La fonction exponentielle : propriétés, dérivée et méthodes en prépa

Ce que recouvre la fonction exponentielle

Une fonction, plusieurs portes d'entrée

Le mot exponentielle désigne d'abord une fonction de ℝ dans ℝ. Mais il désigne aussi, plus tard, une exponentielle complexe, une exponentielle de matrice et une exponentielle d'endomorphisme. Toutes partagent une même idée, la stabilité par dérivation. Toutes partagent aussi la même écriture en série.

Au lycée, tu abordes exp par l'équation différentielle y′ = y. En prépa, tu la retrouves comme réciproque du logarithme népérien, puis comme somme d'une série entière. Ces points de vue ne se concurrencent pas. Ils éclairent chacun une facette du même objet.

Pourquoi elle occupe autant de place

La raison tient en une phrase. L'exponentielle est stable par dérivation, donc elle résout les équations différentielles linéaires à coefficients constants. Or ces équations décrivent une quantité dont la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité elle-même.

Ce schéma revient partout. Il décrit une désintégration radioactive, la charge d'un condensateur, une population sans contrainte de ressources, un capital à intérêts composés. Le même outil mathématique sert donc en physique, en chimie, en biologie et en économie.

Les notations à ne pas confondre

La notation eˣ se lit comme une puissance, et elle se comporte comme une puissance. Elle n'est pourtant définie comme puissance qu'après coup, une fois exp construite. Pour a > 0, on pose aˣ = exp(x · ln a), et cette définition étend les puissances à tout exposant réel.

Attention à exp(x²) et à (exp x)², qui ne sont pas la même fonction. La première vaut e^(x²), la seconde vaut e^(2x). Une erreur de parenthèse coûte souvent un exercice entier.

Les trois définitions équivalentes et leur cohérence

Définition par l'équation différentielle y′ = y

Le point de départ le plus courant au lycée est un problème de Cauchy. On cherche une fonction f dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1.

f′(x) = f(x) pour tout x ∈ ℝ, et f(0) = 1

Ici f désigne la fonction inconnue, f′ sa dérivée, x la variable réelle, et 1 la valeur imposée en 0. Ces quantités sont sans unité, puisqu'il s'agit d'un énoncé purement mathématique. On démontre que ce problème admet une solution et une seule, notée exp.

L'unicité se prouve joliment. Soit f une solution, et soit g définie par g(x) = f(x) · f(−x). On dérive : g′(x) = f′(x) · f(−x) − f(x) · f′(−x) = f(x) · f(−x) − f(x) · f(−x) = 0. Donc g est constante, égale à g(0) = 1.

Ce calcul a deux conséquences immédiates. D'abord f ne s'annule jamais, puisque f(x) · f(−x) = 1. Ensuite, si f et h sont deux solutions, le quotient f/h a une dérivée nulle, donc f = h. L'existence, elle, se traite par la série entière ou par la réciproque du logarithme.

Définition comme réciproque du logarithme népérien

Une autre construction part du logarithme. On définit ln comme la primitive de x ⟼ 1/x sur ]0 ; +∞[ qui s'annule en 1.

ln(x) = ∫ de 1 à x de (1/t) dt, pour x > 0

Ici t est la variable d'intégration, x la borne supérieure, et la fonction intégrée est t ⟼ 1/t. Cette fonction ln est dérivable, de dérivée 1/x strictement positive. Elle réalise donc une bijection de ]0 ; +∞[ sur ℝ.

L'exponentielle est alors définie comme sa bijection réciproque. Le théorème de dérivation d'une réciproque donne exp′ = exp sans aucun calcul supplémentaire. La relation ln(ab) = ln a + ln b se transporte en exp(a + b) = exp(a) · exp(b).

Définition par la série entière

La troisième construction est celle qui se généralise le mieux. On pose, pour tout x réel, une somme infinie.

exp(x) = ∑ pour n allant de 0 à +∞ de xⁿ/n!

Ici n est l'indice de sommation, n! la factorielle de n, et x la variable réelle. La série converge pour tout x réel, et même absolument, ce qui autorise les manipulations usuelles. On montre ensuite qu'elle est dérivable terme à terme, et que sa dérivée est elle-même.

