L'intégrale : définition, calcul et méthodes en prépa

Ce que recouvre la notion d'intégrale

L'idée géométrique de départ

Tout part d'un problème ancien : mesurer une aire délimitée par une ligne courbe. Pour un triangle, une formule suffit. Sous une parabole, aucune formule élémentaire ne convient.

L'idée est d'approcher la surface par des figures dont on sait calculer l'aire. On découpe [a, b] en petites tranches, puis on remplace la courbe par un segment horizontal sur chacune. On obtient une réunion de rectangles.

L'approximation est grossière avec trois rectangles, excellente avec mille. L'intégrale est la limite de ces aires quand le découpage s'affine.

De l'aire au passage à la limite

Formalisons le découpage régulier. On pose un entier n non nul, puis on partage [a, b] en n tranches de même longueur.

Sₙ = ((b − a)/n) × Σ (k = 0 à n − 1) f(a + k(b − a)/n)

Ici n est le nombre de rectangles, sans unité. Le facteur (b − a)/n est la largeur commune de chaque rectangle, exprimée dans l'unité de l'axe des abscisses. Le terme f(a + k(b − a)/n) est la hauteur du k-ième rectangle, dans l'unité de l'axe des ordonnées. La somme Sₙ s'exprime donc dans l'unité d'une aire.

Quand f est continue sur [a, b], la suite (Sₙ) converge. Sa limite est l'intégrale de f entre a et b. C'est ce résultat qui donne un sens précis à l'expression « aire sous la courbe ».

Attention : cette aire est algébrique. Là où f est négative, les contributions comptent négativement. L'intégrale du sinus sur [0, 2π] vaut 0, alors que l'aire géométrique vaut 4.

La construction de l'intégrale de Riemann

Subdivisions et fonctions en escalier

La construction commence par la notion de subdivision. Une subdivision de [a, b] est une famille finie de points a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b. Son pas est la plus grande des longueurs xᵢ₊₁ − xᵢ.

Une fonction en escalier est constante sur chacun des intervalles ouverts ]xᵢ, xᵢ₊₁[ d'une subdivision. Son intégrale est la somme des produits « valeur constante × longueur de l'intervalle ».

Ces fonctions sont les briques élémentaires. La théorie consiste à encadrer la fonction étudiée entre deux fonctions en escalier, puis à resserrer l'encadrement.

Sommes de Darboux et critère d'intégrabilité

Soit f bornée sur [a, b] et σ une subdivision. Sur chaque intervalle de σ, on note mᵢ la borne inférieure de f et Mᵢ sa borne supérieure.

s(f, σ) = Σ mᵢ (xᵢ₊₁ − xᵢ) et S(f, σ) = Σ Mᵢ (xᵢ₊₁ − xᵢ)

Les quantités mᵢ et Mᵢ sont des valeurs de l'axe des ordonnées, les différences xᵢ₊₁ − xᵢ des longueurs. Les deux sommes sont donc des aires algébriques, dites de Darboux inférieure et supérieure.

La première sous-estime l'aire, la seconde la surestime. On dit que f est intégrable au sens de Riemann lorsque la borne supérieure des s(f, σ) coïncide avec la borne inférieure des S(f, σ). Cette valeur commune est l'intégrale de f.

Quelles fonctions sont intégrables

Le résultat utile se retient vite. Toute fonction continue sur un segment [a, b] est intégrable au sens de Riemann, et toute fonction monotone sur un segment l'est aussi.

Plus largement, une fonction bornée et continue sauf en un nombre fini de points reste intégrable. Cela couvre les fonctions continues par morceaux, cadre standard en première année.

L'intégrale de Riemann a toutefois ses limites avec certains passages à la limite. C'est l'une des raisons qui ont conduit Henri Lebesgue à proposer, au début du vingtième siècle, une autre construction.

