Modèle de Solow : explication simple, graphique et usage en dissertation

Le modèle de Solow en une phrase

L'accumulation du capital ne peut pas entretenir à elle seule une croissance durable du niveau de vie : à cause des rendements décroissants, l'économie converge vers un état stationnaire, et seul le progrès technique, supposé extérieur au modèle, permet au revenu par tête de croître à long terme.

Solow et Swan, 1956 : d'où vient le modèle

Le modèle porte souvent le double nom de Solow-Swan, car deux économistes l'ont formulé indépendamment la même année :

• Robert Solow, économiste américain du MIT, publie « A Contribution to the Theory of Economic Growth » dans le Quarterly Journal of Economics en février 1956 ;

• Trevor Swan, économiste australien, publie « Economic Growth and Capital Accumulation » dans l'Economic Record en novembre 1956.

Solow reçoit en 1987 le prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel, pour ses contributions à la théorie de la croissance économique. Il est mort en décembre 2023.

Solow répond au modèle de Roy Harrod (« An Essay in Dynamic Theory », 1939) et d'Evsey Domar (« Capital Expansion, Rate of Growth, and Employment », 1946), où les facteurs sont combinés en proportions fixes : la croissance équilibrée de plein emploi y est « sur le fil du rasoir ». Solow lève cette rigidité : avec des facteurs substituables, l'économie revient d'elle-même vers une trajectoire de croissance équilibrée.

Les hypothèses du modèle de Solow

Le cadre est celui d'une économie fermée, sans État, en plein emploi, où l'épargne égale l'investissement : c'est un modèle d'offre, sans problème de débouchés.

La fonction de production la plus utilisée pour l'illustrer est la Cobb-Douglas, du nom de Charles Cobb et Paul Douglas (« A Theory of Production », 1928) : Y = K^α × L^(1−α), avec α compris entre 0 et 1 (la part du capital dans le revenu, souvent prise autour de 1/3). Les rendements d'échelle étant constants, on divise tout par L. En notant k = K/L le capital par travailleur et y = Y/L la production par travailleur, on obtient y = f(k) = k^α. Comme α est inférieur à 1, la courbe est croissante mais de plus en plus plate : c'est la traduction graphique des rendements décroissants.

L'équation fondamentale du modèle de Solow

Tout le modèle tient dans une équation d'accumulation du capital par travailleur :

• Δk = s·f(k) − (n + δ)·k

Lis-la comme un bilan :

• s·f(k) est l'investissement par travailleur : la part s du revenu épargnée, donc investie ;

• (n + δ)·k est l'investissement de maintien, celui qu'il faut pour garder k constant : remplacer le capital usé (δ·k) et équiper les nouveaux travailleurs (n·k).

Si l'investissement dépasse l'investissement de maintien, k augmente ; s'il est inférieur, k diminue. L'équation découle de l'accumulation du stock de capital (ΔK = s·Y − δ·K), dont on retranche la croissance de la population.

L'état stationnaire et le graphique de Solow

Le graphique décrit en mots

En abscisse, le capital par travailleur k ; en ordonnée, des grandeurs par travailleur. On y place trois courbes :

1. La courbe f(k), production par travailleur : elle part de l'origine, monte vite puis s'aplatit.

2. La courbe s·f(k), investissement par travailleur : même forme, mais plus basse, puisqu'elle ne représente qu'une fraction s de la production.

3. La droite (n + δ)·k, investissement de maintien : elle part de l'origine, avec une pente n + δ.

La courbe s·f(k) commence au-dessus de la droite, puis la droite finit par la dépasser, puisque la courbe s'aplatit. Le point d'intersection donne le capital par travailleur d'état stationnaire, noté k* (on lit « k étoile »). À la verticale de k*, on lit la production par travailleur y* sur f(k), l'investissement sur s·f(k), et la consommation par travailleur, qui est l'écart vertical entre les deux courbes.

Pourquoi l'économie converge vers l'état stationnaire

À gauche de k*, l'investissement dépasse l'investissement de maintien, donc k augmente ; à droite, c'est l'inverse. Quelle que soit la situation de départ, l'économie converge vers k* : l'état stationnaire est stable. Et la croissance est d'autant plus rapide que l'économie en est loin, ce qui fonde l'idée de convergence.

À l'état stationnaire, k et y sont constants : la production par travailleur ne croît plus, et la production totale Y croît au même rythme que la population, n. Le niveau de vie stagne.