Les trois définitions coïncident pour une raison simple. Chacune produit une fonction dérivable vérifiant f′ = f et f(0) = 1. Or le problème de Cauchy ci-dessus admet au plus une solution. Les trois constructions aboutissent donc nécessairement à la même fonction.

Le nombre e et son approximation

Définition et première valeur

Le nombre e est simplement la valeur de l'exponentielle en 1. On a donc e = exp(1), et la série donne une écriture directe.

e = ∑ pour n allant de 0 à +∞ de 1/n! = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + …

Chaque terme 1/n! est l'inverse de la factorielle de n, et la somme est un nombre réel sans unité. Une valeur approchée est e ≈ 2,718281828459045. Les dix premières décimales suffisent très largement en concours.

La notation e est attribuée à Leonhard Euler, au dix-huitième siècle. Euler a aussi établi l'irrationalité de e. Charles Hermite a démontré en 1873 que e est transcendant, c'est-à-dire racine d'aucun polynôme à coefficients rationnels.

Convergence rapide de la série

La série de e converge très vite, parce que les factorielles croissent très vite. En sommant jusqu'à n = 10, on obtient déjà sept décimales exactes. En sommant jusqu'à n = 15, on dépasse la précision d'un calcul en double précision.

Cette rapidité a une conséquence pratique en colle. Pour majorer un reste, tu peux comparer la queue de série à une série géométrique. Pour n ≥ 2, on a n! ≥ 2^(n−1), donc le reste se contrôle facilement.

Une autre écriture utile

Une limite classique donne aussi le nombre e, et elle apparaît souvent en économie.

e = lim quand n tend vers +∞ de (1 + 1/n)ⁿ

Ici n est un entier qui tend vers l'infini, et l'expression entre parenthèses tend vers 1 tandis que l'exposant tend vers l'infini. C'est une forme indéterminée de type 1^∞. On la lève en écrivant (1 + 1/n)ⁿ = exp(n · ln(1 + 1/n)), puis en utilisant ln(1 + u) ∼ u quand u tend vers 0.

Les propriétés algébriques à connaître

La relation fonctionnelle et sa démonstration

La propriété centrale est la transformation des sommes en produits.

exp(a + b) = exp(a) · exp(b), pour tous réels a et b

Ici a et b sont deux réels quelconques, et le point désigne la multiplication des réels. Cette égalité s'appelle la relation fonctionnelle de l'exponentielle.

Voici la démonstration attendue au lycée comme en colle. On fixe un réel b, puis on pose φ(x) = exp(x + b) / exp(x). Le dénominateur ne s'annule jamais, donc φ est bien définie et dérivable sur ℝ.

On dérive avec la formule du quotient. Le numérateur de φ′ vaut exp(x + b) · exp(x) − exp(x + b) · exp(x), donc il est nul. La fonction φ est donc constante sur ℝ.

Il reste à évaluer en 0. On obtient φ(0) = exp(b) / exp(0) = exp(b). Donc exp(x + b) = exp(x) · exp(b) pour tout x réel, ce qui est la relation annoncée.

Les conséquences immédiates

Trois corollaires se déduisent en deux lignes chacun. Ils sont exigibles et reviennent en permanence.

• exp(−a) = 1/exp(a), en prenant b = −a dans la relation fonctionnelle

• exp(a − b) = exp(a)/exp(b), en combinant les deux précédentes

• exp(na) = (exp a)ⁿ pour tout n ∈ ℤ, par récurrence sur n ≥ 0 puis passage aux inverses

La récurrence mérite d'être écrite proprement. L'initialisation donne exp(0) = 1 = (exp a)⁰. L'hérédité utilise exp((n+1)a) = exp(na + a) = exp(na) · exp(a).

Positivité et non-annulation

L'exponentielle ne s'annule jamais, et elle est strictement positive sur ℝ. La non-annulation vient de exp(x) · exp(−x) = 1. La positivité vient ensuite de exp(x) = (exp(x/2))², qui est un carré non nul.

Cette propriété sert constamment. Elle permet de diviser par exp(x) sans précaution. Elle permet aussi de factoriser par exp(x) sans changer le signe d'une expression.

