Formules de trigonométrie : le cours complet, du cercle aux formules d'addition
Les formules de trigonométrie forment un socle que l'on retrouve partout : en analyse pour dériver et intégrer, en géométrie pour mesurer angles et distances, en physique pour décrire toute oscillation.
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Les formules de trigonométrie forment un socle que l'on retrouve partout : en analyse pour dériver et intégrer, en géométrie pour mesurer angles et distances, en physique pour décrire toute oscillation. Elles paraissent nombreuses, mais elles se déduisent presque toutes d'une seule figure — le cercle trigonométrique — et d'une poignée de relations fondamentales. Comprendre cette architecture, plutôt que réciter une liste, change tout : on retrouve une formule oubliée en quelques secondes au lieu de la chercher en vain.
Le sinus, le cosinus et la tangente ne sont pas des symboles arbitraires : ce sont des coordonnées lues sur un cercle de rayon 1. À partir de cette lecture, les valeurs remarquables, l'identité cos²x + sin²x = 1, les angles associés, les formules d'addition et de duplication s'enchaînent naturellement. Voici l'ensemble organisé pas à pas, avec tableaux, méthode et pièges à éviter, pour transformer la trigonométrie en un réflexe sûr, du lycée à la prépa.
Le cercle trigonométrique : la clé de toute la trigonométrie
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé. On y enroule la droite des réels : à chaque réel x, on associe un point M obtenu en parcourant, sur le cercle, un arc de longueur x à partir du point (1 ; 0), dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre) si x est positif.
Le cosinus de x est alors l'abscisse du point M, et son sinus est son ordonnée. Autrement dit, le point M a pour coordonnées (cos x ; sin x). Cette définition géométrique est bien plus générale que celle du triangle rectangle : elle donne un sens au sinus et au cosinus de n'importe quel réel, y compris négatif ou supérieur à 2π.
M(x) a pour coordonnées (cos x ; sin x) sur le cercle de rayon 1
Comme un tour complet mesure 2π, ajouter 2π à l'angle ramène au même point : le sinus et le cosinus sont périodiques de période 2π. On a donc cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x pour tout réel x. C'est cette périodicité qui permet de toujours se ramener à un angle compris entre 0 et 2π, voire entre 0 et π/2 grâce aux angles associés.
La tangente, troisième fonction fondamentale
La tangente de x est le quotient du sinus par le cosinus, lorsque celui-ci n'est pas nul.
tan x = sin x / cos x (défini pour cos x ≠ 0)
Géométriquement, tan x se lit sur la tangente au cercle menée au point (1 ; 0) : c'est l'ordonnée du point d'intersection de cette droite verticale avec la droite (OM) prolongée. La tangente n'est pas définie lorsque cos x = 0, c'est-à-dire pour x = π/2 + kπ (k entier), car on diviserait alors par zéro. Elle est de plus périodique de période π, et non 2π : tan(x + π) = tan x.
La relation fondamentale : cos²x + sin²x = 1
Puisque le point M(cos x ; sin x) est situé sur le cercle de rayon 1, la distance OM vaut 1. Le théorème de Pythagore appliqué à cette distance donne immédiatement la relation fondamentale de la trigonométrie, vraie pour tout réel x.
cos²x + sin²x = 1
Cette égalité est l'outil de calcul le plus utilisé de toute la trigonométrie. Elle permet de passer du sinus au cosinus (au signe près) : si l'on connaît sin x, on obtient cos x = ±√(1 − sin²x), le signe étant fixé par le quadrant où se trouve l'angle. Elle sert aussi à simplifier des expressions et à démontrer d'autres identités.
