L'énergie cinétique : définition, formule et méthode en prépa

Ce que recouvre l'énergie cinétique

Une grandeur scalaire liée au mouvement

L'énergie cinétique mesure ce qu'un corps peut fournir en s'arrêtant. Une bille lancée déforme la pâte à modeler qu'elle rencontre. Un camion en mouvement freine sur une longue distance.

Cette grandeur est scalaire. Elle n'a pas de direction, contrairement à la vitesse ou à la quantité de mouvement. C'est ce qui rend les bilans énergétiques si commodes en exercice.

Une grandeur qui dépend du référentiel

La vitesse d'un corps dépend du référentiel d'étude. L'énergie cinétique en dépend donc aussi. Un passager assis dans un train a une énergie cinétique nulle dans le référentiel du wagon, et plusieurs centaines de kilojoules dans le référentiel terrestre.

Il n'y a là aucune contradiction. Une énergie cinétique n'est pas une propriété intrinsèque du corps, mais une propriété du couple formé par le corps et le référentiel.

Le joule, unité de toutes les énergies

L'unité d'énergie du Système international est le joule, de symbole J. Un joule vaut un kilogramme-mètre carré par seconde carrée, soit 1 J = 1 kg·m²·s⁻². Cette équivalence se lit directement sur la formule.

Le joule sert aussi au travail, à l'énergie potentielle, à la chaleur et à l'énergie interne. Cette unité commune autorise les bilans, puisqu'on additionne des grandeurs de même nature.

D'autres unités circulent selon les domaines. L'électron-volt, noté eV, vaut environ 1,602 × 10⁻¹⁹ J. Le kilowattheure, noté kWh, vaut 3,6 × 10⁶ J.

Définition et formule de l'énergie cinétique

La formule à connaître

Pour un point matériel, l'énergie cinétique dans un référentiel donné s'écrit ainsi.

Ec = ½ m v²

Ec désigne l'énergie cinétique, exprimée en joules (J). m désigne la masse du point matériel, en kilogrammes (kg). v désigne la norme de sa vitesse dans le référentiel d'étude, en mètres par seconde (m·s⁻¹).

La vitesse intervient par son carré, donc doubler la vitesse multiplie l'énergie cinétique par quatre. La masse intervient au premier degré, donc doubler la masse ne double que l'énergie.

Lien avec la quantité de mouvement

La quantité de mouvement d'un point matériel s'écrit p⃗ = m v⃗. Sa norme p permet une deuxième écriture de l'énergie cinétique.

Ec = p² / (2m)

Ec est l'énergie cinétique en joules, p la norme de la quantité de mouvement en kg·m·s⁻¹, et m la masse en kilogrammes.

Travail et puissance d'une force

Le travail élémentaire et le produit scalaire

Le travail est le mode de transfert d'énergie associé à une force qui déplace son point d'application. Pour un déplacement élémentaire dOM⃗ du point matériel, le travail élémentaire de la force F⃗ s'écrit avec un produit scalaire.

δW = F⃗ · dOM⃗

δW est le travail élémentaire en joules, F⃗ la force en newtons (N), et dOM⃗ le déplacement élémentaire du point d'application en mètres (m). Le point central note le produit scalaire.

Le travail sur un trajet allant de A à B s'obtient par intégration le long du chemin suivi.

W(A→B) = ∫ F⃗ · dOM⃗, intégrale prise de A à B le long du trajet

Le signe du travail vient de l'angle entre la force et le déplacement. Une force qui accompagne le mouvement travaille positivement, on la dit motrice. Une force qui s'y oppose travaille négativement, on la dit résistante.

Le cas d'une force constante

Quand la force est constante en norme et en direction, l'intégrale se simplifie. Seul le vecteur déplacement total AB⃗ intervient.

W(A→B) = F⃗ · AB⃗ = F × AB × cos θ

F est la norme de la force en newtons, AB la distance entre départ et arrivée en mètres, et θ l'angle entre la force et le déplacement. Le travail reste en joules.

Une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas. C'est le cas de la réaction normale d'un support, et de la tension d'un fil inextensible dans un pendule simple.

La puissance d'une force

La puissance décrit un débit de transfert énergétique. Elle se définit comme le travail par unité de temps.

P = δW / dt = F⃗ · v⃗

P est la puissance en watts (W), F⃗ la force en newtons, et v⃗ la vitesse du point d'application en m·s⁻¹. Un watt vaut un joule par seconde. Cette forme évite de paramétrer le trajet et conduit au théorème de la puissance cinétique.

