Le produit scalaire : définition, propriétés et méthodes en prépa

Ce que recouvre la notion de produit scalaire

Une opération qui rend un nombre

Le produit scalaire de deux vecteurs u et v se note ⟨u, v⟩ ou u · v. Sa valeur est un scalaire, c'est-à-dire un nombre réel. C'est la raison de son nom, et la première source de confusion chez les élèves.

Du plan de terminale à l'espace préhilbertien

En terminale, le produit scalaire sert dans le plan et dans l'espace, avec des vecteurs à deux ou trois coordonnées. Les objets manipulés sont des flèches, et l'angle a un sens visuel immédiat.

En prépa, le point de vue change. Tu gardes les mêmes propriétés de calcul, mais tu les prends comme définition. Un produit scalaire devient n'importe quelle opération vérifiant une courte liste d'axiomes. Cette liste suffit à reconstruire la géométrie, les longueurs et les angles, sur des espaces qui ne ressemblent plus au plan.

La définition géométrique dans le plan et dans l'espace

Le produit des normes par le cosinus

La première expression est la plus parlante. Pour deux vecteurs non nuls u et v, tu écris la formule suivante.

⟨u, v⟩ = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ

Ici ‖u‖ et ‖v‖ sont les normes des deux vecteurs, exprimées dans l'unité de longueur choisie, et θ est l'angle géométrique entre eux, mesuré en radians ou en degrés, entre 0 et π. Le résultat ⟨u, v⟩ est un nombre sans dimension géométrique propre, homogène au carré d'une longueur.

Le signe se lit directement. Un angle aigu donne un cosinus positif, donc un produit scalaire positif. Un angle obtus donne un produit scalaire négatif. Un angle droit donne zéro.

L'expression par projection orthogonale

La deuxième expression éclaire l'usage en géométrie. Elle repose sur la projection orthogonale d'un vecteur sur la droite portée par l'autre.

⟨u, v⟩ = ⟨u, w⟩, où w est la projection orthogonale de v sur la droite dirigée par u

Ici w désigne le vecteur projeté, porté par la même droite que u, et l'égalité dit que la composante de v perpendiculaire à u ne contribue pas. Autrement dit, seule la part de v alignée sur u compte.

L'expression en coordonnées

La troisième expression est celle que tu utilises pour calculer. Place-toi dans une base orthonormée de l'espace, et note les coordonnées de u et de v.

⟨u, v⟩ = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃

Ici (x₁, x₂, x₃) sont les coordonnées de u dans la base orthonormée choisie, et (y₁, y₂, y₃) celles de v, toutes sans unité si la base est adimensionnée. Dans le plan, le troisième terme disparaît.

Les trois expressions sont équivalentes

Les trois écritures décrivent le même nombre. Le passage de l'une à l'autre se démontre au programme de terminale et de première année. Une quatrième forme, dite polarisée, sert souvent dans les calculs.

⟨u, v⟩ = ½ × (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²)

Ici ‖u + v‖ est la norme du vecteur somme, et les deux autres termes sont les normes des vecteurs de départ, toutes dans la même unité de longueur. Cette identité exprime le produit scalaire uniquement à partir de longueurs.

La définition algébrique générale

Forme bilinéaire symétrique définie positive

En prépa, la définition change de statut. Soit E un espace vectoriel réel. Un produit scalaire sur E est une application qui envoie tout couple (u, v) de vecteurs de E sur un réel, et qui vérifie quatre propriétés.

Elle est bilinéaire : linéaire en la première variable, et linéaire en la seconde. Elle est symétrique : ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ pour tous u et v. Elle est positive : ⟨u, u⟩ ≥ 0 pour tout u. Elle est définie : ⟨u, u⟩ = 0 entraîne u = 0.

Ce que chaque mot de la définition apporte

La bilinéarité autorise le développement des calculs comme avec un produit ordinaire. Elle donne par exemple ⟨u + v, u + v⟩ = ⟨u, u⟩ + 2⟨u, v⟩ + ⟨v, v⟩, grâce à la symétrie.

