La loi d'Ohm : énoncé, limites et applications en prépa

Ce que recouvre la loi d'Ohm

Une loi expérimentale, pas un principe

La loi d'Ohm est issue de l'observation. Georg Ohm publie ses travaux sur la conduction dans les métaux au début des années 1820. Il constate que, dans un fil métallique maintenu à température constante, le rapport de la tension à l'intensité reste constant.

Ce statut compte pour les colles. Les lois de Kirchhoff découlent de la conservation de la charge. La loi d'Ohm, elle, dépend du matériau. Un circuit peut obéir aux lois de Kirchhoff sans contenir un seul dipôle ohmique.

Le dipôle ohmique

Un dipôle est dit ohmique quand sa caractéristique courant-tension est une droite passant par l'origine. Le tracé de U en fonction de I donne alors une droite de pente R. Une résistance de carbone, un fil de constantan, une solution électrolytique dans un domaine restreint se comportent ainsi.

Le mot résistance désigne deux choses en français. Il désigne le composant, et il désigne la grandeur physique associée. En copie, préfère « conducteur ohmique » ou « résistor » pour le composant, et réserve « résistance » à la grandeur R.

Ce que la loi ne prétend pas dire

La loi d'Ohm ne dit rien du mécanisme microscopique de la conduction. Ce mécanisme relève du modèle de Drude, puis de la théorie des bandes.

Elle ne s'applique pas non plus à tous les conducteurs. Un gaz ionisé, une diode, un arc électrique, un transistor n'obéissent pas à une relation linéaire entre U et I. On les qualifie de dipôles non ohmiques.

L'énoncé rigoureux et la convention de signe

U = R·I en convention récepteur

Voici la forme à écrire en premier, toujours avec le schéma associé.

U = R · I

U est la tension aux bornes du conducteur ohmique, en volts (V). I est l'intensité du courant qui le traverse, en ampères (A). R est la résistance du conducteur, en ohms (Ω). Cette écriture suppose la convention récepteur : la flèche de tension U et la flèche de courant I sont orientées en sens opposés sur le schéma.

Dit autrement, le courant entre par la borne où la flèche de tension pointe. C'est cette orientation relative qui fixe le signe, pas la nature du composant.

La convention générateur et le signe moins

Si tu orientes U et I dans le même sens, tu passes en convention générateur. La relation devient alors U = −R·I.

Ce signe moins n'a rien de physique. Il traduit seulement ton choix d'orientation sur le schéma. Un conducteur ohmique dissipe de l'énergie dans les deux cas.

La conséquence pratique est simple. Avant d'écrire la loi d'Ohm, place tes flèches et vérifie leur sens relatif. Une erreur de convention fait changer de signe tout un système d'équations.

Résistance et conductance

La conductance est l'inverse de la résistance.

G = 1 / R, donc I = G · U

G est la conductance, en siemens (S). Un siemens vaut un ampère par volt. La conductance rend les calculs plus lisibles quand les dipôles sont en parallèle, puisque les conductances s'ajoutent alors directement.

Les deux grandeurs sont strictement positives pour un conducteur ohmique passif. Une résistance négative n'existe pas pour un dipôle passif isolé, mais certains montages actifs présentent une résistance différentielle négative sur une portion de leur caractéristique.

Résistance, géométrie et température

La résistance d'un conducteur cylindrique

Pour un cylindre homogène de section constante, la résistance se calcule à partir de la géométrie et du matériau.

R = ρ · L / S

R est la résistance en ohms (Ω). ρ est la résistivité du matériau, en ohms mètres (Ω·m). L est la longueur du conducteur, en mètres (m). S est l'aire de la section droite, en mètres carrés (m²).

Deux lectures physiques sont à retenir. Doubler la longueur double la résistance. Doubler la section la divise par deux, car deux fois plus de porteurs circulent en parallèle.

La conductivité et les ordres de grandeur

La conductivité est l'inverse de la résistivité.

σ = 1 / ρ

σ est la conductivité, en siemens par mètre (S·m⁻¹). ρ est la résistivité, en ohms mètres (Ω·m).

