Les équations différentielles : méthodes de résolution en prépa

Ce qu'une équation différentielle recouvre

Une équation dont l'inconnue est une fonction

Dans une équation algébrique, tu cherches des nombres. Dans une équation différentielle, tu cherches des fonctions, définies sur un intervalle I de ℝ et dérivables autant de fois que l'équation l'exige. Une solution n'est jamais un nombre seul. C'est un couple formé d'une fonction et de l'intervalle sur lequel elle vit.

La même équation peut avoir des solutions très différentes selon l'intervalle choisi, dès que ses coefficients s'annulent quelque part.

La notion de solution générale

L'ensemble des solutions d'une équation différentielle contient en général une infinité de fonctions. On appelle solution générale l'expression qui les décrit toutes, avec une ou plusieurs constantes libres.

Pour une équation linéaire d'ordre 1, il y a une constante. Pour une équation linéaire d'ordre 2, il y en a deux. Ce nombre de constantes est une signature utile en fin de calcul.

Pourquoi la physique en produit partout

Les lois de la physique relient des grandeurs à leurs vitesses de variation. La deuxième loi de Newton et les lois de vitesse en cinétique s'écrivent avec des dérivées. Une équation différentielle est donc la traduction mathématique d'une loi d'évolution. Le même outil sert ainsi en mathématiques, en physique et en chimie.

Le vocabulaire à maîtriser avant tout calcul

Ordre de l'équation

L'ordre est le rang de la dérivée la plus élevée qui apparaît. Dans y' + 3y = 0, l'ordre est 1. Dans y'' + ω₀²y = 0, l'ordre est 2.

En prépa, le programme se concentre sur les ordres 1 et 2, ceux dont on sait donner les solutions par des formules explicites.

Linéarité

Une équation est linéaire si l'inconnue et ses dérivées n'apparaissent qu'au premier degré, sans produit entre elles ni composition. Elle s'écrit alors sous la forme suivante.

a(x)y' + b(x)y = c(x)

Ici y est la fonction inconnue, y' sa dérivée, et a, b, c des fonctions connues de la variable x. En physique la variable est souvent le temps t, et l'inconnue peut se noter u(t), q(t) ou i(t).

L'équation y' = y² n'est pas linéaire, à cause du carré. L'équation y' + sin(y) = 0 ne l'est pas non plus, à cause de la composition.

Coefficients constants ou variables

Si a et b sont des nombres, l'équation est à coefficients constants. Si ce sont des fonctions de x, elle est à coefficients variables.

La distinction gouverne la méthode. Au premier ordre, les deux cas se traitent avec la même formule intégrale. Au second ordre, seul le cas des coefficients constants relève d'une méthode générale au programme de première année.

Équation homogène et second membre

Le second membre est le terme c(x), celui qui ne contient pas l'inconnue. Quand il est nul, l'équation est dite homogène, ou sans second membre.

À toute équation avec second membre on associe l'équation homogène obtenue en remplaçant c(x) par 0. On l'appelle l'équation homogène associée, et elle est la première chose à résoudre.

Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre

La forme normalisée

On part de a(x)y' + b(x)y = c(x). Sur un intervalle où a ne s'annule pas, on divise par a. On obtient la forme normalisée suivante.

y' + p(x)y = q(x)

Ici p et q sont des fonctions continues sur l'intervalle I de travail. Cette division est la première précaution du calcul. Si a s'annule en un point, découpe le domaine en intervalles.

L'équation homogène

On résout d'abord y' + p(x)y = 0. Soit P une primitive de p sur I. Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions suivantes.

y(x) = λ e^(−P(x)), avec λ ∈ ℝ

Ici λ est une constante réelle libre, et P est une primitive quelconque de p. Changer de primitive revient à changer λ, donc l'ensemble des solutions ne dépend pas de ce choix.

Le cas des coefficients constants est un cas particulier. Pour y' + ay = 0 avec a réel, les solutions sont les fonctions y(x) = λ e^(−ax).

Une solution particulière et la variation de la constante

Il reste à trouver une seule solution de l'équation complète, la plus simple possible.