Dérivée, variations, courbe et limites

Dérivée et stabilité par dérivation

La dérivée de exp est exp elle-même. C'est la propriété qui fait toute l'importance de cette fonction. Elle signifie que la fonction est stable par l'opérateur de dérivation.

La formule composée en découle directement.

(exp(u))′ = u′ · exp(u), pour u dérivable sur un intervalle I

Ici u est une fonction dérivable, u′ sa dérivée, et I l'intervalle de travail. Cette formule sert à chaque étude de fonction faisant intervenir une exponentielle.

Une conséquence utile concerne les solutions de y′ = ay. L'ensemble de ces solutions est l'ensemble des fonctions x ⟼ C · exp(ax), où C décrit ℝ. Pour y′ = ay + b avec a non nul, on ajoute la solution constante −b/a.

Variations, convexité et courbe

Puisque exp′ = exp > 0, la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Puisque exp″ = exp > 0, elle est convexe sur ℝ. Sa courbe est donc toujours au-dessus de chacune de ses tangentes.

La tangente en 0 a pour équation y = x + 1. L'inégalité de convexité donne alors un encadrement très employé.

exp(x) ≥ x + 1, pour tout x ∈ ℝ, avec égalité uniquement en x = 0

Ici x est un réel quelconque, et les deux membres sont des réels sans unité. Cette inégalité sert à minorer une exponentielle sans calcul de limite.

Limites aux bornes

Les deux limites aux bornes se retiennent par la forme de la courbe. En plus l'infini, exp tend vers plus l'infini. En moins l'infini, exp tend vers 0 par valeurs strictement positives.

L'axe des abscisses est donc une asymptote horizontale en moins l'infini. Il n'y a pas d'asymptote en plus l'infini, puisque la croissance y est plus rapide que toute droite. La courbe traverse l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1).

Tableau récapitulatif

Croissances comparées et exemples entièrement résolus

Le principe des croissances comparées

Les croissances comparées hiérarchisent trois familles de fonctions. Le logarithme croît moins vite que toute puissance. Toute puissance croît moins vite que l'exponentielle. Cette hiérarchie lève la plupart des formes indéterminées rencontrées aux concours.

Les énoncés à connaître se formulent ainsi, pour tout entier n ≥ 1.

lim quand x tend vers +∞ de exp(x)/xⁿ = +∞, et lim quand x tend vers −∞ de xⁿ · exp(x) = 0

Ici n est un entier naturel non nul et x la variable réelle. Les deux énoncés se déduisent l'un de l'autre par le changement de variable x ⟼ −x.

Exemple résolu 1 : une limite par croissances comparées

Étudions la limite en plus l'infini de la fonction f définie par f(x) = (eˣ − x³) / (eˣ + 2x² + 5).

Étape 1. On repère la forme indéterminée. Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers plus l'infini, donc on est en ∞/∞.

Étape 2. On factorise par le terme dominant, ici eˣ, au numérateur et au dénominateur. On obtient f(x) = eˣ(1 − x³/eˣ) / [eˣ(1 + 2x²/eˣ + 5/eˣ)].

Étape 3. On simplifie par eˣ, qui ne s'annule jamais. Il reste f(x) = (1 − x³/eˣ) / (1 + 2x²/eˣ + 5/eˣ).

Étape 4. On applique les croissances comparées. Le quotient x³/eˣ tend vers 0, le quotient x²/eˣ tend vers 0, et 5/eˣ tend vers 0.

Étape 5. On conclut par quotient de limites. Le numérateur tend vers 1, le dénominateur tend vers 1, et le dénominateur ne s'annule pas au voisinage de plus l'infini. Donc f(x) tend vers 1 quand x tend vers plus l'infini.

Le réflexe à retenir tient en un mot : factoriser. Face à une somme de termes de croissances différentes, on met en facteur le plus fort. Les autres deviennent alors des quotients qui tendent vers 0.

Exemple résolu 2 : étude complète d'une fonction

Étudions g définie sur ℝ par g(x) = (x − 1) · eˣ. On veut ses variations, ses limites et son minimum.