À 20 °C, la résistivité du cuivre vaut environ 1,7 × 10⁻⁸ Ω·m, celle de l'aluminium environ 2,7 × 10⁻⁸ Ω·m, celle du fer environ 1,0 × 10⁻⁷ Ω·m. Ces valeurs dépendent de la pureté du métal. Pour un isolant comme le verre, la résistivité dépasse 10¹⁰ Ω·m.

L'effet de la température

Pour un métal, la résistivité croît avec la température. Les vibrations du réseau s'amplifient, les collisions se multiplient, la mobilité des porteurs diminue. Sur un domaine modéré, on linéarise.

ρ(T) = ρ₀ · [1 + α · (T − T₀)]

ρ(T) est la résistivité à la température T, en Ω·m. ρ₀ est la résistivité à la température de référence T₀, en Ω·m. α est le coefficient thermique de résistivité, en kelvins puissance moins un (K⁻¹). T et T₀ sont des températures, en kelvins (K) ou en degrés Celsius, à condition d'utiliser la même unité pour l'écart.

Pour le cuivre, α vaut environ 3,9 × 10⁻³ K⁻¹ autour de 20 °C. Un semi-conducteur se comporte à l'inverse : sa résistivité décroît quand la température monte, parce que l'agitation thermique libère davantage de porteurs. C'est ce comportement qui distingue une thermistance CTN d'un fil métallique.

La loi d'Ohm locale j = σ·E

L'énoncé local

La forme locale décrit la conduction en chaque point du matériau, sans parler de bornes ni de dipôle.

j = σ · E

j est le vecteur densité de courant volumique, en ampères par mètre carré (A·m⁻²). σ est la conductivité du milieu, en siemens par mètre (S·m⁻¹). E est le champ électrique en ce point, en volts par mètre (V·m⁻¹).

Cette relation vectorielle suppose le milieu ohmique, linéaire, homogène et isotrope. Dans un cristal anisotrope, σ devient un tenseur.

Le passage du local à l'intégral

Le lien entre les deux formes se construit en deux intégrations. Reprends un cylindre de longueur L et de section S, parcouru par un champ uniforme et axial.

L'intensité est le flux de j à travers une section : I = ∫∫ j · dS, ce qui donne I = j · S si j est uniforme. La tension est la circulation du champ le long du conducteur : U = ∫ E · dl, ce qui donne U = E · L.

En combinant avec j = σ · E, tu obtiens U = (L / (σ · S)) · I, soit U = R·I avec R = L / (σ · S) = ρ·L/S. La forme intégrale est donc une conséquence de la forme locale, appliquée à une géométrie simple.

Pourquoi la forme locale est indispensable

La forme locale sert dès que la géométrie n'est plus celle d'un fil. Pour un cylindre creux traversé radialement, le champ n'est pas uniforme.

La méthode reste la même. Tu écris j en fonction de I et de la surface traversée, tu en déduis E = j / σ, puis tu intègres E le long du trajet. Le rapport U/I donne la résistance. Ce calcul revient souvent en colle.

Associations, ponts diviseurs

L'association en série

Deux conducteurs ohmiques en série sont traversés par la même intensité. Les tensions s'ajoutent, d'après la loi des mailles.

Rₑ𝑞 = R₁ + R₂ + … + Rₙ

Rₑ𝑞 est la résistance équivalente de l'association, en ohms (Ω). Les Rᵢ sont les résistances associées, en ohms (Ω).

La résistance équivalente est supérieure à la plus grande des résistances. C'est un contrôle de cohérence rapide.

L'association en parallèle

Deux conducteurs ohmiques en parallèle supportent la même tension. Les intensités s'ajoutent, d'après la loi des nœuds.

1 / Rₑ𝑞 = 1 / R₁ + 1 / R₂ + … + 1 / Rₙ

Rₑ𝑞 est la résistance équivalente, en ohms (Ω). Les Rᵢ sont les résistances associées, en ohms (Ω). En conductances, la relation devient Gₑ𝑞 = G₁ + G₂ + … + Gₙ, ce qui est plus rapide à manipuler.

Pour deux résistances seulement, Rₑ𝑞 = R₁·R₂ / (R₁ + R₂). Elle est alors inférieure à la plus petite des deux.