Quand le second membre est un polynôme, une exponentielle ou une combinaison de cosinus et sinus, on cherche une solution de la même forme. On parle de solution particulière par analogie de forme.

Quand aucune forme ne se devine, la méthode de la variation de la constante s'applique toujours. On cherche la solution sous la forme y(x) = λ(x) e^(−P(x)), où λ devient une fonction. En reportant dans l'équation, les termes en λ se simplifient, et il reste λ'(x) = q(x) e^(P(x)).

Une intégration donne λ, puis la solution. Cette simplification vient du fait que e^(−P) est solution de l'équation homogène.

Structure de l'ensemble des solutions

Le résultat central du premier ordre linéaire s'énonce simplement. La solution générale est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène.

y = y_particulière + λ e^(−P(x))

Autrement dit, l'ensemble des solutions est une droite affine dans l'espace des fonctions dérivables. Sa direction est l'ensemble des solutions homogènes, qui est un espace vectoriel de dimension 1.

Cette lecture explique le principe de superposition. Si le second membre est une somme q₁ + q₂, une solution particulière s'obtient en additionnant une solution particulière pour q₁ et une pour q₂.

Un exemple du premier ordre entièrement résolu

L'énoncé et la mise en forme

Résous sur ℝ l'équation suivante, avec la condition y(0) = 1.

y' + 2y = 3e^(−x)

L'équation est linéaire, du premier ordre, à coefficients constants, et déjà normalisée. Ici p(x) = 2 et q(x) = 3e^(−x), toutes deux continues sur ℝ.

Étape 1 : l'équation homogène

On résout y' + 2y = 0. Une primitive de p est P(x) = 2x. Les solutions homogènes sont donc les suivantes.

y_h(x) = λ e^(−2x), avec λ ∈ ℝ

Étape 2 : une solution particulière

Le second membre est une exponentielle de la forme A e^(kx) avec k = −1. Comme −1 n'est pas égal à −2, on cherche une solution du même type. On pose y_p(x) = C e^(−x), avec C constante à déterminer.

On dérive : y_p'(x) = −C e^(−x). On reporte dans l'équation : −C e^(−x) + 2C e^(−x) = 3e^(−x). Cela donne C e^(−x) = 3e^(−x), donc C = 3.

La fonction y_p(x) = 3e^(−x) est une solution particulière, vérifiable en une ligne.

Étape 3 : solution générale et condition initiale

La solution générale est la somme des deux résultats précédents.

y(x) = 3e^(−x) + λ e^(−2x), avec λ ∈ ℝ

On impose maintenant y(0) = 1. On obtient 3 + λ = 1, donc λ = −2. La solution du problème est unique et s'écrit ainsi.

y(x) = 3e^(−x) − 2e^(−2x)

Un contrôle rapide confirme le résultat. En x = 0 on trouve bien 1, et la dérivée vaut −3e^(−x) + 4e^(−2x).

Le second ordre linéaire à coefficients constants

Équation caractéristique

On considère ay'' + by' + cy = f(x), avec a, b, c réels et a non nul. L'équation homogène associée est ay'' + by' + cy = 0.

On cherche des solutions de la forme e^(rx). En reportant, on obtient l'équation caractéristique suivante.

ar² + br + c = 0

Ici r est l'inconnue, réelle ou complexe. Cette équation du second degré a pour discriminant Δ = b² − 4ac. Les trois signes possibles de Δ donnent les trois formes de solutions.

Les trois cas selon le discriminant

Si Δ > 0, l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes r₁ et r₂. Les solutions homogènes sont y(x) = λ e^(r₁x) + μ e^(r₂x), avec λ et μ réels.

Si Δ = 0, il y a une racine double r₀. Les solutions sont y(x) = (λx + μ) e^(r₀x). Le facteur x devant l'une des deux constantes est indispensable.

Si Δ < 0, les racines sont complexes conjuguées, de la forme α ± iβ avec β > 0. Les solutions réelles s'écrivent y(x) = e^(αx) (λ cos(βx) + μ sin(βx)).

Dans les trois cas, l'ensemble des solutions homogènes est un espace vectoriel réel de dimension 2. C'est pourquoi deux constantes apparaissent, et jamais une seule.

