signe de M, qui dépend des orientations des deux circuits.

Loi de Faraday de l'induction ou loi de Faraday de l'électrolyse

« Loi de Faraday » désigne aussi des lois d'électrochimie, dues au même Faraday : la quantité de matière transformée à une électrode est proportionnelle à la quantité d'électricité qui a traversé l'électrolyte. Elles font intervenir la constante de Faraday, environ 96 485 C·mol⁻¹. Rien à voir avec e = −dΦ/dt : « loi de Lenz-Faraday » désigne toujours l'induction.