Sujet maths approfondies EDHEC 2026 : décryptage

Structure générale et niveau du sujet 2026

Format et durée de l'épreuve

Le sujet maths approfondies EDHEC dure 4 heures (14h-18h). Aucune calculatrice ni matériel électronique autorisés, seule la règle graduée est admise. Le sujet 2026 reprend la structure habituelle EDHEC : 3 exercices indépendants en première moitié, un problème final qui constitue la pièce maîtresse. La note de présentation et de rédaction est explicitement valorisée par le jury.

Niveau global et originalité du sujet

Le sujet 2026 est jugé difficile à très difficile par les premiers retours d'élèves. L'exercice 1 sur les variables aléatoires liées au produit X_1 X_2 demande de la maîtrise des changements de variables et des densités. L'exercice 2 sur la suite (v_n) avec accélération de Richardson est conceptuellement riche et fait appel à des développements limités fins. L'exercice 3 sur le mobile aléatoire est plus calculatoire mais long. Le problème final sur les matrices symétriques positives est exigeant car il combine algèbre, analyse spectrale et raisonnement par l'absurde.

Stratégie de gestion du temps

Indication EDHEC : exercice 1 environ 25 % de la note, exercice 2 environ 25 %, exercice 3 environ 20 %, problème environ 30 %. Pour une copie complète : 50-60 minutes par exercice (2h30 au total), puis 1h30 sur le problème. Garde absolument 15 minutes de relecture en fin d'épreuve. Les meilleurs candidats consacrent 35-40 minutes à chacun des 2 premiers exercices et concentrent leurs efforts sur l'exercice 3 et le problème.

Exercice 1 : variables aléatoires, produit et logarithme

Énoncé synthétique

On considère X_1 et X_2 indépendantes, de loi uniforme sur ]0, 1]. On pose Y_i = ln(X_i) et Z = X_1 X_2. L'exercice demande : écrire en Python une fonction simulZ qui simule Z, justifier l'existence de E(Z) et V(Z), donner la fonction de répartition F commune à Y_1 et Y_2, en déduire une densité f de Y_i. Vérifier que h(x) = -x e^x si x ≤ 0 et h(x) = 0 sinon est une densité de Y_1 + Y_2. En déduire la fonction de répartition de Z, vérifier que f_Z(x) = -ln(x) si 0 < x ≤ 1 est une densité. Calculer E(Z) et V(Z) par cette voie.

Concepts mobilisés

• Loi uniforme continue, densité, fonction de répartition

• Transformation Y = ln(X), changement de variable monotone

• Somme de variables aléatoires indépendantes : convolution

• Densité du produit Z = X_1 X_2 via Z = e^(Y_1+Y_2)

• Existence d'espérance et variance via convergence d'intégrales

• Simulation Python d'une variable aléatoire

Pièges et points de vigilance

Le piège classique sur la question 1 (simulZ) est d'oublier de simuler les deux variables avec rd.random() et de prendre leur produit. Le code attendu est court : 4 ou 5 lignes maximum. Sur la question 2 (existence de E(Z) et V(Z)), il faut absolument justifier la convergence des intégrales correspondantes, pas seulement les calculer. Sur la question 4 (densité de Y_1 + Y_2), l'approche par convolution doit être rigoureuse : intégrer h sur ]-∞, 0] et vérifier que l'intégrale vaut bien 1.

Niveau et points possibles

Exercice exigeant techniquement. Une copie qui boucle proprement les questions 1 à 3 vaut 11 ou 12. Pour atteindre 16 ou 17, il faut avoir traité avec rigueur les questions 4 et 5 (densité de la somme et du produit). Les calculs d'intégrales (intégration par parties pour h, changement de variable pour f_Z) sont décisifs.