Le théorème de l'énergie cinétique

L'énoncé pour un point matériel

Le théorème relie la variation d'énergie cinétique au travail des forces. Il s'énonce dans un référentiel galiléen.

ΔEc = Ec(B) − Ec(A) = ΣW(A→B), somme des travaux de toutes les forces appliquées

ΔEc est la variation d'énergie cinétique entre A et B, en joules. ΣW est la somme algébrique des travaux de toutes les forces exercées sur le point matériel entre A et B, également en joules.

Trois conditions d'usage méritent un rappel. Le référentiel doit être galiléen, sans quoi il faut ajouter le travail des forces d'inertie. Le système doit être clairement défini. Aucune force ne doit être oubliée.

La démonstration

Le point de départ est le principe fondamental de la dynamique, dans un référentiel galiléen.

m dv⃗/dt = ΣF⃗

m est la masse en kilogrammes, v⃗ la vitesse en m·s⁻¹, t le temps en secondes, et ΣF⃗ la résultante des forces en newtons. On multiplie scalairement les deux membres par la vitesse v⃗.

Le membre de gauche devient m v⃗ · dv⃗/dt. Or v⃗ · dv⃗/dt vaut la moitié de la dérivée de v², puisque v² = v⃗ · v⃗. Ce membre s'écrit donc d(½mv²)/dt, c'est-à-dire dEc/dt.

Le membre de droite devient ΣF⃗ · v⃗, soit la puissance totale des forces.

dEc/dt = ΣP, somme des puissances de toutes les forces

dEc/dt est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique en watts, et ΣP la somme des puissances des forces en watts. Une intégration entre deux instants redonne la forme intégrale du théorème.

Quand le mobiliser plutôt que le principe fondamental

Le théorème de l'énergie cinétique est une conséquence du principe fondamental, pas une loi indépendante. Il n'apporte donc jamais plus d'information, et souvent moins, puisqu'il projette une relation vectorielle sur une seule équation scalaire.

Son avantage est ailleurs. Il relie directement des positions et des vitesses, sans passer par le temps. Il convient donc aux questions du type « quelle vitesse en bas de la pente ».

Énergie potentielle, énergie mécanique et cas dissipatif

Forces conservatives et énergie potentielle

Une force est conservative quand son travail ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des positions de départ et d'arrivée. On peut alors lui associer une énergie potentielle Ep.

W(A→B) = −ΔEp = Ep(A) − Ep(B), et localement δW = −dEp

W est le travail de la force conservative en joules, et Ep son énergie potentielle en joules. Cette énergie est définie à une constante additive près, que l'on fixe en choisissant une origine.

Le poids est conservatif. Près de la surface de la Terre, avec un axe Oz vers le haut, son énergie potentielle s'écrit Ep = mgz + constante, où g est l'intensité du champ de pesanteur en m·s⁻². La force de rappel d'un ressort de raideur k est conservative aussi, avec Ep = ½k(l − l₀)² + constante.

Les frottements solides et la traînée fluide ne sont pas conservatifs. Leur travail dépend du trajet, et il est négatif dès qu'il y a mouvement relatif. Ces forces sont dites dissipatives.

L'énergie mécanique et sa conservation

L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles associées aux forces conservatives.

Em = Ec + Ep

Em est l'énergie mécanique en joules, Ec l'énergie cinétique en joules, et Ep la somme des énergies potentielles en joules.

Si toutes les forces qui travaillent sont conservatives, l'énergie mécanique se conserve. On écrit Em = constante, ce qui fournit une intégrale première du mouvement. Cette relation suffit souvent à obtenir une vitesse sans résoudre l'équation différentielle.

Le théorème de l'énergie mécanique

En présence de forces non conservatives, l'énergie mécanique varie. Sa variation est exactement le travail de ces forces.

ΔEm = W(non conservatives)

ΔEm est la variation d'énergie mécanique entre les deux états, en joules. W(non conservatives) est le travail total des forces non conservatives entre ces deux états, en joules.

La démonstration est immédiate. On sépare dans le théorème de l'énergie cinétique les travaux conservatifs, égaux à −ΔEp, des autres. On fait passer −ΔEp à gauche, et il reste ΔEc + ΔEp = ΔEm.

Avec des frottements, ce travail est négatif et l'énergie mécanique diminue. La différence se retrouve sous forme d'énergie interne des corps en contact. L'énergie totale se conserve, seule sa forme mécanique se dégrade.

