Le produit vectoriel : définition, calcul et applications en prépa

Ce que recouvre le produit vectoriel

Une opération réservée à l'espace de dimension 3

Le produit vectoriel se définit dans un espace euclidien orienté de dimension 3. Cette restriction n'est pas un détail pédagogique. Dans le plan, deux vecteurs n'ont pas de direction orthogonale commune qui reste dans le plan. En dimension 3, le sous-espace orthogonal à deux vecteurs non colinéaires est une droite. C'est ce qui permet de désigner un vecteur unique une fois fixées la norme et l'orientation.

En dimension supérieure, l'orthogonal de deux vecteurs n'est plus une droite. Il n'existe donc pas de produit vectoriel au sens usuel dans ℝ⁴. Retiens la formulation courte : le produit vectoriel, tel que tu l'utilises, vit en dimension 3.

Un vecteur en sortie, pas un scalaire

Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre réel. Le produit vectoriel associe à deux vecteurs un nouveau vecteur. Cette différence de nature commande tout le reste. Une expression comme (u ∧ v) ∧ w a un sens, car u ∧ v est un vecteur.

À l'inverse, (u · v) ∧ w n'a aucun sens, car u · v est un nombre. Ce contrôle de cohérence est le premier réflexe à installer. Avant de calculer, demande-toi quel type d'objet chaque opération produit.

Pourquoi la physique en a besoin

Beaucoup de grandeurs physiques décrivent une rotation ou un effet transverse. Le moment d'une force mesure l'aptitude d'une force à faire tourner un solide autour d'un point. La force de Lorentz dévie une particule chargée perpendiculairement à sa vitesse et au champ magnétique.

Dans les deux cas, il faut un outil qui produise une direction perpendiculaire aux deux vecteurs de départ. Le produit vectoriel encode la perpendicularité, l'intensité et le sens en une seule écriture.

La définition géométrique rigoureuse

Les trois conditions qui caractérisent u ∧ v

Soient u et v deux vecteurs d'un espace euclidien orienté de dimension 3. Leur produit vectoriel u ∧ v est l'unique vecteur vérifiant trois conditions simultanées. La direction, la norme, le sens.

Première condition : u ∧ v est orthogonal à u et orthogonal à v. Deuxième condition : sa norme vaut

‖u ∧ v‖ = ‖u‖ × ‖v‖ × sin θ

où ‖u‖ et ‖v‖ sont les normes des deux vecteurs, exprimées dans l'unité du problème, et θ ∈ [0 ; π] est l'angle non orienté entre u et v, mesuré en radians ou en degrés. Troisième condition : le triplet (u, v, u ∧ v) forme une base directe quand u et v ne sont pas colinéaires.

La règle de la main droite

La troisième condition fixe le sens. Elle se traduit par un geste. Place le pouce de ta main droite le long de u, l'index le long de v. Le majeur, perpendiculaire aux deux, indique le sens de u ∧ v.

Une variante donne le même résultat. Referme les doigts de la main droite en allant de u vers v par le plus court chemin. Le pouce tendu pointe alors dans le sens de u ∧ v. Cette règle n'est pas un théorème. C'est la traduction manuelle du choix d'orientation de l'espace.

Le rôle de l'orientation

Le produit vectoriel dépend de l'orientation choisie pour l'espace. Si tu changes d'orientation, le vecteur u ∧ v change de sens. C'est pour cette raison qu'on parle de pseudo-vecteur, ou vecteur axial, pour les grandeurs construites par produit vectoriel.

En pratique, tu travailles presque toujours dans une base orthonormée directe. L'orientation est alors fixée une fois pour toutes. Il reste à ne pas changer de convention en cours de problème.

Le cas des vecteurs colinéaires

Si u et v sont colinéaires, l'angle θ vaut 0 ou π. Le sinus est nul, donc la norme du produit vectoriel est nulle. Le produit vectoriel est alors le vecteur nul. En particulier, u ∧ u = 0 pour tout vecteur u.

Ce cas n'est pas une exception gênante. C'est un critère utile, sur lequel repose une grande partie des exercices de géométrie de l'espace.

L'expression en coordonnées cartésiennes

La formule dans une base orthonormée directe

Place-toi dans une base orthonormée directe. Note u = (u₁, u₂, u₃) et v = (v₁, v₂, v₃). Le produit vectoriel s'écrit alors composante par composante.

u ∧ v = (u₂v₃ − u₃v₂ ; u₃v₁ − u₁v₃ ; u₁v₂ − u₂v₁)

Les uᵢ et vᵢ sont les coordonnées des deux vecteurs dans la base choisie. Chaque composante du résultat a pour unité le produit des unités de u et de v. Cette formule n'est valable que si la base est orthonormée et directe. Dans une base quelconque, elle est fausse.