Le pont diviseur de tension

Le diviseur de tension s'applique à des résistances en série parcourues par la même intensité, sans aucune dérivation intermédiaire.

U₁ = U · R₁ / (R₁ + R₂)

U₁ est la tension aux bornes de R₁, en volts (V). U est la tension appliquée à l'ensemble série, en volts (V). R₁ et R₂ sont les résistances, en ohms (Ω).

La condition d'application est le point critique. Si une branche prélève du courant entre R₁ et R₂, les deux résistances ne sont plus en série, et la formule tombe.

Le pont diviseur de courant

Le diviseur de courant s'applique à des résistances en parallèle soumises à la même tension.

I₁ = I · G₁ / (G₁ + G₂) = I · R₂ / (R₁ + R₂)

I₁ est l'intensité dans la branche de résistance R₁, en ampères (A). I est l'intensité totale entrant dans le nœud, en ampères (A). G₁ et G₂ sont les conductances des deux branches, en siemens (S).

Remarque l'inversion des indices. Le courant privilégie la branche de faible résistance, donc R₂ apparaît au numérateur pour I₁. C'est une erreur fréquente en copie.

Effet Joule et puissance dissipée

Les trois expressions de la puissance

La puissance reçue par un dipôle en convention récepteur s'écrit P = U·I. En y injectant la loi d'Ohm, tu obtiens trois formes équivalentes.

P = U · I = R · I² = U² / R

P est la puissance dissipée, en watts (W). U est la tension aux bornes, en volts (V). I est l'intensité, en ampères (A). R est la résistance, en ohms (Ω).

Ces trois écritures décrivent la même grandeur. Tu utilises R·I² quand l'intensité est imposée, et U²/R quand la tension est imposée.

Le sens physique de l'effet Joule

Pour un conducteur ohmique, P est toujours positive, puisque R > 0 et I² ≥ 0. Le dipôle reçoit de l'énergie électrique et la convertit intégralement en énergie thermique. Cette conversion est irréversible.

L'énergie dissipée pendant une durée t en régime continu vaut W = P·t, avec W en joules (J) et t en secondes (s). Un radiateur électrique ou un grille-pain exploitent ce phénomène.

Ce que l'effet Joule impose en pratique

L'effet Joule fixe le dimensionnement des composants. Un résistor porte une puissance maximale admissible, souvent 0,25 W ou 0,5 W en travaux pratiques. Au-delà, il chauffe, dérive, puis se détruit.

Ce même effet explique les pertes en ligne dans le transport de l'électricité. Pour une puissance transportée donnée, augmenter la tension réduit l'intensité, donc réduit les pertes en R·I². C'est la raison technique des lignes à très haute tension.

Récapitulatif des formules et des unités

Voici les relations à savoir mobiliser sans hésitation.

Un exemple entièrement résolu

L'énoncé

Une source idéale de tension E = 12 V alimente R₁ = 1,0 kΩ en série avec l'association parallèle de R₂ = 2,0 kΩ et R₃ = 3,0 kΩ. On cherche la tension U aux bornes de l'association parallèle, les trois intensités, puis la puissance totale dissipée.

La résolution pas à pas

Première étape, la résistance équivalente du parallèle. R₂₃ = R₂·R₃ / (R₂ + R₃) = (2,0 × 3,0) / (2,0 + 3,0) kΩ = 1,2 kΩ. Contrôle immédiat : 1,2 kΩ est bien inférieur à 2,0 kΩ, la plus petite des deux.

Deuxième étape, la tension U. R₁ et R₂₃ sont en série, et aucune branche ne prélève de courant entre elles. Le pont diviseur s'applique donc.

U = E · R₂₃ / (R₁ + R₂₃) = 12 × 1,2 / 2,2 ≈ 6,5 V.

Troisième étape, les intensités. L'intensité délivrée par la source traverse R₁, donc I₁ = (E − U) / R₁ = (12 − 6,5) / 1,0 × 10³ ≈ 5,5 mA. Dans chaque branche du parallèle, la tension vaut U.

I₂ = U / R₂ ≈ 3,3 mA et I₃ = U / R₃ ≈ 2,2 mA.

Vérifie la loi des nœuds : 3,3 + 2,2 = 5,5 mA, ce qui redonne bien I₁.