Le théorème fondamental de l'analyse

L'énoncé et son contenu

Ce théorème est le pont entre les aires et les dérivées. Soit f continue sur un intervalle I, et a un point de I. On définit F par F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt.

F′(x) = f(x) pour tout x de I

Dans cette égalité, f est la fonction intégrée, dans son unité propre. F associe à x l'aire algébrique accumulée depuis a, dans l'unité d'une aire. Sa dérivée F′ retrouve exactement f.

Intégrer puis dériver ramène donc au point de départ. La fonction F est une primitive de f, l'unique qui s'annule en a.

La formule de calcul

De là découle la formule qui sert tous les jours. Si F est une primitive quelconque de f sur un intervalle contenant a et b, l'intégrale se lit sur les bornes.

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]ₐᵇ

Les réels a et b sont les bornes d'intégration, dans l'unité de la variable. F(b) et F(a) sont deux valeurs d'une même primitive. La différence ne dépend pas de la primitive choisie, car deux primitives diffèrent d'une constante sur un intervalle. La recherche de primitives est donc l'outil du calcul intégral, pas son objet.

Intégrale et primitive : ne pas confondre les deux objets

La confusion est fréquente et coûte des points. Une intégrale définie ∫ₐᵇ f(x) dx est un nombre réel. Une primitive est une fonction.

Trois conséquences. La variable d'intégration est muette : ∫ₐᵇ f(x) dx et ∫ₐᵇ f(t) dt désignent le même nombre. Écrire que ∫ₐᵇ f(x) dx dépend de x est une faute. Une constante d'intégration n'a aucun sens dans une intégrale définie.

Le cas mixte demande de l'attention. Dans ∫₀ˣ f(t) dt, la borne supérieure est une variable et le résultat est une fonction de x.

Les propriétés du calcul intégral

Linéarité et relation de Chasles

La linéarité est la propriété la plus utilisée. Pour f et g intégrables et deux réels λ et μ, l'intégrale d'une combinaison linéaire est la combinaison des intégrales.

∫ₐᵇ (λ f(x) + μ g(x)) dx = λ ∫ₐᵇ f(x) dx + μ ∫ₐᵇ g(x) dx

Les coefficients λ et μ sont des réels sans dimension. Les intégrales du membre de droite sont dans l'unité d'une aire.

La relation de Chasles découpe l'intervalle en passant par un point intermédiaire c. Elle reste valable même si c n'est pas entre a et b, avec la convention ∫ᵇₐ f = − ∫ₐᵇ f.

Positivité, croissance et inégalité triangulaire

La positivité dit que l'intégrale respecte le signe. Si a ≤ b et si f est positive sur [a, b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx est positive ou nulle. Le résultat se renforce pour les fonctions continues : si f est continue, positive et d'intégrale nulle, alors f est nulle sur l'intervalle.

La croissance en découle. Si f ≤ g sur [a, b] avec a ≤ b, alors ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx. C'est l'outil de base pour encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer.

L'inégalité triangulaire intégrale termine la série.

|∫ₐᵇ f(x) dx| ≤ ∫ₐᵇ |f(x)| dx, pour a ≤ b

Le membre de gauche est la valeur absolue d'une aire algébrique, le membre de droite l'aire géométrique totale. L'écart entre eux mesure la compensation entre parties positives et négatives.

La valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne généralise au cas continu la moyenne d'une liste de nombres. Pour f intégrable sur [a, b] avec a < b, on divise l'intégrale par la longueur de l'intervalle.

m = (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f(x) dx

Ici b − a est la longueur de l'intervalle. Le quotient m est dans l'unité des ordonnées, comme f. Géométriquement, m est la hauteur du rectangle de base [a, b] qui a la même aire que la région sous la courbe.

Lorsque f est continue, cette valeur est atteinte : il existe au moins un réel c de [a, b] tel que f(c) = m. C'est le théorème de la moyenne.