Le déterminant symbolique comme moyen mnémotechnique

Retenir la formule brute est pénible. Le moyen mnémotechnique classique consiste à écrire un déterminant symbolique 3 × 3. En première colonne les vecteurs de base i, j, k. En deuxième colonne les coordonnées de u. En troisième colonne celles de v.

Le développement de ce déterminant selon la première colonne redonne les trois composantes. Ce déterminant est symbolique, car sa première colonne contient des vecteurs et non des nombres. Il sert de support de mémoire, pas de démonstration.

Les produits des vecteurs de base

Dans une base orthonormée directe (i, j, k), trois relations résument tout. Elles se déduisent directement de la définition.

i ∧ j = k, j ∧ k = i, k ∧ i = j

Ici i, j et k sont les trois vecteurs unitaires de la base, sans dimension physique. Les produits dans l'ordre inverse donnent l'opposé, par exemple j ∧ i = −k. Et i ∧ i = j ∧ j = k ∧ k = 0.

Les propriétés à connaître par cœur

Antisymétrie

Le produit vectoriel est antisymétrique. Pour tous vecteurs u et v, on a v ∧ u = −(u ∧ v). L'ordre des facteurs change le sens du résultat. Le produit vectoriel n'est donc pas commutatif.

Cette propriété se lit sur la définition géométrique. Échanger u et v échange pouce et index, ce qui retourne le majeur. Elle entraîne aussi u ∧ u = 0.

Bilinéarité

Le produit vectoriel est linéaire par rapport à chaque variable. Pour tout réel λ et tous vecteurs u, v, w, on a (λu) ∧ v = λ(u ∧ v) et u ∧ (λv) = λ(u ∧ v). On a également u ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w.

La distributivité par rapport à l'addition est très utilisée en physique. Elle permet de décomposer une force ou un champ en composantes avant de calculer.

Non-associativité

Le produit vectoriel n'est pas associatif. En général, (u ∧ v) ∧ w ≠ u ∧ (v ∧ w). Les parenthèses ne sont donc jamais facultatives. Une expression comme u ∧ v ∧ w, écrite sans parenthèses, n'a pas de sens.

Un contre-exemple suffit à s'en convaincre. Prends u = i, v = i, w = j. Alors (i ∧ i) ∧ j = 0. Mais i ∧ (i ∧ j) = i ∧ k = −j. Les deux résultats diffèrent.

Le critère de colinéarité

La propriété la plus exploitée en exercice tient en une ligne. Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si u ∧ v = 0.

Ce critère sert à tester l'alignement de trois points. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si AB ∧ AC = 0. Il sert aussi à vérifier le parallélisme de deux droites. Son avantage est qu'il se calcule sans détour, sans résoudre de système.

Le tableau ci-dessous récapitule les formules à savoir restituer sans hésitation.

Produit scalaire et produit vectoriel : ne pas les confondre

Deux opérations de nature différente

Le produit scalaire mesure un alignement. Il est maximal quand les deux vecteurs sont colinéaires, nul quand ils sont orthogonaux. Le produit vectoriel mesure l'inverse. Il est nul quand les vecteurs sont colinéaires, maximal en norme quand ils sont orthogonaux.

Les deux opérations sont complémentaires. L'une fait intervenir le cosinus de l'angle, l'autre le sinus. Un article dédié au produit scalaire existe déjà sur le site, et le propos ici se limite à la distinction utile.

Le tableau de comparaison

Les confusions fréquentes

La première confusion porte sur les symboles. Le point et le symbole ∧ ne sont pas interchangeables. Certains ouvrages notent le produit vectoriel u × v.

La deuxième porte sur le résultat. Écrire « u ∧ v = 5 » est une faute de nature, pas un écart de calcul. La troisième porte sur l'angle. Le cosinus dans un cas, le sinus dans l'autre.

Aire, produit mixte et double produit vectoriel

L'aire du parallélogramme

La norme du produit vectoriel a une lecture géométrique directe. Construis le parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont u et v. Son aire vaut ‖u ∧ v‖.

La justification est immédiate. L'aire d'un parallélogramme vaut base multipliée par hauteur. En prenant ‖u‖ comme base, la hauteur vaut ‖v‖ × sin θ. L'aire du triangle construit sur u et v vaut donc la moitié, soit ‖u ∧ v‖ ÷ 2.

