L'effet Doppler : principe, formules et applications en prépa

Ce que recouvre l'effet Doppler

Une variation de fréquence, jamais de célérité

L'effet Doppler porte sur la fréquence reçue, pas sur la vitesse de propagation. Une onde sonore avance à environ 340 m/s dans l'air à 20 °C, que la source bouge ou non. Ce qui change, c'est le nombre de crêtes qui atteignent ton oreille chaque seconde. La célérité dépend du milieu, jamais du mouvement de la source.

Trois objets à distinguer

Trois éléments entrent en jeu dans tout énoncé. La source émet l'onde à une fréquence f, dite fréquence propre ou fréquence d'émission. Le récepteur perçoit une fréquence f′. Entre les deux, un milieu matériel porte l'onde en acoustique, alors qu'aucun milieu n'est nécessaire en optique. Cette différence explique que les formules ne soient pas identiques dans les deux domaines.

Ce que le mot « décalage » désigne

Le décalage Doppler est l'écart entre la fréquence reçue et la fréquence émise. On le note Δf = f′ − f. Il est positif en approche, négatif en éloignement. En optique, on parle plutôt de décalage en longueur d'onde, vers le bleu ou vers le rouge. Le signe porte donc toute l'information sur le sens du mouvement relatif.

L'explication qualitative par les fronts d'onde

Une source immobile : des cercles concentriques

Imagine une source ponctuelle immobile qui émet un front d'onde à chaque période T. Les fronts forment des sphères concentriques. Leur écartement vaut la longueur d'onde λ = c × T, la même dans toutes les directions. Tout observateur, où qu'il soit, reçoit donc la fréquence d'émission f = 1/T.

Une source en approche : les fronts se resserrent

Fais maintenant avancer la source à la vitesse vₛ vers l'observateur. Entre deux émissions successives, la source progresse de vₛ × T dans cette direction. Le front suivant part donc d'un point plus proche de l'observateur. Les fronts se resserrent devant la source et l'écartement perçu diminue.

λ′ = (c − vₛ) × T

Ici λ′ est la longueur d'onde reçue, en mètres. La célérité c de l'onde dans le milieu et la vitesse vₛ de la source s'expriment en mètres par seconde. La période d'émission T est en secondes.

Une source qui s'éloigne : les fronts s'étirent

Derrière la source, le raisonnement s'inverse. La source recule d'une distance vₛ × T entre deux émissions, ce qui espace les fronts. L'écartement perçu devient λ′ = (c + vₛ) × T. La fréquence reçue est donc plus basse que la fréquence émise. C'est le grave que tu entends après le passage d'un véhicule.

De l'image géométrique à la définition rigoureuse

La célérité c est imposée par le milieu et reste inchangée. La fréquence reçue s'obtient alors par f′ = c/λ′. En remplaçant λ′ par son expression, tu obtiens directement la formule du cas d'une source mobile. Cette démonstration en deux lignes est celle attendue en colle, car elle ne suppose aucun résultat admis.

Les formules du cas acoustique

Source mobile, observateur fixe

Le calcul précédent donne le premier résultat de référence.

f′ = f × c/(c − vₛ)

Dans cette relation, f′ est la fréquence reçue et f la fréquence émise, en hertz. La célérité du son dans le milieu, notée c, est en mètres par seconde. La grandeur vₛ est la valeur algébrique de la vitesse de la source, projetée sur l'axe orienté de la source vers l'observateur. Si la source s'éloigne, le dénominateur devient c + vₛ.

Observateur mobile, source fixe

Le mécanisme est ici différent. La source étant immobile, les fronts restent espacés de λ = c/f. C'est l'observateur qui vient à leur rencontre. La vitesse des fronts par rapport à lui devient c + vₒ, donc le nombre de fronts croisés par seconde augmente.

f′ = f × (c + vₒ)/c

Ici vₒ est la valeur algébrique de la vitesse de l'observateur projetée sur l'axe orienté vers la source, en mètres par seconde, les autres grandeurs gardant le sens précédent. Un observateur qui s'éloigne donne f′ = f × (c − vₒ)/c.