La symétrie permet de ne vérifier la linéarité que sur une variable. C'est un gain de temps réel en colle. La positivité rend possible l'extraction d'une racine carrée, donc la définition d'une norme.

Espace préhilbertien, espace euclidien

Un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire s'appelle un espace préhilbertien réel. Aucune hypothèse de dimension n'est demandée. Les espaces de fonctions entrent donc dans le cadre.

Quand l'espace est de dimension finie, on parle d'espace euclidien. Les résultats y sont plus forts : existence de bases orthonormales, projection orthogonale sur tout sous-espace, décomposition en somme directe orthogonale. En dimension infinie, certains de ces énoncés demandent des hypothèses supplémentaires.

Les exemples de produits scalaires à connaître

Le produit scalaire canonique sur ℝⁿ

C'est l'exemple de référence, et celui qui généralise la formule en coordonnées. Pour deux vecteurs x et y de ℝⁿ, tu poses la définition suivante.

⟨x, y⟩ = ∑ xᵢyᵢ, la somme portant sur i de 1 à n

Ici xᵢ et yᵢ sont les coordonnées d'indice i des deux vecteurs, sans unité, et n est la dimension de l'espace. La vérification des quatre axiomes est immédiate, et la clause « définie » vient du fait qu'une somme de carrés nulle force chaque carré à être nul.

Un produit scalaire sur un espace de fonctions

Le deuxième exemple classique porte sur des fonctions continues. Prends E l'espace des fonctions continues de [a, b] dans ℝ, avec a < b.

⟨f, g⟩ = ∫ f(t)g(t) dt, l'intégrale étant prise de a à b

Ici f et g sont deux fonctions continues sur le segment [a, b], t est la variable d'intégration, et l'intégrale rend un réel. Le caractère défini repose sur un théorème précis : une fonction continue et positive d'intégrale nulle sur un segment est nulle.

Cet exemple est l'un des plus rentables aux concours. Il permet d'appliquer Cauchy-Schwarz à des intégrales, et il ouvre la porte aux polynômes orthogonaux et aux séries de Fourier.

Un produit scalaire sur les matrices par la trace

Le troisième exemple vit dans l'espace des matrices réelles de taille n × n. Tu utilises la transposée et la trace.

⟨A, B⟩ = tr(ᵗA B)

Ici A et B sont deux matrices réelles de même taille, ᵗA est la transposée de A, et tr désigne la trace, c'est-à-dire la somme des coefficients diagonaux. Ce nombre est un réel.

Tableau récapitulatif

Norme associée, Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire

La norme euclidienne associée

La positivité permet de définir une longueur à partir du produit scalaire. Tu poses la norme d'un vecteur comme la racine carrée du produit scalaire du vecteur par lui-même.

‖u‖ = √⟨u, u⟩

Ici u est un vecteur de l'espace préhilbertien E, et ‖u‖ est un réel positif, homogène à une longueur dans le cadre géométrique. La quantité ⟨u, u⟩ est parfois appelée carré scalaire de u.

Cette norme vérifie trois propriétés. Elle est nulle uniquement pour le vecteur nul. Elle est homogène : ‖λu‖ = |λ| × ‖u‖ pour tout réel λ. Elle vérifie l'inégalité triangulaire, démontrée plus bas.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité

C'est le résultat le plus utilisé du chapitre. Il vaut dans tout espace préhilbertien réel, sans hypothèse de dimension.

|⟨u, v⟩| ≤ ‖u‖ × ‖v‖

Ici ⟨u, v⟩ est le produit scalaire des deux vecteurs, les barres verticales désignent la valeur absolue d'un réel, et ‖u‖ et ‖v‖ sont les normes associées. L'inégalité borne donc un produit scalaire par un produit de longueurs.

Le cas d'égalité est aussi important que l'inégalité. Il y a égalité si et seulement si u et v sont colinéaires. Autrement dit, l'un des deux est multiple de l'autre. Dans le cas de fonctions, cela signifie que f et g sont proportionnelles.

La démonstration classique étudie le trinôme t ↦ ‖u + tv‖², qui est positif pour tout réel t. Son discriminant est donc négatif ou nul. Le calcul du discriminant donne exactement l'inégalité, et le cas d'égalité correspond à une racine double.