Le produit mixte

Le produit mixte de trois vecteurs u, v, w est le nombre réel défini par det(u, v, w) = (u ∧ v) · w. Il combine les deux produits, et le résultat est un scalaire.

En coordonnées, dans une base orthonormée directe, c'est exactement le déterminant 3 × 3 dont les colonnes sont les coordonnées de u, v et w. Le produit mixte est invariant par permutation circulaire. On a (u ∧ v) · w = (v ∧ w) · u = (w ∧ u) · v. Une transposition de deux vecteurs change son signe.

Le volume et la coplanarité

La valeur absolue du produit mixte donne le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs.

V = |(u ∧ v) · w|

où V est le volume du parallélépipède d'arêtes u, v et w, exprimé dans le cube de l'unité de longueur choisie. Le critère qui suit est très utilisé. Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul. Quatre points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si (AB ∧ AC) · AD = 0.

La formule du double produit vectoriel

Puisque le produit vectoriel n'est pas associatif, il faut savoir développer une expression à trois facteurs. La formule à connaître est la suivante.

u ∧ (v ∧ w) = (u · w) v − (u · v) w

Ici u, v et w sont trois vecteurs quelconques de l'espace, et les coefficients (u · w) et (u · v) sont des nombres réels. Le moyen mnémotechnique courant est la formule « BAC moins CAB », qui rappelle l'ordre des lettres. Elle sert en mécanique du solide et en électromagnétisme, notamment pour transformer une expression contenant un champ tournant.

Deux exemples entièrement résolus

Exemple 1 : un calcul en coordonnées

Prends u = (2 ; −1 ; 3) et v = (1 ; 4 ; −2) dans une base orthonormée directe. On cherche u ∧ v, puis l'aire du parallélogramme construit sur u et v, puis l'angle entre les deux vecteurs.

Première étape, la première composante. Elle vaut u₂v₃ − u₃v₂, soit (−1) × (−2) − 3 × 4 = 2 − 12 = −10.

Deuxième étape, la deuxième composante. Elle vaut u₃v₁ − u₁v₃, soit 3 × 1 − 2 × (−2) = 3 + 4 = 7.

Troisième étape, la troisième composante. Elle vaut u₁v₂ − u₂v₁, soit 2 × 4 − (−1) × 1 = 8 + 1 = 9.

On obtient donc u ∧ v = (−10 ; 7 ; 9).

Quatrième étape, la vérification. Le résultat doit être orthogonal à u et à v. On calcule u · (u ∧ v) = 2 × (−10) + (−1) × 7 + 3 × 9 = −20 − 7 + 27 = 0. Puis v · (u ∧ v) = 1 × (−10) + 4 × 7 + (−2) × 9 = −10 + 28 − 18 = 0. Les deux produits scalaires sont nuls, le calcul est cohérent.

Cinquième étape, l'aire. Elle vaut ‖u ∧ v‖ = √(100 + 49 + 81) = √230 ≈ 15,17 unités d'aire.

Sixième étape, l'angle. On a ‖u‖ = √14 et ‖v‖ = √21, donc ‖u‖ × ‖v‖ = √294 ≈ 17,15. Il vient sin θ = √230 ÷ √294 ≈ 0,885. Le sinus ne suffit pas à lever l'ambiguïté. On calcule u · v = 2 − 4 − 6 = −8, donc cos θ = −8 ÷ √294 ≈ −0,467. L'angle vaut donc environ 117,8 degrés.

Cette double vérification, par orthogonalité puis par le couple sinus et cosinus, est le réflexe à prendre en colle.

Exemple 2 : le moment d'une force

Tu serres un écrou avec une clé plate. Le point d'application est en A, l'axe de rotation passe par O. La distance OA vaut 25 cm, soit 0,25 m. Tu exerces une force d'intensité 150 N.

Le moment de la force F par rapport au point O est défini par

M_O = OA ∧ F

où OA est le vecteur position du point d'application, en mètres, F la force, en newtons, et M_O le moment, en newton-mètre.

Premier cas, la force est perpendiculaire à la clé. Choisis un repère orthonormé direct tel que OA = (0,25 ; 0 ; 0) m et F = (0 ; 150 ; 0) N. Les composantes du moment se calculent avec la formule des coordonnées. La première vaut 0 × 0 − 0 × 150 = 0. La deuxième vaut 0 × 0 − 0,25 × 0 = 0. La troisième vaut 0,25 × 150 − 0 × 0 = 37,5.

Le moment vaut donc M_O = (0 ; 0 ; 37,5) N·m. Sa norme est 37,5 N·m, et sa direction est l'axe de la vis. Le résultat se retrouve par la formule géométrique, puisque sin 90° = 1, soit 0,25 × 150 × 1 = 37,5 N·m.