Tableau récapitulatif des propriétés

Les deux grandes techniques de calcul

L'intégration par parties

L'intégration par parties transforme une intégrale en une autre, plus simple si le choix est bon. Elle découle de la dérivation d'un produit, intégrée entre a et b.

∫ₐᵇ u(x) v′(x) dx = [u(x) v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x) v(x) dx

Les fonctions u et v doivent être de classe C¹ sur [a, b]. Le crochet [u(x)v(x)]ₐᵇ désigne u(b)v(b) − u(a)v(a), un nombre réel. Les intégrales sont dans l'unité d'une aire.

Le choix de u et de v′ décide du succès. On dérive le facteur qui se simplifie, on primitive celui qui garde sa nature. Un polynôme fois une exponentielle appelle u polynôme. Un logarithme isolé appelle u = ln.

Exemple entièrement résolu par intégration par parties

Calculons I = ∫₀¹ x e^x dx.

Étape 1. On pose u(x) = x et v′(x) = e^x, deux fonctions de classe C¹ sur [0, 1].

Étape 2. On dérive et on primitive : u′(x) = 1 et v(x) = e^x.

Étape 3. On applique la formule. I = [x e^x]₀¹ − ∫₀¹ e^x dx.

Étape 4. On évalue le crochet. [x e^x]₀¹ = 1 × e¹ − 0 × e⁰ = e.

Étape 5. On calcule l'intégrale restante. ∫₀¹ e^x dx = [e^x]₀¹ = e − 1.

Étape 6. On conclut. I = e − (e − 1) = 1. La fonction x ↦ (x − 1)e^x, de dérivée x e^x, confirme ce résultat.

Le changement de variable et le traitement des bornes

Le changement de variable remplace la variable d'intégration par une fonction d'une autre variable. Pour φ de classe C¹ sur [a, b] et f continue sur l'image de φ, la formule s'écrit ainsi.

∫ₐᵇ f(φ(t)) φ′(t) dt = ∫ (de φ(a) à φ(b)) f(u) du

Ici t est l'ancienne variable et u = φ(t) la nouvelle. Le facteur φ′(t) dt devient du. Les bornes a et b deviennent φ(a) et φ(b).

Le traitement des bornes est le point sensible. Dans une intégrale définie, on change les bornes et on ne revient jamais à l'ancienne variable. Deux réflexes suffisent : écrire la relation entre du et dt avant tout calcul, puis recalculer les deux bornes séparément.

Exemple entièrement résolu par changement de variable

Calculons J = ∫₀^(π/2) (cos t)/(1 + sin²t) dt.

Étape 1. On repère la structure. Le numérateur cos t est la dérivée de sin t, présent au dénominateur.

Étape 2. On pose u = sin t, donc du = cos t dt. La fonction t ↦ sin t est de classe C¹ sur [0, π/2].

Étape 3. On transforme les bornes. Pour t = 0, u = 0. Pour t = π/2, u = 1.

Étape 4. On réécrit l'intégrale. J = ∫₀¹ du/(1 + u²).

Étape 5. On conclut, en reconnaissant arctan comme primitive. J = [arctan u]₀¹ = π/4.

Les sommes de Riemann et le calcul approché

Le principe, lu dans l'autre sens

Les sommes de Riemann définissent l'intégrale. Aux concours, elles servent surtout dans l'autre sens : on rencontre une suite qui est une somme, et on la reconnaît comme une somme de Riemann.

lim (n → +∞) (1/n) Σ (k = 1 à n) f(k/n) = ∫₀¹ f(x) dx

Dans cette égalité, n est l'indice de la suite et k celui de sommation. Le facteur 1/n est la largeur des rectangles, les f(k/n) leurs hauteurs. La limite est un nombre, dans l'unité d'une aire.

La version générale couvre un intervalle quelconque. Pour f continue sur [a, b], la somme ((b − a)/n) Σ f(a + k(b − a)/n) converge vers ∫ₐᵇ f(x) dx. La variante avec k de 0 à n − 1 donne la même limite.