Étape 1. Dérivation par la formule du produit. On a g′(x) = 1 · eˣ + (x − 1) · eˣ = x · eˣ.

Étape 2. Signe de la dérivée. Comme eˣ > 0 sur ℝ, le signe de g′(x) est celui de x. Donc g′ est négative sur ]−∞ ; 0] et positive sur [0 ; +∞[.

Étape 3. Variations. La fonction g décroît sur ]−∞ ; 0], puis croît sur [0 ; +∞[. Elle admet donc un minimum global en 0, qui vaut g(0) = −1.

Étape 4. Limite en plus l'infini. Le produit (x − 1) · eˣ est un produit de deux facteurs tendant vers plus l'infini. Donc g(x) tend vers plus l'infini.

Étape 5. Limite en moins l'infini. On écrit g(x) = x · eˣ − eˣ. Par croissances comparées, x · eˣ tend vers 0, et eˣ tend vers 0. Donc g(x) tend vers 0, et l'axe des abscisses est asymptote.

Étape 6. Conclusion. La fonction g est à valeurs dans [−1 ; +∞[. Elle s'annule une seule fois, en x = 1, puisqu'elle est strictement croissante sur [0 ; +∞[ et strictement négative avant.

Équations, inéquations et erreurs classiques

Résoudre une équation avec exponentielle

La stricte croissance de exp donne l'équivalence de base. Pour tous réels a et b, on a exp(a) = exp(b) ⇔ a = b. Pour A > 0, on a exp(x) = A ⇔ x = ln A.

La méthode générale comporte trois temps. On ramène l'équation à une égalité de deux exponentielles, ou à exp(X) = A avec A > 0. On applique ensuite le logarithme. On vérifie enfin que la solution appartient à l'ensemble de définition.

Beaucoup d'équations se traitent par changement de variable. Prenons e^(2x) − 5eˣ + 6 = 0. On pose X = eˣ, avec la contrainte X > 0.

L'équation devient X² − 5X + 6 = 0, dont les racines sont 2 et 3. Les deux sont strictement positives, donc toutes deux acceptables. On revient à x par logarithme, et l'ensemble des solutions est {ln 2 ; ln 3}.

Résoudre une inéquation

La stricte croissance donne aussi exp(a) ≤ exp(b) ⇔ a ≤ b. Le sens de l'inégalité est donc conservé, contrairement à ce qui se passe avec une fonction décroissante.

Prenons e^(3x − 1) > 1. On écrit 1 = e⁰, puis on compare les exposants. L'inéquation équivaut à 3x − 1 > 0, donc à x > 1/3.

Pour une inéquation produit, le signe se lit sur les seuls facteurs non exponentiels. Par exemple, (x² − 4) · eˣ ≤ 0 équivaut à x² − 4 ≤ 0, donc à x ∈ [−2 ; 2]. L'exponentielle, toujours strictement positive, ne change rien au signe.

Erreurs classiques en colle et en copie

Certaines fautes reviennent chaque année dans les copies. Les connaître à l'avance évite de les reproduire sous la pression du temps.

• Écrire exp(a + b) = exp(a) + exp(b). La relation fonctionnelle transforme une somme en produit, jamais en somme.

• Écrire exp(ab) = exp(a) · exp(b). C'est faux : seule la somme des arguments donne un produit.

• Oublier la condition A > 0 avant d'appliquer ln dans exp(X) = A.

• Oublier la contrainte X > 0 après un changement de variable X = eˣ, et retenir une racine négative.

• Oublier le facteur u′ dans la dérivée de exp(u).

• Appliquer une croissance comparée sans avoir d'abord factorisé par le terme dominant.

• Confondre e^(x²) et (eˣ)², qui vaut e^(2x).

Un dernier point concerne les équivalents. L'équivalence ne passe pas à l'exponentielle. Si u ∼ v, on n'a pas en général exp(u) ∼ exp(v), et il faut passer par la différence u − v.