Les seconds membres usuels

Le principe de somme reste le même qu'au premier ordre. Solution générale égale solution particulière plus solutions homogènes.

Si f est un polynôme, on cherche un polynôme de même degré, sauf si 0 est racine de l'équation caractéristique. Dans ce cas, on multiplie par x, ou par x² si 0 est racine double.

Si f(x) = A e^(kx), on cherche C e^(kx) quand k n'est pas racine caractéristique. Si k est racine simple, on cherche Cx e^(kx). Si k est racine double, on cherche Cx² e^(kx).

Si f est en cos(ωx) ou sin(ωx), deux voies existent. Tu peux chercher une combinaison λ cos(ωx) + μ sin(ωx), ou passer par le complexe e^(iωx) puis prendre la partie réelle.

Résonance

Le cas où le second membre a la même forme qu'une solution homogène porte un nom en physique, la résonance.

Prenons y'' + ω₀²y = cos(ω₀x). L'équation caractéristique est r² + ω₀² = 0, de racines ± iω₀. La forme cos(ω₀x) est déjà solution de l'équation homogène. Une solution particulière en cos et sin est donc impossible.

On cherche alors une solution du type x(λ cos(ω₀x) + μ sin(ω₀x)). L'amplitude croît linéairement avec x. C'est la signature d'un oscillateur non amorti excité à sa pulsation propre.

Un exemple du second ordre entièrement résolu

L'énoncé

Résous sur ℝ l'équation suivante, avec y(0) = 0 et y'(0) = 1.

y'' − 3y' + 2y = 4x

L'équation est linéaire, du second ordre, à coefficients constants, avec un second membre polynomial de degré 1.

Étape 1 : l'équation homogène

L'équation caractéristique est r² − 3r + 2 = 0. Son discriminant vaut Δ = 9 − 8 = 1, donc Δ > 0. Les racines sont r₁ = 1 et r₂ = 2.

Les solutions homogènes sont les fonctions suivantes.

y_h(x) = λ e^x + μ e^(2x), avec λ et μ réels

Étape 2 : une solution particulière

Le second membre est le polynôme 4x, de degré 1. Comme 0 n'est pas racine de l'équation caractéristique, on cherche un polynôme de degré 1. On pose y_p(x) = ax + b.

Alors y_p'(x) = a et y_p''(x) = 0. On reporte : 0 − 3a + 2(ax + b) = 4x, soit 2ax + (2b − 3a) = 4x.

On identifie les coefficients. De 2a = 4 on tire a = 2. De 2b − 3a = 0 on tire b = 3. La solution particulière est y_p(x) = 2x + 3.

Étape 3 : conditions initiales

La solution générale est la somme suivante.

y(x) = 2x + 3 + λ e^x + μ e^(2x)

On calcule la dérivée : y'(x) = 2 + λ e^x + 2μ e^(2x). Les deux conditions donnent un système à deux inconnues. La première s'écrit 3 + λ + μ = 0, la seconde 2 + λ + 2μ = 1.

De la première on tire λ = −3 − μ. On substitue dans la seconde : 2 − 3 − μ + 2μ = 1, donc μ = 2. Alors λ = −5. La solution unique s'écrit ainsi.

y(x) = 2x + 3 − 5e^x + 2e^(2x)

Une vérification rapide confirme y(0) = 3 − 5 + 2 = 0 et y'(0) = 2 − 5 + 4 = 1.

Conditions initiales, problème de Cauchy et variables séparables

Le problème de Cauchy

Un problème de Cauchy associe une équation différentielle et des conditions initiales en un même point. Au premier ordre, une condition suffit, du type y(x₀) = y₀. Au second ordre, deux sont nécessaires, y(x₀) = y₀ et y'(x₀) = y₀'.

Le nombre de conditions égale l'ordre de l'équation, donc le nombre de constantes de la solution générale. Cette coïncidence explique l'unicité.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Pour les équations linéaires, l'énoncé est particulièrement confortable. Soient p et q continues sur un intervalle I, et x₀ un point de I. Alors le problème formé de y' + p(x)y = q(x) et de y(x₀) = y₀ admet une solution, et une seule, définie sur I tout entier.