Trois indices guident la lecture. La somme comporte n termes indexés par k. Un facteur 1/n se laisse factoriser. Le terme général ne dépend ensuite de k que par le quotient k/n.

Si le terme général dépend de k autrement, la reconnaissance échoue. Il faut alors encadrer la somme, ou revenir à un développement asymptotique.

Exemple entièrement résolu de calcul de limite

Soit uₙ = Σ (k = 1 à n) n/(n² + k²). Déterminons la limite de (uₙ).

Étape 1. On factorise n² au dénominateur : n² + k² = n²(1 + (k/n)²).

Étape 2. On réécrit le terme général : n/(n² + k²) = (1/n) × 1/(1 + (k/n)²).

Étape 3. On sort le facteur 1/n. uₙ = (1/n) Σ (k = 1 à n) 1/(1 + (k/n)²).

Étape 4. On identifie la fonction f(x) = 1/(1 + x²), continue sur [0, 1].

Étape 5. On applique le théorème. La suite (uₙ) converge vers ∫₀¹ dx/(1 + x²).

Étape 6. On calcule : ∫₀¹ dx/(1 + x²) = [arctan x]₀¹ = π/4.

Conclusion : uₙ tend vers π/4. On en tire au passage une approximation de π, puisque 4uₙ s'en approche.

La méthode des rectangles

Beaucoup d'intégrales n'ont pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles. La fonction x ↦ e^(−x²) en est l'exemple le plus connu. On calcule alors une valeur approchée.

La méthode des rectangles reprend la somme de Riemann. On découpe [a, b] en n tranches de largeur h = (b − a)/n, on évalue f en un point de chaque tranche, puis on somme les aires. Pour une fonction de classe C¹, l'erreur se majore par une quantité proportionnelle à 1/n.

La méthode des trapèzes

La méthode des trapèzes remplace chaque segment horizontal par un segment reliant les extrémités de l'arc. L'approximation suit mieux la courbe.

T = h × (f(x₀)/2 + f(x₁) + … + f(xₙ₋₁) + f(xₙ)/2)

Ici h = (b − a)/n est le pas, dans l'unité de la variable. Les xᵢ sont les points de la subdivision régulière, les f(xᵢ) des ordonnées, et T une aire.

Pour une fonction de classe C², l'erreur se majore par une quantité proportionnelle à 1/n². Doubler n divise l'erreur par quatre environ. La méthode de Simpson, qui interpole par des arcs de parabole, fait mieux encore.

Les intégrales impropres et la convergence

Pourquoi sortir du cadre du segment

L'intégrale de Riemann se construit sur un segment, pour une fonction bornée. Deux situations sortent de ce cadre. L'intervalle peut être non borné, comme [1, +∞[. La fonction peut ne pas être bornée près d'une borne, comme x ↦ 1/√x en 0.

On parle alors d'intégrale impropre, ou généralisée, définie par une limite. Pour f continue sur [a, +∞[, on étudie la limite de ∫ₐˣ f(t) dt quand x tend vers l'infini.

∫ₐ^(+∞) f(t) dt = lim (x → +∞) ∫ₐˣ f(t) dt

La variable x est la borne mobile, dans l'unité de la variable. Si la limite existe et est finie, on dit que l'intégrale converge. Sinon, elle diverge.

Les intégrales de référence

Deux familles reviennent sans cesse, les intégrales dites de Riemann. Leur comportement se connaît par cœur.

∫₁^(+∞) dx/x^α converge si et seulement si α > 1

∫₀¹ dx/x^α converge si et seulement si α < 1

Le paramètre α est un réel sans dimension. Les deux conditions sont inverses, ce qui explique les confusions. Moyen mnémotechnique : en l'infini on doit décroître vite, donc α grand ; en zéro on doit exploser lentement, donc α petit.