L'inégalité triangulaire

Cauchy-Schwarz entraîne directement l'inégalité triangulaire. Tu développes ‖u + v‖², puis tu majores le double produit.

‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖

Ici u et v sont deux vecteurs de E, et les trois normes sont celles associées au produit scalaire. L'égalité a lieu si et seulement si u et v sont positivement colinéaires.

Orthogonalité, familles orthonormales et Gram-Schmidt

Vecteurs orthogonaux et familles orthogonales

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul. On note alors u ⊥ v. Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.

Une famille est dite orthogonale quand ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux. Elle est orthonormale quand elle est orthogonale et que chaque vecteur est de norme 1. Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est toujours libre, ce qui en fait un outil de preuve efficace.

Le théorème de Pythagore se généralise sans effort. Si u ⊥ v, alors ‖u + v‖² = ‖u‖² + ‖v‖². La réciproque est vraie dans le cas réel.

Bases orthonormales et coordonnées

Dans un espace euclidien, toute base orthonormale rend les calculs très simples. Les coordonnées d'un vecteur s'y lisent par produit scalaire.

x = ∑ ⟨x, eᵢ⟩ eᵢ, la somme portant sur i de 1 à n

Ici (e₁, …, eₙ) est une base orthonormale de l'espace, x un vecteur quelconque, et ⟨x, eᵢ⟩ le réel appelé i-ème coordonnée de x dans cette base. Le carré de la norme vaut alors la somme des carrés de ces coordonnées.

Le procédé de Gram-Schmidt

Ce procédé transforme une famille libre en une famille orthonormale engendrant les mêmes sous-espaces. Il se construit par récurrence, vecteur après vecteur.

vₖ = uₖ − ∑ ⟨uₖ, eⱼ⟩ eⱼ, puis eₖ = vₖ / ‖vₖ‖, la somme portant sur j de 1 à k − 1

Ici (u₁, …, uₙ) est la famille libre de départ, vₖ le vecteur intermédiaire obtenu en retirant à uₖ sa projection sur les vecteurs déjà construits, et eₖ le vecteur normalisé, de norme 1. La famille libre garantit que vₖ n'est jamais nul.

Deux conséquences sont à retenir. Tout espace euclidien possède une base orthonormale. Toute famille orthonormale d'un espace euclidien se complète en une base orthonormale.

Projection orthogonale et distance à un sous-espace

La projection orthogonale sur un sous-espace

Soit F un sous-espace de dimension finie d'un espace préhilbertien E. Tout vecteur x de E se décompose de façon unique en une somme d'un vecteur de F et d'un vecteur orthogonal à F.

x = p(x) + (x − p(x)), avec p(x) ∈ F et (x − p(x)) ⊥ F

Ici p(x) est le projeté orthogonal de x sur F, et x − p(x) appartient à l'orthogonal de F, noté F⊥. Ces deux vecteurs sont dans la même unité que x.

Si (e₁, …, eₚ) est une base orthonormale de F, le projeté se calcule directement. Il vaut la somme des ⟨x, eᵢ⟩ eᵢ pour i de 1 à p. C'est la formule à connaître par cœur.

La distance à un sous-espace

Le projeté orthogonal résout un problème de minimisation. Il est le point de F le plus proche de x, et il est le seul.

d(x, F) = ‖x − p(x)‖ = min ‖x − y‖ pour y parcourant F

Ici d(x, F) est la distance de x au sous-espace F, p(x) le projeté orthogonal, et le minimum est atteint en un unique point y = p(x). Cette caractérisation est le cœur des exercices de minimisation.

Un exemple entièrement résolu

Travaille dans ℝ³ muni du produit scalaire canonique. Soit F le plan engendré par u₁ = (1, 1, 0) et u₂ = (1, 0, 1). Soit x = (1, 2, 3). L'objectif est de calculer le projeté orthogonal de x sur F, puis la distance de x à F.

Étape 1, orthonormalisation du premier vecteur. Tu calcules ‖u₁‖² = 1² + 1² + 0² = 2, donc ‖u₁‖ = √2. Tu poses e₁ = (1/√2) × (1, 1, 0).