La formule et un exemple chiffré

Avec la Cobb-Douglas, on pose Δk = 0, donc s·(k*)^α = (n + δ)·k*, ce qui donne :

• k* = (s / (n + δ))^(1 / (1−α))

• y* = (s / (n + δ))^(α / (1−α))

Prends α = 1/3, s = 0,2, n = 0,01 et δ = 0,04. Alors s / (n + δ) = 4, k* = 4^1,5 = 8, y* = 8^(1/3) = 2 et la consommation par travailleur vaut 0,8 × 2 = 1,6. Vérification : l'investissement (0,2 × 2 = 0,4) égale bien l'investissement de maintien (0,05 × 8 = 0,4).

L'effet d'une hausse de l'épargne

Si le taux d'épargne augmente, la courbe s·f(k) se déplace vers le haut. Au niveau initial k*, l'investissement dépasse désormais l'investissement de maintien : k augmente jusqu'au nouveau point d'intersection, plus à droite, et la production par travailleur atteint un niveau plus élevé.

La croissance du revenu par tête accélère pendant la transition, puis retombe à zéro (ou au rythme du progrès technique) au nouvel état stationnaire. Une hausse de l'épargne a donc un effet de niveau, pas un effet de taux de long terme.

Dans l'exemple, faire passer s de 0,2 à 0,3 porte y* de 2 à environ 2,45 : une hausse d'environ 22 % pour une épargne augmentée de moitié. Avec α = 1/3, l'élasticité du revenu d'état stationnaire au taux d'épargne vaut α / (1−α) = 0,5. L'effet existe, mais il est limité : c'est un argument précieux contre l'idée que l'accumulation forcée suffirait à rattraper les pays riches.

La règle d'or de l'accumulation

Faut-il alors épargner le plus possible ? Non. Edmund Phelps répond à cette question dans « The Golden Rule of Accumulation: A Fable for Growthmen », publié dans l'American Economic Review en septembre 1961. Ce qui compte pour le bien-être, ce n'est pas la production mais la consommation.

À l'état stationnaire, la consommation par travailleur vaut f(k*) − (n + δ)·k*. Elle est maximale quand f′(k) = n + δ : la productivité marginale du capital égale la somme du taux de croissance de la population et du taux de dépréciation. Avec une Cobb-Douglas, cela revient à un taux d'épargne égal à la part du capital : s = α.

Sur l'exemple, la consommation par travailleur vaut environ 1,60 pour s = 0,2, 1,71 pour s = 0,3, 1,72 pour s = 1/3 (son maximum), puis retombe à 1,58 pour s = 0,5. Au-delà de la règle d'or, l'économie épargne trop : en réduisant l'épargne, elle consommerait davantage tout de suite et à long terme. On parle d'inefficience dynamique. En deçà, consommer plus à long terme impose un sacrifice pendant la transition : c'est un arbitrage entre générations.

Progrès technique et résidu de Solow

Le progrès technique dans le modèle

Pour rendre compte de la croissance durable du revenu par tête, Solow introduit un progrès technique exogène. Dans la présentation la plus courante, l'efficacité du travail A croît au taux g et la production s'écrit Y = F(K, A·L). On raisonne par unité de travail efficace (k désigne alors K / (A·L)) et l'équation devient :

• Δk = s·f(k) − (n + g + δ)·k

À l'état stationnaire, la production par travailleur croît au taux g et la production totale au taux n + g : c'est le sentier de croissance équilibrée. Le moteur de la hausse du niveau de vie à long terme est le progrès technique, et lui seul.

Solow, 1957 : la comptabilité de la croissance

Dans « Technical Change and the Aggregate Production Function » (Review of Economics and Statistics, 1957), Solow propose de mesurer ce rôle en décomposant la croissance :

• taux de croissance de Y = α × croissance de K + (1−α) × croissance de L + résidu.

Le résidu, part de la croissance expliquée ni par le capital ni par le travail, est appelé résidu de Solow, ou productivité globale des facteurs (PGF). Pour le secteur privé non agricole américain entre 1909 et 1949, Solow trouve que la production par heure de travail a environ doublé, et que 87,5 % de cette hausse vient du progrès technique, contre 12,5 % pour l'augmentation du capital par heure travaillée. Moses Abramovitz, qui avait obtenu dès 1956 un résultat proche, qualifie ce résidu de « mesure de notre ignorance ».

L'argument est à double tranchant : la croissance vient surtout de l'efficacité, mais le modèle range l'essentiel de la croissance dans un résidu qu'il n'explique pas.