L'énoncé analogue vaut à l'ordre 2 pour ay'' + by' + cy = f, avec a, b, c continues, a ne s'annulant pas sur I, et f continue sur I. Deux conditions initiales en x₀ déterminent alors une solution unique sur I.

Deux points méritent attention. La solution est définie sur l'intervalle entier, ce qui est propre au cas linéaire. L'unicité tombe en revanche si les conditions portent sur deux points distincts, cas d'un problème aux limites.

Les équations à variables séparables

Certaines équations non linéaires se ramènent à un calcul d'intégrales. Une équation est à variables séparables si elle s'écrit sous la forme suivante.

y' = g(x) h(y)

Ici g dépend seulement de x, et h seulement de y. Sur un intervalle où h(y) ne s'annule pas, on sépare les variables. On écrit y'/h(y) = g(x), puis on intègre les deux membres par rapport à x.

Prenons y' = xy avec y > 0. On obtient y'/y = x, donc ln(y) = x²/2 + K, et y(x) = C e^(x²/2) avec C > 0. Les zéros de h fournissent en plus des solutions constantes, ici la fonction nulle.

Deux précautions s'imposent. Justifie la non-annulation avant de diviser. La solution peut n'être définie que sur un intervalle plus petit que celui de départ.

Modèles physiques, erreurs classiques et place au programme

Tableau récapitulatif des formes de solutions

Le tableau ci-dessous rassemble les formes à connaître. Il suppose les coefficients constants pour l'ordre 2.

Les modèles physiques classiques

Le circuit RC en charge donne une équation du premier ordre. La tension aux bornes du condensateur vérifie RC u' + u = E, où R est la résistance en ohms, C la capacité en farads et E la tension du générateur en volts. La constante de temps est τ = RC, en secondes.

La désintégration radioactive suit N' = −λN, où N est le nombre de noyaux et λ la constante radioactive en s⁻¹. La demi-vie vaut t₁/₂ = ln(2)/λ. Les cinétiques chimiques d'ordre 1 ont la même structure, avec une concentration à la place du nombre de noyaux.

Le circuit RLC série et l'oscillateur mécanique amorti donnent une équation du second ordre. Sous forme canonique, elle s'écrit u'' + 2λu' + ω₀²u = f(t), ou u'' + (ω₀/Q)u' + ω₀²u = f(t). Ici ω₀ est la pulsation propre en rad·s⁻¹ et Q le facteur de qualité, sans unité.

Le signe du discriminant se lit alors en langage physique. Δ > 0 correspond au régime apériodique, Δ = 0 au régime critique, Δ < 0 au régime pseudo-périodique.

Les erreurs les plus fréquentes en colle et en copie

La première erreur est d'oublier une constante. Une solution générale d'ordre 2 sans deux constantes libres est nécessairement incomplète.

La deuxième est de diviser par a(x) sans discuter ses zéros. La troisième est d'omettre le facteur x quand le second membre entre en résonance avec une racine caractéristique.

La quatrième est un signe perdu dans l'exponentielle. Pour y' + ay = 0, la solution est en e^(−ax) et non en e^(ax). La cinquième est d'annoncer une solution sans préciser l'intervalle.

La place de la notion au programme et aux concours

Les équations différentielles apparaissent dès la terminale, dans la spécialité mathématiques, avec le cas y' = ay + b. Le lien avec la fonction exponentielle y est central.

En classe préparatoire scientifique, elles figurent au programme de première année. Le programme de mathématiques de MPSI a été redéfini par un arrêté de janvier 2021, publié au Bulletin officiel de l'enseignement supérieur, en même temps que la création de la filière MP2I. Les programmes de PCSI, PTSI et BCPST comportent aussi un chapitre dédié, avec des accents différents selon la filière.

La référence pour ta filière reste la page des programmes de classes préparatoires du ministère de l'enseignement supérieur. Les arrêtés y sont publiés au Bulletin officiel.

Aux concours, la notion sert deux fois. Elle est un objet d'étude en mathématiques, et un outil permanent en physique et en chimie.