En divisant les deux membres par cos²x, on obtient une variante utile faisant intervenir la tangente : 1 + tan²x = 1/cos²x, valable pour cos x ≠ 0. On retiendra donc deux formes complémentaires de la même idée.
cos²x + sin²x = 1 et 1 + tan²x = 1 / cos²x
Le réflexe cos² + sin² = 1 Dès qu'une expression mêle des carrés de sinus et de cosinus, pensez à cette relation : elle permet presque toujours de remplacer sin²x par 1 − cos²x (ou l'inverse) pour n'avoir plus qu'une seule fonction, et de simplifier. C'est le premier geste à tenter face à une équation trigonométrique. |
Les valeurs remarquables : 0, π/6, π/4, π/3, π/2
Cinq angles reviennent sans cesse et doivent être connus par cœur : 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°) et π/2 (90°). Leurs sinus et cosinus se lisent directement sur le cercle et forment le tableau le plus important du cours.
Angle x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
Degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
tan x | 0 | √3/3 | 1 | √3 | non défini |
Tableau des valeurs remarquables : à mémoriser absolument, elles servent dans tous les exercices.
Une astuce de mémorisation élégante consiste à écrire les sinus sous la forme √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 pour les angles 0, π/6, π/4, π/3, π/2 : le numérateur sous la racine croît simplement de 0 à 4. Les cosinus suivent la même liste en sens inverse. Comme √0/2 = 0, √1/2 = 1/2 et √4/2 = 1, tout le tableau se reconstruit de tête à partir de cette régularité.
On remarque aussi la symétrie autour de π/4 : cos et sin y sont égaux (√2/2), et de part et d'autre, les valeurs de l'un sont les valeurs de l'autre. C'est la traduction de la relation sin x = cos(π/2 − x), sur laquelle nous reviendrons avec les angles associés.
Les angles associés : exploiter les symétries du cercle
Les angles associés relient le sinus et le cosinus d'un angle à ceux d'un angle proche (son opposé, son supplémentaire, son complémentaire…). Ce sont des conséquences directes des symétries du cercle, et elles permettent de ramener n'importe quel calcul aux cinq valeurs remarquables.
Angle opposé (−x) : la symétrie par rapport à l'axe des abscisses
cos(−x) = cos x sin(−x) = −sin x tan(−x) = −tan x
Le point associé à −x est le symétrique de M(x) par rapport à l'axe horizontal : l'abscisse (le cosinus) est conservée, l'ordonnée (le sinus) change de signe. On dit que le cosinus est une fonction paire et le sinus une fonction impaire.
Angles supplémentaires (π − x) : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
cos(π − x) = −cos x sin(π − x) = sin x
Le point associé à π − x est le symétrique de M(x) par rapport à l'axe vertical : le sinus est conservé, le cosinus change de signe. C'est la formule qui explique par exemple que sin(150°) = sin(30°) = 1/2.
Angles complémentaires (π/2 − x) : le sinus et le cosinus s'échangent
cos(π/2 − x) = sin x sin(π/2 − x) = cos x
Cette relation traduit la symétrie par rapport à la première bissectrice : elle échange les rôles du sinus et du cosinus. C'est elle qui justifie la symétrie du tableau des valeurs remarquables autour de π/4.
Angles décalés de π (x + π) : symétrie par rapport à l'origine
cos(x + π) = −cos x sin(x + π) = −sin x tan(x + π) = tan x
Le point associé à x + π est le symétrique de M(x) par rapport au centre : les deux coordonnées changent de signe. La tangente, elle, retrouve sa valeur, ce qui confirme sa période π.
Angle associé | cos | sin |
−x | cos x | −sin x |
π − x | −cos x | sin x |
π + x | −cos x | −sin x |
π/2 − x | sin x | cos x |
π/2 + x | −sin x | cos x |
Les angles associés en un coup d'œil : chacun correspond à une symétrie du cercle trigonométrique.
Comment retrouver un angle associé sans se tromper Plutôt que d'apprendre ces lignes par cœur, faites un petit dessin : placez M(x) dans le premier quadrant, tracez le symétrique demandé, et lisez les nouvelles coordonnées. Le signe et l'échange éventuel de sin/cos apparaissent alors immédiatement. En trente secondes, on reconstruit toute la table sans risque d'erreur de signe. |
Les formules d'addition
Les formules d'addition donnent le sinus et le cosinus d'une somme ou d'une différence d'angles. Ce sont les formules « mères » : la duplication, les angles associés et bien d'autres résultats s'en déduisent. Elles méritent donc d'être solidement mémorisées.
