Théorème d'Ampère : énoncé, méthode et exemples en magnétostatique

Le théorème d'Ampère en bref

L'énoncé exact du théorème d'Ampère

La circulation du champ magnétique

La circulation de B le long d'une courbe est la somme des produits scalaires B · dl, où dl est le déplacement élémentaire, tangent à la courbe et orienté dans son sens de parcours. Si B est tangent à la courbe et de norme constante sur une longueur ℓ, la circulation vaut B × ℓ, avec B algébrique ; si B est perpendiculaire à dl, elle est nulle.

L'énoncé

En régime stationnaire, pour tout contour fermé orienté C :

circulation de B le long de C = ∮ B · dl = μ₀ Ienl

Ienl est le courant enlacé : l'intensité algébrique qui traverse n'importe quelle surface S s'appuyant sur C, c'est-à-dire le flux du vecteur densité de courant j à travers S. Le résultat ne dépend pas de la surface choisie, car en régime stationnaire div j = 0 : deux surfaces qui s'appuient sur le même contour sont traversées par le même courant.

Attention : les courants extérieurs créent bien un champ le long du contour, mais leur contribution à la circulation est nulle.

L'orientation : la règle de la main droite

Si les doigts de ta main droite suivent le sens de parcours du contour, ton pouce indique la normale à S : un courant dans ce sens compte positivement, l'inverse négativement. Un fil qui traverse S deux fois en sens contraires ne compte pas ; N spires qui la traversent dans le même sens apportent N I.

La forme locale

Le théorème de Stokes transforme la circulation de B en flux de rot B ; l'égalité valant pour toute surface, rot B = μ₀ j. C'est Maxwell-Ampère en régime stationnaire, complétée par div B = 0.

Le théorème d'Ampère dans les programmes de MP, PC et PSI

Les programmes de deuxième année ont été fixés par des arrêtés du 13 juillet 2021, publiés au Bulletin officiel n°31 du 26 août 2021, et s'appliquent depuis la rentrée 2022 : voir par exemple l'arrêté relatif à la voie MP.

Dans les trois filières, la loi de Biot et Savart et le potentiel vecteur sont hors programme.

La méthode en 5 étapes

Rédige les cinq étapes à chaque fois : exploiter les propriétés de symétrie des sources fait partie des capacités exigibles des trois programmes.

Étape 1 : les symétries, avec un champ axial

C'est ici que le magnétisme diffère de l'électrostatique : E est un vecteur polaire, B un vecteur axial, et les règles s'inversent. En un point M d'un plan de symétrie des courants, B(M) est perpendiculaire à ce plan ; dans un plan d'antisymétrie, B(M) est contenu dans le plan. Pour un fil infini, le plan qui contient le fil est un plan de symétrie ; un plan perpendiculaire au fil est un plan d'antisymétrie, car la réflexion inverse le sens du courant.

Étape 2 : les invariances

Chaque invariance par translation ou rotation supprime une variable. Conclus par une ligne du type B = B(r) uθ, où uθ est le vecteur unitaire orthoradial.

Étape 3 : le contour d'Ampère

Il doit être fermé, passer par M et respecter les symétries : sur chaque morceau, B est soit tangent et de norme constante, soit perpendiculaire au contour. Cercle d'axe Oz pour un fil, un câble ou un tore ; rectangle dans un plan contenant l'axe pour un solénoïde. Oriente-le tout de suite.

Étape 4 : la circulation

Les morceaux où B est perpendiculaire à dl donnent zéro, les autres B × longueur, avec le signe imposé par le sens de parcours.

Étape 5 : le courant enlacé

Calcule Ienl zone par zone, avec les signes, et isole B. Vérifie l'homogénéité, le sens et la continuité du champ pour une distribution volumique.

Exemples corrigés

Pour les applications numériques, retiens que μ₀ / (2π) vaut environ 2 × 10⁻⁷ H·m⁻¹.

Exemple 1 : le fil infini, fin puis épais

Un fil rectiligne infini d'axe Oz est parcouru par un courant I dans le sens de uz ; r est la distance de M à l'axe.

• Symétries : le plan contenant le fil et M est un plan de symétrie des courants. B(M) lui est perpendiculaire : il est orthoradial.