Étape 2, orthogonalisation du second vecteur. Tu calcules ⟨u₂, e₁⟩ = (1 × 1 + 0 × 1 + 1 × 0)/√2 = 1/√2. Puis v₂ = u₂ − (1/√2) e₁ = (1, 0, 1) − ½ × (1, 1, 0) = (½, −½, 1).

Étape 3, normalisation du second vecteur. Tu obtiens ‖v₂‖² = ¼ + ¼ + 1 = 3/2, donc ‖v₂‖ = √6 / 2. Tu poses e₂ = (1/√6) × (1, −1, 2). La famille (e₁, e₂) est une base orthonormale de F.

Étape 4, calcul des deux coordonnées du projeté. Tu calcules ⟨x, e₁⟩ = (1 + 2 + 0)/√2 = 3/√2. Tu calcules ⟨x, e₂⟩ = (1 − 2 + 6)/√6 = 5/√6.

Étape 5, assemblage du projeté. Tu écris p(x) = (3/√2) e₁ + (5/√6) e₂. Cela donne p(x) = (3/2) × (1, 1, 0) + (5/6) × (1, −1, 2). Après réduction, p(x) = (7/3, 2/3, 5/3).

Étape 6, calcul de la distance. Tu formes x − p(x) = (1 − 7/3, 2 − 2/3, 3 − 5/3) = (−4/3, 4/3, 4/3). Sa norme vaut (4/3) × √3, soit 4√3 / 3, environ 2,31.

Étape 7, vérification. Le vecteur x − p(x) doit être orthogonal à u₁ et à u₂. Tu obtiens ⟨x − p(x), u₁⟩ = −4/3 + 4/3 + 0 = 0. Tu obtiens ⟨x − p(x), u₂⟩ = −4/3 + 0 + 4/3 = 0. La décomposition est donc correcte.

Un second contrôle est possible en dimension 3. Un vecteur normal au plan F est n = (1, −1, −1), car il est orthogonal à u₁ et à u₂. La distance vaut alors |⟨x, n⟩| / ‖n‖ = |1 − 2 − 3| / √3 = 4/√3. Tu retrouves bien 4√3 / 3.

Erreurs classiques et place aux concours

Les erreurs qui coûtent des points

La première erreur consiste à utiliser la formule en coordonnées dans une base non orthonormée. Le résultat est alors faux, sans aucun signe d'alerte dans le calcul.

La deuxième erreur porte sur le caractère défini. Beaucoup de copies vérifient la bilinéarité, la symétrie et la positivité, puis s'arrêtent. L'oubli de la clause « définie » invalide la conclusion.

La troisième erreur touche Cauchy-Schwarz. Le cas d'égalité est souvent annoncé sans être justifié. La quatrième concerne Gram-Schmidt : la normalisation est oubliée, et la famille obtenue reste orthogonale sans être orthonormale.

La place de la notion au programme

Le produit scalaire apparaît d'abord au lycée, en géométrie du plan et de l'espace. Il est ensuite repris en première année de CPGE scientifique, dans un chapitre intitulé espaces préhilbertiens réels, puis prolongé en seconde année. Les filières économiques et commerciales générales en traitent une version adaptée, centrée sur ℝⁿ et les projections.

Le texte de référence est publié au Bulletin officiel de l'éducation nationale, dans les annexes des programmes de CPGE. Pour connaître l'intitulé exact et le découpage en vigueur à la rentrée 2026, consulte les pages du ministère et le Bulletin officiel, qui font seuls foi. Les attendus varient selon la filière.

Les usages aux concours

Trois usages dominent les sujets. Le calcul d'angles et de distances en géométrie, avec les équations de plans et de droites. La minimisation d'une quantité, résolue par une projection orthogonale. L'obtention d'inégalités, par Cauchy-Schwarz appliqué à une somme ou à une intégrale.

En probabilités, la covariance joue un rôle très proche d'un produit scalaire. L'inégalité de Cauchy-Schwarz y devient la majoration du coefficient de corrélation par 1 en valeur absolue. Le même raisonnement se transpose presque mot pour mot.