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
Deux pièges de signe reviennent souvent. Pour le cosinus, le signe du second membre est opposé à celui de l'angle (cos d'une somme donne un « moins »). Pour le sinus, le signe est identique à celui de l'angle. Une phrase mnémotechnique aide : « le cosinus se méfie et change de signe, le sinus reste fidèle ».
On dispose aussi d'une formule d'addition pour la tangente, obtenue en divisant les deux relations précédentes.
tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 − tan a tan b)
Exemple d'application. Pour calculer cos(π/12), on écrit π/12 = π/3 − π/4 et l'on applique la formule de différence : cos(π/3 − π/4) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4) = (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = (√2 + √6)/4. On obtient ainsi une valeur exacte d'un angle qui ne figure pas dans le tableau, en le décomposant en angles remarquables.
Les formules de duplication
Les formules de duplication (ou de l'angle double) s'obtiennent en posant b = a dans les formules d'addition. Elles expriment le sinus et le cosinus de 2a en fonction de ceux de a.
sin(2a) = 2 sin a cos a
cos(2a) = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a
Le cosinus de l'angle double possède trois écritures équivalentes, obtenues en remplaçant, grâce à cos²a + sin²a = 1, l'une des fonctions par l'autre. Ce sont des variantes précieuses : selon le contexte, on choisit celle qui ne fait apparaître que le cosinus ou que le sinus.
En renversant les deux dernières écritures, on obtient les formules de linéarisation, indispensables pour intégrer cos²x ou sin²x.
cos²a = (1 + cos 2a) / 2 sin²a = (1 − cos 2a) / 2
Enfin, la tangente de l'angle double se déduit elle aussi : tan(2a) = 2 tan a / (1 − tan²a). Toutes ces relations proviennent en droite ligne des formules d'addition ; les mémoriser séparément est inutile si l'on sait les redémontrer en une ligne.
De l'addition à tout le reste Retenez d'abord les quatre formules d'addition (cos et sin de a ± b). La duplication en découle en faisant b = a ; la linéarisation en découle en isolant cos²a et sin²a ; les angles associés en découlent en remplaçant b par 0, π/2 ou π. Une seule famille bien maîtrisée engendre presque toute la trigonométrie. |
Résoudre une équation trigonométrique simple
Résoudre une équation trigonométrique, c'est trouver tous les réels x satisfaisant une égalité du type cos x = a ou sin x = a. Comme le sinus et le cosinus sont périodiques, il y a en général une infinité de solutions, décrites à l'aide d'un entier k.
Équations du type cos x = cos α
cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ (k ∈ ℤ)
Les deux familles correspondent aux deux points du cercle ayant la même abscisse : α et son opposé −α. Par exemple, cos x = 1/2 équivaut à cos x = cos(π/3), donc x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ.
Équations du type sin x = sin α
sin x = sin α ⇔ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ (k ∈ ℤ)
Ici, les deux points du cercle ont la même ordonnée : α et son supplémentaire π − α. Par exemple, sin x = √2/2 équivaut à sin x = sin(π/4), donc x = π/4 + 2kπ ou x = 3π/4 + 2kπ.
Méthode générale. On ramène d'abord l'équation à la forme cos x = cos α ou sin x = sin α en reconnaissant la valeur remarquable ; on écrit ensuite les deux familles de solutions ; enfin, si l'énoncé impose un intervalle (par exemple x ∈ [0 ; 2π[), on choisit les valeurs de k qui y placent les solutions. Pour une équation mêlant sinus et cosinus, on tente d'abord de tout exprimer avec une seule fonction grâce à cos²x + sin²x = 1.