Pourquoi les deux formules diffèrent

La raison est physique. En acoustique, le milieu définit un référentiel privilégié, celui où l'onde se propage à la célérité c. Déplacer la source modifie la longueur d'onde émise. Déplacer l'observateur ne modifie que la cadence de rencontre.

Les deux résultats ne coïncident donc pas exactement. Pose β = v/c et développe. La source mobile donne f′ ≈ f × (1 + β + β²), l'observateur mobile donne f′ = f × (1 + β). L'écart n'apparaît qu'au second ordre en β.

Le cas général et les conventions de signe

Quand la source et l'observateur bougent tous les deux dans le milieu, les deux effets se composent.

f′ = f × (c + vₒ)/(c − vₛ)

Les vitesses vₒ et vₛ sont comptées positives lorsque chaque mobile se dirige vers l'autre, et négatives dans le cas contraire, toujours en mètres par seconde. Seules comptent les projections sur l'axe qui joint la source à l'observateur. Une vitesse perpendiculaire à cet axe ne produit aucun décalage au premier ordre.

Le décalage Doppler Δf et le rapport Δf/f

Définition et calcul du décalage

Le décalage s'écrit Δf = f′ − f. Pour une source en approche, la formule acoustique donne Δf = f × vₛ/(c − vₛ). Le rapport Δf/f vaut alors vₛ/(c − vₛ). Cette écriture relative est souvent plus parlante, car elle ne dépend plus de la fréquence choisie.

L'approximation des faibles vitesses

Dès que la vitesse reste petite devant la célérité, une seule relation suffit.

Δf/f ≈ ± v/c

Dans cette approximation, Δf est le décalage et f la fréquence émise, en hertz. La vitesse relative v, projetée sur la ligne de visée, et la célérité c sont en mètres par seconde. Le signe est positif en approche, négatif en éloignement. La même écriture vaut en acoustique et en optique.

Le tableau récapitulatif des formules

L'effet Doppler-Fizeau en optique

Aucun milieu, donc une seule formule

La lumière se propage dans le vide sans support matériel. Il n'existe donc pas de référentiel privilégié auquel rapporter les vitesses. Seule la vitesse relative de la source et de l'observateur a un sens physique. Les deux formules acoustiques distinctes se fondent en une seule expression. C'est la différence conceptuelle majeure entre les deux domaines.

Le cas lumineux porte souvent le nom d'effet Doppler-Fizeau. Hippolyte Fizeau a appliqué aux raies spectrales l'idée publiée par Christian Doppler en 1842.

La formule longitudinale relativiste

Pour un mouvement le long de la ligne de visée, la relation exacte s'écrit avec une racine carrée.

f′ = f × √((c − v)/(c + v))

Ici f′ est la fréquence reçue, en hertz. La fréquence f est celle émise dans le référentiel de la source, en hertz. La vitesse d'éloignement relatif v est en mètres par seconde, et c vaut 299 792 458 m/s dans le vide, par définition du mètre. Pour une approche, la racine devient √((c + v)/(c − v)).

Redshift et blueshift

En astrophysique, on raisonne sur les longueurs d'onde des raies spectrales.

z = (λ − λ₀)/λ₀

Le nombre z est le décalage spectral, sans dimension, λ la longueur d'onde reçue en mètres et λ₀ la longueur d'onde de la même raie mesurée au laboratoire. Un z positif signale un allongement des longueurs d'onde, donc un décalage vers le rouge, ou redshift. Un z négatif signale un décalage vers le bleu, associé à un rapprochement.

Attention à la lecture de z pour les galaxies lointaines. Le décalage cosmologique y traduit l'expansion de l'espace, et non un mouvement à travers l'espace. L'interprétation en vitesse reste commode tant que z demeure petit.

L'effet transverse, purement relativiste

L'acoustique classique ne prévoit aucun décalage pour une vitesse perpendiculaire à la ligne de visée. La relativité restreinte en prévoit un, dû à la dilatation des durées.

f′ = f × √(1 − v²/c²)

Dans cette relation, v est la norme de la vitesse relative et c la célérité de la lumière, en mètres par seconde. La fréquence reçue est toujours plus basse, quel que soit le sens du mouvement. Cet effet n'a pas d'équivalent dans le traitement acoustique élémentaire.