• Invariances : translation selon Oz et rotation autour de Oz, donc B = B(r) uθ.

• Contour d'Ampère : le cercle d'axe Oz et de rayon r passant par M, parcouru dans le sens de uθ, ce qui oriente la surface selon +uz. La circulation vaut 2π r B(r).

• Courant enlacé : Ienl = I.

• Résultat : B(r) = μ₀ I / (2π r). Pour I = 10 A et r = 1 cm, B = 2 × 10⁻⁴ T, soit 0,2 mT.

Ce modèle donne un champ infini sur l'axe. Les programmes de MP et de PSI demandent aussi le fil de section non nulle : un cylindre de rayon a parcouru par un courant I uniforme, de densité j = I / (π a²). Même méthode, même contour.

• Pour r ≥ a : Ienl = I, d'où B(r) = μ₀ I / (2π r), comme pour un fil fin.

• Pour r ≤ a : Ienl = I r² / a², d'où B(r) = μ₀ I r / (2π a²).

Les deux valent μ₀ I / (2π a) en r = a : le champ est continu et maximal à la surface. Vérification locale : la composante axiale du rotationnel, (1/r) d(r B)/dr, vaut μ₀ I / (π a²) = μ₀ j à l'intérieur et 0 à l'extérieur.

Exemple 2 : le câble coaxial

Une âme de rayon a porte un courant I, une gaine comprise entre les rayons b et c le courant de retour −I, tous deux uniformes en volume. Même contour circulaire ; seul le courant enlacé change.

• Pour r ≤ a : B = μ₀ I r / (2π a²).

• Pour a ≤ r ≤ b : B = μ₀ I / (2π r).

• Pour b ≤ r ≤ c : Ienl = I (c² − r²) / (c² − b²), d'où B = μ₀ I (c² − r²) / (2π r (c² − b²)).

• Pour r ≥ c : Ienl = I − I = 0, donc B = 0.

Le champ est continu en r = b et s'annule en r = c : à l'extérieur, le câble ne crée aucun champ magnétique.

Exemple 3 : le solénoïde infini

Un solénoïde infini d'axe Oz comporte n spires jointives par mètre, parcourues par un courant I et modélisées par des boucles circulaires.

• Symétries : tout plan perpendiculaire à l'axe passant par M est un plan de symétrie des courants. B(M) lui est perpendiculaire : B est porté par uz.

• Invariances : rotation autour de Oz et translation selon Oz, donc B = B(r) uz.

• Contour d'Ampère : un rectangle dans un plan contenant l'axe, avec deux côtés de longueur h parallèles à l'axe. Sur les côtés radiaux, B est perpendiculaire à dl : contribution nulle.

Un rectangle entièrement intérieur n'enlace aucun courant : B(r₁) h − B(r₂) h = 0, le champ intérieur est uniforme. Le même raisonnement montre que le champ extérieur est uniforme ; sa nullité est admise par les programmes, et tu dois le dire dans ta copie. Un rectangle à cheval sur les spires enlace n h spires : B h = μ₀ n h I, d'où B = μ₀ n I, dans le sens donné par la règle de la main droite. Pour n = 1 000 spires par mètre et I = 2 A, B ≈ 2,5 mT.

Le programme de PC demande d'en déduire l'inductance d'une bobine longue de N spires, de longueur ℓ et de section S : le flux propre N B S donne L = μ₀ N² S / ℓ, et l'énergie L I² / 2 s'écrit (B² / 2μ₀) × S ℓ.

Exemple 4 : la bobine torique

Au programme de PSI, une bobine torique comporte N spires régulièrement enroulées sur un tore d'axe Oz, chacune contenue dans un plan contenant l'axe, parcourues par un courant I.

• Symétries : avec des spires nombreuses et régulières, tout plan contenant l'axe et M est un plan de symétrie des courants. B(M) est orthoradial.

• Invariances : dans ce modèle, invariance par rotation autour de Oz, donc B = B(r, z) uθ.

• Contour d'Ampère : le cercle d'axe Oz et de rayon r passant par M. La circulation vaut 2π r B.

• Courant enlacé : si M est dans le tore, chacune des N spires traverse une fois le disque, toujours dans le même sens : Ienl = N I. Si M est à l'extérieur, soit aucun fil ne traverse le disque, soit chaque spire le traverse deux fois en sens contraires : Ienl = 0.