Quatrième étape, les puissances, avec P = R·I². P₁ ≈ 1,0 × 10³ × (5,5 × 10⁻³)² ≈ 30 mW. P₂ ≈ 22 mW et P₃ ≈ 15 mW, soit un total d'environ 67 mW.

Contrôle global : la source fournit E·I₁ = 12 × 5,5 × 10⁻³ ≈ 66 mW. Les deux valeurs coïncident à l'arrondi près, ce qui valide le bilan de puissance.

Les erreurs classiques en colle et en copie

Quatre erreurs reviennent constamment. La première est l'oubli de la convention : U = R·I écrit alors que les flèches sont orientées dans le même sens. La deuxième est le pont diviseur appliqué à des résistances qui ne sont pas réellement en série.

La troisième est l'inversion des indices dans le diviseur de courant. La quatrième est l'oubli des unités : mélanger kΩ et Ω, ou mA et A, fausse le résultat de plusieurs décades.

Ajoute un réflexe. Termine par un contrôle d'homogénéité et d'ordre de grandeur. Une intensité de 5 kA dans un circuit à pile signale une erreur de conversion.

Limites, loi généralisée et applications

Les dipôles non ohmiques

Une diode à jonction ne suit pas la loi d'Ohm. Sa caractéristique est fortement asymétrique : le courant croît quasi exponentiellement en direct au-delà d'un seuil, et reste très faible en inverse.

Une lampe à incandescence n'est pas ohmique non plus. Son filament de tungstène s'échauffe, sa résistivité augmente, et sa caractéristique s'incurve. Sa résistance à froid est nettement inférieure à sa résistance en fonctionnement.

Les semi-conducteurs dopés, les transistors et les varistances s'écartent aussi de la linéarité. Dire qu'un dipôle est non ohmique signifie que le rapport U/I dépend du point de fonctionnement.

Deux notions cohabitent alors. La résistance statique est le rapport U/I au point considéré, la résistance dynamique est la dérivée dU/dI. Les deux coïncident uniquement pour un dipôle ohmique.

La loi d'Ohm généralisée

Une source réelle possède une résistance interne. En convention générateur, la tension à ses bornes s'écrit ainsi.

U = E − r · I

U est la tension aux bornes du générateur, en volts (V). E est la force électromotrice, en volts (V). r est la résistance interne, en ohms (Ω). I est l'intensité débitée, en ampères (A).

La tension disponible chute quand le courant débité augmente. À vide, I = 0 et U = E. En court-circuit, U = 0 et I = E/r. Le bilan s'écrit E·I = U·I + r·I², où r·I² est dissipé dans la source.

Du régime continu au régime sinusoïdal

En régime continu, la loi d'Ohm s'applique directement aux valeurs constantes. En régime sinusoïdal forcé, on généralise par la notion d'impédance complexe.

U = Z · I, avec Z = R pour un résistor

U et I sont les amplitudes complexes de la tension et de l'intensité. Z est l'impédance complexe, en ohms (Ω). Pour une bobine idéale, Z = j·L·ω. Pour un condensateur idéal, Z = 1 / (j·C·ω).

L'impédance d'un résistor est réelle et indépendante de la fréquence. Tension et courant y restent en phase, contrairement à une bobine ou un condensateur. Cette extension permet de traiter filtres et circuits RLC avec les outils du régime continu.

La place de la notion au programme et aux concours

La loi d'Ohm est introduite au lycée, dans l'enseignement de spécialité physique-chimie de la voie générale. Elle y reste sous sa forme intégrale U = R·I, associée à l'effet Joule.

En classes préparatoires scientifiques, elle figure dans la partie électrocinétique du programme de physique de première année, commune à MPSI, PCSI et PTSI. La forme locale j = σ·E apparaît selon la filière et l'année. Les programmes officiels des CPGE sont publiés au Bulletin officiel par le ministère de l'Éducation nationale.

Aux concours, la loi intervient rarement seule. Elle sert d'outil dans des problèmes de filtrage, de régimes transitoires ou de bilans énergétiques. Pour les attendus exacts d'une épreuve, reporte-toi aux rapports de jury publiés par la banque concernée.