Exemple complet. Résolvons 2cos²x − cos x − 1 = 0 sur [0 ; 2π[. En posant t = cos x, on résout 2t² − t − 1 = 0, dont les racines sont t = 1 et t = −1/2. Donc cos x = 1, ce qui donne x = 0, ou cos x = −1/2 = cos(2π/3), ce qui donne x = 2π/3 ou x = 4π/3. Les solutions dans l'intervalle sont donc {0 ; 2π/3 ; 4π/3}.
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Avant le cercle, la trigonométrie se découvre dans le triangle rectangle, et cette approche reste utile en géométrie. Pour un angle aigu, on définit ses lignes trigonométriques à partir des côtés.
cos = adjacent / hypoténuse sin = opposé / hypoténuse tan = opposé / adjacent
Le moyen mnémotechnique bien connu « CAH-SOH-TOA » résume ces trois quotients : Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Sinus = Opposé/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent. Cette définition coïncide avec celle du cercle pour les angles compris entre 0 et π/2, mais le cercle a l'avantage de s'étendre à tous les réels.
Deux visions, une seule trigonométrie Le triangle rectangle donne une intuition concrète (des rapports de longueurs), le cercle trigonométrique donne la généralité (des coordonnées valables pour tout angle). Les deux points de vue sont cohérents : pour un angle aigu, ils fournissent exactement les mêmes valeurs. En prépa, c'est la vision « cercle » qui domine. |
Méthode : quelle formule utiliser et quand ?
Repérer la nature du problème : calcul d'une valeur exacte, simplification d'expression, résolution d'équation, ou étude de fonction (dérivée, intégrale).
Pour une valeur exacte d'angle non remarquable, décomposer l'angle en somme ou différence d'angles remarquables et appliquer les formules d'addition (exemple : π/12 = π/3 − π/4).
Pour simplifier une expression avec des carrés, dégainer cos²x + sin²x = 1 afin de n'avoir plus qu'une seule fonction.
Pour linéariser (intégrer cos²x, sin²x, ou des produits), utiliser les formules de duplication et de linéarisation.
Pour résoudre cos x = a ou sin x = a, reconnaître la valeur remarquable, écrire les deux familles de solutions, puis filtrer selon l'intervalle demandé.
En cas de doute sur un signe ou un angle associé, faire un croquis du cercle : il tranche instantanément.
Erreurs classiques à éviter
Confondre les signes dans les formules d'addition : le cosinus « change de signe » (cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b), le sinus « garde le signe ». C'est la faute la plus fréquente.
Oublier le « ± » lorsqu'on tire cos x de sin x via cos²x + sin²x = 1 : il faut déterminer le signe par le quadrant de l'angle.
Écrire cos²x + sin²x = 1 comme si (cos x + sin x)² valait 1 : ce sont bien les carrés qui s'ajoutent, pas la somme au carré.
Ne donner qu'une seule famille de solutions à une équation : une équation trigonométrique en admet généralement deux familles (à cause des deux points du cercle) plus la périodicité en 2kπ.
Confondre les périodes : sinus et cosinus ont pour période 2π, mais la tangente a pour période π.
Travailler en degrés quand l'énoncé (et les dérivées) supposent des radians : en analyse, on raisonne toujours en radians.
Conclusion
Les formules de trigonométrie ne sont pas une liste à ingurgiter mais une structure à comprendre. Tout part du cercle de rayon 1, où cosinus et sinus se lisent comme des coordonnées. De cette figure découlent la relation fondamentale cos²x + sin²x = 1, les cinq valeurs remarquables, les angles associés et les formules d'addition — d'où l'on tire à son tour la duplication et la linéarisation.
En gardant à l'esprit cette architecture, on cesse de « réciter » la trigonométrie pour la reconstruire à volonté : un croquis du cercle règle les questions de signe, une décomposition en angles remarquables donne les valeurs exactes, et la relation fondamentale débloque les simplifications. C'est ce réflexe, plus que la mémoire brute, qui fait la différence du lycée jusqu'aux concours.