• Résultat : B = μ₀ N I / (2π r) dans le tore, 0 à l'extérieur.

Ici, la nullité du champ extérieur est démontrée, et non admise. Pour N = 200, I = 1 A et r = 5 cm, B = 0,8 mT. Si le tore est grand devant sa section, N / (2π r) est un nombre de spires par mètre : tu retrouves μ₀ n I.

Les limites du théorème d'Ampère

• Il faut une symétrie suffisante. Pour une spire circulaire ou une bobine courte, le théorème reste vrai mais ne permet pas de sortir B de l'intégrale ; en prépa, ces champs sont en général fournis par l'énoncé.

• Il suppose le régime stationnaire. En régime variable, il faut le courant de déplacement.

• Les modèles infinis ont un domaine de validité. Le solénoïde infini décrit l'intérieur d'une bobine longue loin de ses extrémités, pas les effets de bord.

Le théorème d'Ampère et la loi de Biot et Savart

La loi de Biot et Savart porte le nom de Jean-Baptiste Biot et Félix Savart, qui mesurent en 1820 le champ créé par un fil parcouru par un courant, l'année même où Ørsted observe qu'un courant dévie l'aiguille d'une boussole. Elle donne le champ créé en M par un élément de circuit de longueur dl, parcouru par un courant I et situé en P :

dB(M) = (μ₀ / 4π) · I dl ∧ u / r²

où r est la distance PM et u le vecteur unitaire dirigé de P vers M. Elle donne B partout par intégration, au prix de calculs lourds ; Ampère ne le donne qu'avec de fortes symétries, mais en quelques lignes. Pour le fil infini, les deux donnent μ₀ I / (2π r).

Retiens son statut : le programme de MP précise que son utilisation « pour calculer un champ magnétostatique est donc exclue », celui de PC qu'elle « ne figure pas au programme », et celui de PSI la classe hors programme.

Le théorème d'Ampère généralisé : Maxwell-Ampère

Charge un condensateur plan par un courant i et prends un contour circulaire autour du fil. Une surface plane s'appuyant sur ce contour est traversée par le fil : Ienl = i. Une surface en poche, qui passe entre les armatures, n'est traversée par aucun courant : Ienl = 0. Le théorème ne peut donc pas s'appliquer tel quel en régime variable.

Maxwell a levé la contradiction dans les années 1860 en ajoutant le courant de déplacement. La forme générale s'écrit rot B = μ₀ j + μ₀ ε₀ ∂E/∂t et, pour un contour C fixe et une surface S qui s'appuie sur C :

∮ B · dl = μ₀ Ienl + μ₀ ε₀ d(flux de E à travers S)/dt

C'est le théorème d'Ampère généralisé. Entre les armatures d'aire A, en négligeant les effets de bord, E = q / (ε₀ A) : le flux Φ de E à travers la poche vaut q / ε₀, et μ₀ ε₀ dΦ/dt = μ₀ dq/dt = μ₀ i. Les deux surfaces donnent bien la même circulation. Les quatre équations et le passage du local à l'intégral sont détaillés dans notre fiche sur les équations de Maxwell.

Dans l'ARQS magnétique, on néglige le courant de déplacement, et les programmes de PC et de PSI demandent d'étendre aux régimes lentement variables les champs obtenus en régime stationnaire. En PSI, Maxwell-Ampère est aussi réécrite avec l'excitation magnétique H pour les milieux ferromagnétiques.

Les erreurs fréquentes

• Oublier d'orienter le contour : sans sens de parcours, le signe du courant enlacé n'a pas de sens.

• Appliquer à B les règles de symétrie de E : B est perpendiculaire aux plans de symétrie des courants.

• Confondre courant enlacé et courant total : dans le fil épais, Ienl vaut I r² / a², pas I.

• Oublier les signes : la gaine du câble coaxial apporte −I ; un fil qui traverse deux fois la surface ne compte pas.

• Utiliser Ampère sans symétrie suffisante, ou sous sa forme statique hors de l'ARQS.

Regroupe la méthode et les résultats sur une fiche de révision d'une page, en face de celle sur le théorème de Gauss en électrostatique, puis refais chaque calcul sans regarder.