Deux autres références se retiennent. L'intégrale ∫₀^(+∞) e^(−t) dt converge et vaut 1. L'intégrale ∫₁^(+∞) dt/t diverge.

Les critères de convergence usuels

Le critère de comparaison est le premier réflexe. Si 0 ≤ f ≤ g au voisinage de la borne et si l'intégrale de g converge, celle de f converge aussi.

Le critère d'équivalence s'utilise de même. Si f et g sont positives et équivalentes au voisinage de la borne, leurs intégrales ont le même comportement. On se ramène ainsi à une intégrale de Riemann.

Pour les fonctions de signe quelconque, on étudie la convergence absolue. Si l'intégrale de la valeur absolue de f converge, celle de f converge. La réciproque est fausse : l'intégrale de (sin t)/t sur [1, +∞[ en donne un contre-exemple.

Applications, erreurs classiques et place au programme

Aires, volumes et longueurs

Le calcul d'aires vient en premier. L'aire comprise entre deux courbes, celle de f au-dessus de celle de g, vaut ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx.

Les volumes de révolution s'obtiennent en empilant des disques. Pour la rotation autour de l'axe des abscisses, on somme les aires des disques de rayon f(x).

V = ∫ₐᵇ π f(x)² dx

Le rayon f(x) est une longueur, donc π f(x)² est une aire, et V un volume. La longueur d'un arc de courbe suit un principe voisin, en sommant des éléments de longueur.

L = ∫ₐᵇ √(1 + f′(x)²) dx

Ici f′(x) est un nombre sans dimension si les deux axes partagent la même unité, et L est une longueur.

Valeur efficace et probabilités à densité

En physique, la valeur efficace d'un signal périodique est la racine carrée de la moyenne de son carré sur une période. Elle compare un signal variable à un signal constant de même puissance dissipée.

Ieff = √((1/T) ∫₀^T i(t)² dt)

La fonction i est l'intensité instantanée, en ampères. T est la période, en secondes. L'intégrale de i² est en ampères carrés fois secondes, et Ieff s'exprime en ampères.

En probabilités, une variable aléatoire à densité se décrit par une fonction f positive et d'intégrale 1 sur ℝ. La probabilité qu'elle tombe dans un intervalle est l'intégrale de f sur cet intervalle. L'espérance s'écrit ∫ x f(x) dx, si cette intégrale converge absolument.

Les erreurs classiques en colle et en copie

Quelques fautes reviennent souvent. Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable vient en tête. Vérifier le sens de variation de la fonction de substitution évite les erreurs de signe.

Appliquer F(b) − F(a) alors que la fonction n'est pas continue sur tout l'intervalle est une autre faute fréquente. L'exemple de ∫₋₁¹ dx/x² l'illustre : la fonction n'est pas définie en 0.

Deux réflexes encore. On n'intègre pas terme à terme une série sans justifier la permutation. On n'écrit jamais l'intégrale d'un produit comme le produit des intégrales.

La place de l'intégrale au programme et aux concours

Au lycée, l'intégrale apparaît en terminale dans la spécialité mathématiques. Le programme de cette spécialité est fixé par l'arrêté du 19 juillet 2019, publié au Bulletin officiel spécial numéro 8 du 25 juillet 2019. L'approche y est centrée sur l'aire sous la courbe et le lien avec les primitives.

En classes préparatoires scientifiques, l'intégration sur un segment figure en première année, en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I et BCPST. Les intégrales impropres relèvent de la seconde année. En voie ECG, l'intégration est traitée en lien étroit avec les probabilités à densité. Les programmes officiels de CPGE sont publiés par le ministère de l'enseignement supérieur, sur ses pages dédiées.

Aux concours, l'intégrale est omniprésente. Elle apparaît dans les calculs explicites, les suites définies par une intégrale, les sommes de Riemann et les inégalités de convexité. Les banques d'épreuves en proposent chaque année plusieurs occurrences.