Deux prolongements appréciés des correcteurs :

• Le débat sur les « dragons » asiatiques : Paul Krugman (« The Myth of Asia's Miracle », Foreign Affairs, 1994), s'appuyant notamment sur les travaux d'Alwyn Young, soutient que leur croissance reposait surtout sur l'accumulation des facteurs, avec une faible PGF, ce qui annonçait, dans la logique du modèle de Solow, un ralentissement.

• Le « paradoxe de Solow » : en 1987, dans une recension publiée par le New York Times, Solow écrit qu'on voit l'ère de l'ordinateur partout, sauf dans les statistiques de productivité.

La convergence : absolue ou conditionnelle

Puisqu'une économie croît d'autant plus vite qu'elle est loin de son état stationnaire, le modèle prédit un rattrapage, avec une nuance essentielle :

• Convergence absolue : tous les pays convergeraient vers le même revenu par tête, ce qui suppose les mêmes paramètres (épargne, démographie, technologie). Les données mondiales ne la confirment pas.

• Convergence conditionnelle : chaque pays converge vers son propre état stationnaire. Un pays pauvre ne croît plus vite qu'un pays riche que s'ils ont des caractéristiques comparables. Elle est beaucoup mieux vérifiée.

N. Gregory Mankiw, David Romer et David Weil testent le modèle dans « A Contribution to the Empirics of Economic Growth » (Quarterly Journal of Economics, mai 1992). Un modèle de Solow « augmenté », qui ajoute l'accumulation de capital humain à celle du capital physique, décrit très bien les écarts de revenu par tête entre pays : selon la version de travail diffusée par le NBER en 1990, il en explique environ 80 %. À épargne et croissance démographique données, les pays convergent à peu près au rythme prédit.

Les limites du modèle de Solow

Ces limites ouvrent sur les théories de la croissance endogène, qui cherchent à expliquer le progrès technique au lieu de le supposer : Paul Romer (« Increasing Returns and Long-Run Growth », 1986, et « Endogenous Technological Change », 1990) et Robert Lucas (« On the Mechanics of Economic Development », 1988) mettent en avant les connaissances, la recherche et le capital humain. En dissertation, la transition est naturelle : Solow montre que le progrès technique est décisif, la croissance endogène cherche d'où il vient. Solow en est le point de départ, pas l'adversaire.

Comment utiliser le modèle de Solow en dissertation

Les sujets où il est attendu

Le modèle relève du module 2 de première année du programme d'ESH, « Croissance et développement ». Il est utile sur des sujets du type :

• « Peut-on croître indéfiniment ? » ;

• « L'épargne est-elle favorable à la croissance ? » ;

• « Le progrès technique est-il le moteur de la croissance ? » ;

• « Les pays pauvres sont-ils condamnés à le rester ? » ;

• « Démographie et croissance économique ».

Où le placer dans ton plan

• En première partie, souvent : pour montrer le rôle de l'accumulation du capital, puis sa limite (rendements décroissants, état stationnaire).

• Comme transition : le résidu de Solow est la charnière idéale entre une croissance extensive, par les facteurs, et une croissance intensive, par l'efficacité.

• En fin de devoir, pour discuter de la convergence et des politiques de développement, avec Mankiw, Romer et Weil.

Ne récite pas la fiche : choisis l'élément utile à ton argument (l'état stationnaire, l'effet de l'épargne, la règle d'or ou le résidu), et relie-le à des faits vérifiés dans ton cours, comme le rattrapage européen des Trente Glorieuses ou le ralentissement de la productivité depuis les années 1970.

Soigner le graphique

Un graphique sobre est apprécié : axes nommés (k en abscisse), courbes nommées (f(k), s·f(k), (n + δ)·k), état stationnaire repéré, et une ou deux phrases d'interprétation juste en dessous. Pour voir ce que les jurys attendent, lis les rapports d'ESH publiés par la BCE.

Les erreurs à éviter

1. Dire que l'épargne augmente le taux de croissance à long terme. Elle augmente le niveau du revenu par tête, pas son taux de croissance.

2. Confondre production totale et production par tête. À l'état stationnaire sans progrès technique, Y croît au taux n, mais y est constant.

3. Oublier les rendements décroissants. Sans eux, pas d'état stationnaire.

4. Faire de la croissance endogène une réfutation totale. Elle prolonge Solow en expliquant ce qu'il laissait exogène.

5. Se tromper de dates. Solow et Swan 1956, résidu 1957, règle d'or 1961, Mankiw-Romer-Weil 1992.