Systèmes de points, théorème de König et rotation

Énergie cinétique d'un système de points

Pour un système de N points matériels de masses mᵢ et de vitesses vᵢ dans un référentiel donné, l'énergie cinétique est additive.

Ec = Σ ½ mᵢ vᵢ², somme pour i allant de 1 à N

Ec est l'énergie cinétique du système en joules, mᵢ la masse du point d'indice i en kilogrammes, et vᵢ la norme de sa vitesse en m·s⁻¹. Aucun terme croisé n'apparaît, contrairement à l'énergie potentielle d'interaction.

Le théorème de König pour l'énergie cinétique

Le référentiel barycentrique est le référentiel en translation par rapport au référentiel d'étude dans lequel le centre de masse G est fixe. Le théorème de König sépare deux contributions.

Ec = ½ M vG² + Ec*, où Ec* est l'énergie cinétique dans le référentiel barycentrique

Ec est l'énergie cinétique dans le référentiel d'étude, en joules. M est la masse totale en kilogrammes, et vG la norme de la vitesse du centre de masse en m·s⁻¹. Ec* est l'énergie cinétique propre, mesurée dans le référentiel barycentrique, en joules.

La lecture est physique. Le premier terme décrit le mouvement d'ensemble, comme si toute la masse était en G. Le second décrit l'agitation interne autour de G, rotation et déformation comprises.

Énergie cinétique de rotation et moment d'inertie

Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe Δ à la vitesse angulaire ω, l'énergie cinétique prend une forme analogue à celle du point matériel.

Ec = ½ J(Δ) ω²

Ec est l'énergie cinétique de rotation en joules. J(Δ) est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe Δ, en kg·m². ω est la vitesse angulaire en radians par seconde (rad·s⁻¹).

Le moment d'inertie joue pour la rotation le rôle que la masse joue pour la translation. Il se calcule comme J(Δ) = ∫ r² dm, où r est la distance de l'élément de masse dm à l'axe. Il dépend de la répartition de la matière, pas seulement de la masse totale.

Deux valeurs de référence reviennent souvent. Un cylindre plein homogène de masse M et de rayon R a J = ½MR² par rapport à son axe. Une sphère pleine homogène a J = (2/5)MR² par rapport à un diamètre.

Exemple entièrement résolu et applications classiques

Énoncé et bilan des forces

Un solide assimilé à un point matériel, de masse m = 2,0 kg, part du repos et glisse sur un plan incliné d'angle α = 30° par rapport à l'horizontale. Il parcourt une distance L = 4,0 m le long de la ligne de plus grande pente. Le coefficient de frottement de glissement vaut μ = 0,20.

On prendra g = 9,81 m·s⁻². Le référentiel terrestre est supposé galiléen. On cherche la vitesse v après ces 4,0 m.

Le système est le solide seul, étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Trois forces s'exercent pendant la descente.

Le poids, de norme mg, dirigé verticalement vers le bas. La réaction normale N⃗, perpendiculaire au plan. La force de frottement de glissement T⃗, tangente au plan et opposée au mouvement.

Il n'y a pas d'accélération perpendiculairement au plan, donc N = mg cos α. Numériquement, N = 2,0 × 9,81 × cos 30° ≈ 17,0 N. La loi de Coulomb du frottement de glissement donne T = μN, soit T = 0,20 × 17,0 ≈ 3,40 N.

Travail de chaque force

Le poids fait un angle (90° − α) avec le déplacement le long de la pente. Son travail vaut W(poids) = mg L sin α, soit 2,0 × 9,81 × 4,0 × sin 30° ≈ 39,2 J.

La réaction normale est perpendiculaire au déplacement, donc W(N) = 0 J. C'est le cas général pour une réaction normale sans décollement.

Le frottement est opposé au déplacement, d'où un travail négatif. W(T) = −T L = −3,40 × 4,0 ≈ −13,6 J.

Application du théorème, résultat et vérifications

Le solide part du repos, donc Ec(départ) = 0 J. Le théorème s'écrit ½mv² − 0 = W(poids) + W(N) + W(T).

½ m v² = mg L sin α − μ mg L cos α, soit v = √(2gL(sin α − μ cos α))

v est la vitesse cherchée en m·s⁻¹, g l'intensité du champ de pesanteur en m·s⁻², L la distance parcourue en mètres, α l'angle d'inclinaison et μ le coefficient de frottement, tous deux sans dimension.