Un exemple entièrement résolu : la sirène

L'énoncé et les données

Une ambulance roule en ligne droite à vitesse constante et fait fonctionner sa sirène. La fréquence d'émission vaut f = 700 Hz. La vitesse du véhicule vaut vₛ = 30 m/s, soit 108 km/h. La célérité du son dans l'air est prise égale à c = 340 m/s. Un piéton immobile se tient au bord de la route.

On cherche la fréquence perçue en approche, puis en éloignement, puis le saut au passage. Le piéton est fixe dans l'air, donc vₒ = 0. Le mouvement a lieu selon l'axe qui relie la source au piéton.

Étape 1 : la fréquence perçue en approche

La source se rapproche, l'observateur est fixe. Tu appliques f′ = f × c/(c − vₛ). Le dénominateur vaut 340 − 30 = 310 m/s. Le rapport c/(c − vₛ) vaut donc 340/310 ≈ 1,0968.

La fréquence reçue vaut f′ = 700 × 1,0968 ≈ 767,7 Hz. Le décalage vaut Δf = 767,7 − 700 ≈ +67,7 Hz. En relatif, Δf/f ≈ 9,7 %. Le son perçu est donc nettement plus aigu que le son émis.

Étape 2 : la fréquence perçue en éloignement

Après le passage, la source s'éloigne. Le signe de vₛ change et la formule devient f′ = f × c/(c + vₛ). Le dénominateur vaut 340 + 30 = 370 m/s. Le rapport c/(c + vₛ) vaut 340/370 ≈ 0,9189.

La fréquence reçue vaut f′ = 700 × 0,9189 ≈ 643,2 Hz. Le décalage vaut Δf ≈ −56,8 Hz, soit Δf/f ≈ −8,1 %. Remarque bien l'asymétrie des deux résultats. La montée en approche est plus forte que la descente en éloignement.

Étape 3 : le saut de fréquence et sa lecture

Le saut audible au passage est la différence des deux fréquences perçues. Il vaut 767,7 − 643,2 ≈ 124,5 Hz. Le rapport des deux fréquences vaut 767,7/643,2 ≈ 1,194. Exprimé en demi-tons tempérés, cet intervalle représente environ trois demi-tons.

Une vérification rapide protège contre les erreurs de signe. La fréquence en approche doit dépasser 700 Hz, celle en éloignement doit rester en dessous. Un résultat inférieur en approche signale une inversion du dénominateur. Cette relecture de cohérence vaut quelques points en copie.

Du mur du son aux applications

La limite supersonique et l'onde de choc

Regarde la formule f′ = f × c/(c − vₛ) quand vₛ tend vers c. Le dénominateur tend vers zéro et la fréquence reçue diverge. Cette divergence signale la fin du domaine de validité du modèle. Les fronts d'onde émis vers l'avant ne se resserrent plus, ils s'accumulent sur une même surface.

Pour vₛ supérieur à c, la source dépasse ses propres fronts. L'enveloppe des fronts devient un cône, appelé cône de Mach, dont le sommet suit la source. Son demi-angle au sommet θ vérifie une relation simple.

sin θ = c/vₛ = 1/M

Ici θ est le demi-angle du cône au sommet. La célérité c et la vitesse vₛ sont en mètres par seconde. Le nombre de Mach M = vₛ/c est sans dimension. Le passage du cône se traduit au sol par une variation brutale de pression, perçue comme une détonation.

Radar, cinémomètre et échographie Doppler

Un radar de vitesse émet une onde électromagnétique vers un véhicule, qui la renvoie. L'onde subit donc un décalage à l'aller et un autre au retour. Pour une vitesse faible devant c, le décalage total vaut Δf ≈ 2 f v/c, où le facteur 2 traduit ce double trajet.

Prends une bande radar de l'ordre de 24 GHz et un véhicule à 36 m/s. Le décalage attendu vaut environ 5,8 kHz. L'électronique mesure cette fréquence de battement. Si le véhicule n'est pas aligné sur la ligne de visée, seule la projection de sa vitesse est vue.