Deuxième cas, la force fait un angle de 60 degrés avec la clé. Alors F = 150 × (cos 60° ; sin 60° ; 0), soit F ≈ (75 ; 129,9 ; 0) N. La troisième composante du moment vaut 0,25 × 129,9 − 0 × 75 ≈ 32,5.

Le moment vaut donc environ 32,5 N·m, toujours selon l'axe de la vis. On retrouve ce nombre par la formule géométrique, avec 0,25 × 150 × sin 60° ≈ 0,25 × 150 × 0,866 ≈ 32,5 N·m.

Troisième cas, la force est alignée avec la clé. Les deux vecteurs sont colinéaires, le produit vectoriel est nul. Le moment est nul, et l'écrou ne tourne pas. Ce résultat traduit une expérience que tu connais : tirer dans l'axe du manche ne sert à rien.

Applications, erreurs classiques et place au programme

En physique

Le moment cinétique d'un point matériel M par rapport à un point O s'écrit L_O = OM ∧ p. Ici OM est le vecteur position en mètres, et p = mv la quantité de mouvement en kilogramme-mètre par seconde. Le moment cinétique L_O s'exprime en kg·m²·s⁻¹. C'est la grandeur centrale du théorème du moment cinétique.

La force de Lorentz s'écrit F = q(E + v ∧ B). La charge q est en coulombs, le champ électrique E en volts par mètre. La vitesse v est en mètres par seconde, le champ magnétique B en teslas. La partie magnétique est perpendiculaire à la vitesse. Elle ne travaille donc pas.

La force de Laplace sur un élément de circuit s'écrit dF = I dl ∧ B. L'intensité I est en ampères, l'élément de longueur orienté dl en mètres, le champ B en teslas. Enfin, le champ des vitesses d'un solide en rotation fait intervenir le vecteur rotation ω, par la relation v(M) = v(A) + ω ∧ AM.

En géométrie de l'espace

Pour obtenir un vecteur normal à un plan défini par trois points A, B, C non alignés, calcule n = AB ∧ AC. L'équation cartésienne du plan s'en déduit immédiatement. Si n = (a ; b ; c), le plan a pour équation ax + by + cz + d = 0, et d se détermine en injectant les coordonnées de A.

La distance d'un point M à une droite passant par A et dirigée par un vecteur u s'exprime aussi par un produit vectoriel.

d(M, D) = ‖AM ∧ u‖ ÷ ‖u‖

où AM est le vecteur reliant un point A de la droite au point M, u un vecteur directeur de la droite, et d la distance cherchée, dans l'unité de longueur du repère. Elle se lit comme un rapport entre l'aire d'un parallélogramme et la longueur de sa base.

Les erreurs classiques en colle et en copie

La première erreur est le signe de la deuxième composante. Beaucoup d'élèves écrivent u₁v₃ − u₃v₁ au lieu de u₃v₁ − u₁v₃. Un test d'orthogonalité en fin de calcul la détecte en quelques secondes.

La deuxième erreur consiste à appliquer la formule des coordonnées dans une base non orthonormée, ou indirecte. La formule devient alors fausse, parfois seulement au signe près. Vérifie toujours la nature de la base.

La troisième erreur consiste à oublier les parenthèses dans un double produit vectoriel. La quatrième consiste à confondre la norme et le vecteur. Écrire M_O = 37,5 N·m sans préciser la direction perd une information. La cinquième consiste à oublier de convertir les longueurs en mètres avant de calculer un moment.

La place de la notion au programme

Les programmes des classes préparatoires scientifiques sont publiés par le ministère chargé de l'enseignement supérieur. Les programmes en vigueur pour les filières MPSI, PCSI, PTSI et MP2I ont été publiés au Bulletin officiel spécial n° 1 du 11 février 2021. C'est la source à consulter pour le détail exact des attendus de ta filière.

Dans la pratique, le produit vectoriel est mobilisé dès le premier semestre de première année, surtout par la physique. La mécanique du point l'utilise pour le moment d'une force et le moment cinétique. L'électromagnétisme l'utilise pour la force de Lorentz et la force de Laplace.

En deuxième année, en MP, PC, PSI et PT, il reste un outil de calcul permanent. Il intervient en mécanique du solide, en électromagnétisme et dans l'analyse vectorielle, à travers le rotationnel. Les sujets de concours ne te demandent presque jamais de le définir. Ils supposent que tu sais le calculer vite et sans erreur de signe.