Le terme entre parenthèses vaut sin 30° − 0,20 × cos 30° ≈ 0,500 − 0,173 = 0,327. Puis v = √(2 × 9,81 × 4,0 × 0,327) ≈ √25,7 ≈ 5,1 m·s⁻¹.

L'énergie cinétique finale vaut ½ × 2,0 × 5,1² ≈ 25,7 J, ce qui correspond bien à 39,2 − 13,6 J. Le bilan est donc cohérent. Sans frottement, la formule donnerait 6,3 m·s⁻¹, valeur supérieure comme attendu.

Enfin, le mouvement n'existe que si sin α > μ cos α, c'est-à-dire tan α > μ. Ici tan 30° ≈ 0,577, bien supérieur à 0,20.

Autres applications et tableau récapitulatif

La chute libre sans frottement se traite en deux lignes. La conservation de l'énergie mécanique donne v = √(2gh) après une chute de hauteur h, indépendamment de la masse.

Le pendule simple de longueur l lâché d'un angle θ₀ donne au point bas v = √(2gl(1 − cos θ₀)). La tension du fil ne travaille pas, puisqu'elle reste perpendiculaire à la vitesse.

Les chocs se classent par le sort de l'énergie cinétique. Un choc est élastique quand l'énergie cinétique totale se conserve. Il est inélastique quand elle diminue, le cas extrême étant le choc parfaitement mou, où les corps repartent ensemble. La quantité de mouvement totale se conserve dans les deux cas si le système est isolé.

Erreurs classiques, cadre relativiste et place au programme

Les pièges de colle et de copie

L'oubli du facteur ½ est l'erreur la plus fréquente. Elle vient d'une confusion avec la quantité de mouvement p = mv. Une vérification dimensionnelle ne la détecte pas, seule la mémoire de la formule protège.

L'usage d'une vitesse en kilomètres par heure dans Ec = ½mv² vient ensuite. La formule exige des unités du Système international, et il faut diviser par 3,6 pour convertir des km·h⁻¹ en m·s⁻¹.

Les pièges sur le travail et le système

Compter deux fois la même énergie est un piège fréquent. Si tu utilises l'énergie potentielle de pesanteur, tu ne dois plus compter le travail du poids séparément. Les deux théorèmes ne s'additionnent pas.

Affirmer que le travail d'un frottement vaut −μNL sans vérifier la constance de N conduit à des résultats faux. Sur une trajectoire courbe, N varie avec la position.

Oublier le caractère galiléen du référentiel est le troisième piège. Dans un référentiel non galiléen, il faut ajouter le travail de la force d'inertie d'entraînement. La force d'inertie de Coriolis, perpendiculaire à la vitesse relative, ne travaille pas.

L'expression relativiste et sa limite classique

En mécanique relativiste, l'énergie cinétique d'une particule se lit comme la différence entre son énergie totale et son énergie de masse.

Ec = mc²(γ − 1), avec γ = 1/√(1 − v²/c²)

Ec est l'énergie cinétique en joules, m la masse de la particule en kilogrammes, et c la vitesse de la lumière dans le vide, soit environ 3,00 × 10⁸ m·s⁻¹. γ est le facteur de Lorentz, sans dimension, et v la vitesse en m·s⁻¹.

Le développement limité de γ pour v ≪ c donne γ ≈ 1 + ½v²/c². On retrouve alors Ec ≈ ½mv². La formule classique est donc l'approximation de basse vitesse de l'expression relativiste.

L'écart devient sensible au-delà de quelques pourcents de c. À v = 0,1c, la correction relative est d'environ 1 %. À v = 0,5c, l'expression classique sous-estime l'énergie cinétique de plus de 20 %.

La place de la notion au programme et aux concours

L'énergie cinétique et le théorème qui la relie au travail figurent au programme de l'enseignement de spécialité physique-chimie de terminale générale, publié au Bulletin officiel. Le programme de première y introduit déjà le travail et les transferts d'énergie.

En CPGE scientifique, la notion apparaît dès la mécanique du point, en MPSI, PCSI et PTSI. La mécanique du solide en rotation autour d'un axe fixe, avec le moment d'inertie, n'est pas traitée de la même façon selon les voies. En BCPST, les bilans énergétiques sont mobilisés dans un cadre plus appliqué.

Les programmes des classes préparatoires sont fixés par arrêté et publiés au Bulletin officiel de l'éducation nationale, et révisés périodiquement. Pour connaître le texte applicable à ta promotion, consulte le programme de ta voie sur le site du ministère et les rapports de jury des banques d'épreuves.