L'échographie Doppler applique le même principe aux ultrasons. Une sonde émet entre 2 et 10 MHz dans les tissus, où le son avance à près de 1 540 m/s. Les globules rouges renvoient une onde décalée de quelques kilohertz pour une vitesse sanguine de 1 m/s.

Vitesse des étoiles, des galaxies et loi de Hubble

En spectroscopie stellaire, la position des raies donne la vitesse radiale de l'astre. Cette méthode a permis de détecter des exoplanètes par le mouvement périodique de leur étoile hôte. Elle ne renseigne que sur la composante le long de la ligne de visée.

À l'échelle des galaxies, les décalages observés croissent en moyenne avec la distance.

v = H₀ × d

Dans cette loi, v est la vitesse de récession en kilomètres par seconde, d la distance en mégaparsecs et H₀ la constante de Hubble, exprimée en kilomètres par seconde et par mégaparsec. Cette relation d'observation a été établie autour de 1929 par Edwin Hubble, après des travaux de Georges Lemaître.

La valeur de H₀ fait l'objet d'un écart persistant entre méthodes. Les analyses du fond diffus cosmologique menées par la collaboration Planck de l'Agence spatiale européenne conduisent à des valeurs proches de 67 km/s/Mpc. Les mesures fondées sur l'échelle des distances locales, céphéides et supernovas, conduisent plutôt à des valeurs proches de 73 km/s/Mpc. Cet écart, souvent nommé tension de Hubble, restait discuté en 2026.

GPS et horloges embarquées

Les récepteurs de navigation par satellite exploitent aussi le décalage de la fréquence porteuse. Ce décalage renseigne sur la vitesse relative entre le satellite et le récepteur, ce qui aide au calcul de la vitesse de l'utilisateur. Il sert également à retrouver rapidement le signal d'un satellite.

Les horloges embarquées relèvent d'un effet voisin, du second ordre en v/c. Leur vitesse orbitale les ralentit, le potentiel gravitationnel plus faible les accélère. Le bilan net est corrigé dans la fréquence d'horloge elle-même. Ce point relève de la relativité, pas de l'effet Doppler classique.

Erreurs classiques et place au programme

Les confusions les plus fréquentes en colle

La première confusion consiste à croire que la célérité de l'onde change. Elle ne change pas, seule la longueur d'onde reçue varie. La deuxième consiste à appliquer une formule acoustique à la lumière. En optique, aucune distinction entre source mobile et observateur mobile n'a de sens.

La troisième porte sur l'instant considéré. La fréquence perçue dépend de la projection de la vitesse sur la ligne de visée à l'instant de l'émission. Au moment exact où le véhicule passe à ton niveau, cette projection s'annule. Tu entends alors la fréquence propre, brièvement.

Les fautes de calcul en copie

Les erreurs de signe dominent. Fixe un axe orienté, écris les projections, puis applique la formule générale sans essayer de deviner le signe du résultat. Vérifie ensuite que l'approche donne bien une fréquence plus élevée. Cette relecture prend dix secondes.

Deux autres fautes reviennent souvent. La première consiste à oublier le facteur 2 dans un dispositif à réflexion, comme un radar ou une sonde d'échographie. La seconde consiste à confondre décalage absolu Δf, en hertz, et décalage relatif Δf/f, sans dimension. Note toujours l'unité à côté du résultat.

Le cadre du programme et les concours

L'effet Doppler apparaît dès le lycée, dans la partie ondes et signaux de la spécialité physique-chimie de terminale générale, essentiellement comme outil de mesure de vitesse. En classe préparatoire scientifique, il se rattache aux chapitres consacrés à la propagation d'un signal et aux ondes. Les programmes des CPGE scientifiques en vigueur ont été fixés par arrêté et publiés au Bulletin officiel spécial n°1 du 11 février 2021.

Le détail exigible sur le cas relativiste n'est pas le même en MPSI, en PCSI, en PTSI ou en BCPST. Consulte le programme officiel de ta filière sur le site du ministère.

Aux concours, la notion revient surtout sous forme d'application. On attend une démonstration courte par les fronts d'onde, un calcul numérique, puis une discussion physique. Les énoncés de type radar, échographie ou spectroscopie stellaire reviennent dans les banques d'épreuves.