Exponentielle complexe, exponentielle de matrice et applications

Développement limité et série entière

Le développement limité de exp en 0 se lit directement sur la série.

exp(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … + xⁿ/n! + o(xⁿ) quand x tend vers 0

Ici n est l'ordre du développement, et o(xⁿ) désigne une quantité négligeable devant xⁿ. Les deux premiers termes donnent exp(x) ≈ 1 + x au voisinage de 0, ce qui redonne la tangente.

La série entière ∑ xⁿ/n! a un rayon de convergence infini. Elle converge donc en tout point du plan complexe. C'est ce qui permet d'étendre l'exponentielle à ℂ sans ambiguïté.

Exponentielle complexe et formule d'Euler

Pour z ∈ ℂ, on pose exp(z) = ∑ zⁿ/n!. La relation fonctionnelle exp(z + w) = exp(z) · exp(w) se conserve, grâce au produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.

Le cas d'un imaginaire pur donne la formule d'Euler.

e^(iθ) = cos θ + i · sin θ, pour θ ∈ ℝ

Ici θ est un réel, souvent un angle en radians, i l'unité imaginaire avec i² = −1, et cos et sin les fonctions trigonométriques usuelles. En séparant parties réelle et imaginaire de la série, on retrouve exactement les séries de cos et de sin.

Les formules d'Euler s'en déduisent : cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 et sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ))/(2i). Elles servent à linéariser les puissances de cos et de sin. Pour z = a + ib, on obtient enfin exp(z) = eᵃ · (cos b + i · sin b), de module eᵃ et d'argument b.

Exponentielle de matrice

Pour une matrice carrée A à coefficients réels ou complexes, on pose une série analogue.

exp(A) = ∑ pour n allant de 0 à +∞ de Aⁿ/n!, avec A⁰ = I

Ici A est une matrice carrée de taille p, Aⁿ sa puissance n-ième, I la matrice identité, et la série converge pour toute norme sous-multiplicative. Cette exponentielle sert à résoudre les systèmes différentiels linéaires X′ = AX.

Une précaution est essentielle. L'égalité exp(A + B) = exp(A) · exp(B) n'est vraie que si A et B commutent. En revanche, exp(A) est toujours inversible, d'inverse exp(−A).

La place au programme et aux concours

En terminale générale, l'exponentielle figure au programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques, publié au Bulletin officiel. Elle y est introduite à partir de l'équation différentielle y′ = y avec y(0) = 1. Les croissances comparées et la résolution d'équations y sont également exigibles.

En première année de CPGE scientifique, les programmes publiés au Bulletin officiel reprennent l'exponentielle réelle, puis l'étendent au cas complexe. L'exponentielle de matrice n'apparaît pas dans toutes les filières ni toutes les années. Vérifie le programme officiel de ta filière sur le site du ministère, car les contenus diffèrent d'une voie à l'autre.

Aux écrits de concours, l'exponentielle intervient rarement comme sujet isolé. Elle apparaît comme outil, dans une étude de fonction, une équation différentielle, un développement limité ou un calcul d'intégrale. Les croissances comparées sont l'usage le plus fréquent.

Quatre applications modélisées

La décroissance radioactive suit N(t) = N₀ · e^(−λt). Ici N(t) est le nombre de noyaux restants à l'instant t exprimé en secondes, N₀ le nombre initial de noyaux, et λ la constante radioactive en s⁻¹. La demi-vie vaut t₁/₂ = ln 2 / λ.

La charge d'un condensateur dans un circuit RC donne u(t) = E · (1 − e^(−t/τ)). Ici u(t) est la tension aux bornes du condensateur en volts, E la tension du générateur en volts, t le temps en secondes, et τ = RC la constante de temps en secondes.

Les intérêts composés donnent Cₙ = C₀ · (1 + r)ⁿ, et la version continue s'écrit C(t) = C₀ · e^(rt). Ici C₀ est le capital initial, r le taux par période, n le nombre de périodes et t la durée. La forme continue est la limite de la forme discrète quand la période tend vers 0.

Un modèle de croissance de population sans contrainte s'écrit P(t) = P₀ · e^(kt). Ici P(t) est l'effectif à l'instant t, P₀ l'effectif initial, et k le taux de croissance par unité de temps. Ce modèle ne vaut qu'en l'absence de limitation des ressources.