Exercice 2 : suites, accélération de Richardson et limite π

Énoncé synthétique

On considère deux suites (u_n) et (v_n) telles que u_1 = 0, v_1 = 2, et pour tout n ≥ 1 : u_{n+1} = √((1 + u_n)/2) et v_{n+1} = v_n / u_{n+1}. La question 2 demande de compléter une fonction Python suite_v(n). La question 3 montre l'existence d'une suite (α_n) à valeurs dans [0, π/2] telle que u_n = cos(α_n), avec α_{n+1} = α_n / 2, donc α_n = π / 2^n et v_n = 2^n sin(π / 2^n). Limite : v_n tend vers π. Question 4 : équivalent en a + b/4^n + c/16^n. Question 5 : accélération de Richardson w_n = (4 v_{n+1} - v_n) / 3. Question 6 : généralisation.

Concepts mobilisés

• Suites récurrentes croisées (u_n et v_n)

• Théorème de récurrence par construction d'une suite auxiliaire

• Trigonométrie : cos(2a) = 2cos²(a) - 1, sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

• Développement limité de sin x à l'ordre 5

• Accélération de convergence (méthode de Richardson)

• Équivalents asymptotiques fins

• Calcul d'une approximation de π

Pièges et points de vigilance

L'exercice est très astucieux. La question 3 demande de prouver par récurrence l'existence de (α_n), ce qui n'est pas évident pour tous. La formule cos(α_n / 2) = √((1 + cos(α_n))/2) (formule de demi-angle) est la clé. Sur la question 5 (accélération de Richardson), il faut comprendre que w_n converge plus vite que v_n vers π, ce qui se vérifie en utilisant l'équivalent obtenu en question 4. La question 6 (généralisation à des suites de la forme x_n = a + b q^n + c r^n avec q > r) demande un raisonnement abstrait.

Niveau et points possibles

Exercice difficile. Une copie qui traite jusqu'à la question 3 vaut 10 ou 11. Aller jusqu'à la question 4 (équivalent) vaut 13 ou 14. Atteindre la question 5 (Richardson) et conclure proprement met la note autour de 17. Très peu d'étudiants vont au bout de la généralisation à la question 6.

Exercice 3 : marche aléatoire et estimation de θ

Énoncé synthétique

Partie 1 : un mobile se déplace aléatoirement sur un axe avec X_0 = 0. À chaque instant k ≥ 1, il choisit équiprobablement parmi 0, 1, ..., k. On note X_k l'abscisse à l'instant k. La loi de X_k est demandée, ainsi que E(X_k) et V(X_k). On définit Y comme le rang du premier retour à l'origine (Y = 0 sinon). On démontre P(Y = n) = 1/n - 1/(n+1) pour n ≥ 1 et la valeur de P(Y = 0). Partie 2 : on considère U_n uniforme sur [0, n-1] et Z_n géométrique de paramètre 1 - k/n conditionnellement à U_n = k. Calculer E(Z_n) sous la forme Σ 1/k pour k de 1 à n-1. En déduire un équivalent.

Concepts mobilisés

• Marche aléatoire sur les entiers

• Probabilités conditionnelles et indépendance

• Loi géométrique et son espérance

• Espérance totale (formule conditionnelle)

• Série harmonique et équivalent ln(n) + γ

• Encadrement par intégrales pour les sommes

Pièges et points de vigilance

Sur la partie 1, le calcul de P(Y = n) requiert un raisonnement fin : Y = n signifie que X_1 ≠ 0, X_2 ≠ 0, ..., X_{n-1} ≠ 0 et X_n = 0. La probabilité conditionnelle pour chaque étape donne une formule produit qui se télescope. Sur la partie 2, l'équivalent E(Z_n) ~ ln(n) découle de la divergence de la série harmonique. L'encadrement 1/(k+1) ≤ ln(k+1) - ln(k) ≤ 1/k est l'outil-clé.

Niveau et points possibles

Exercice long mais accessible si l'on maîtrise les probabilités conditionnelles et l'encadrement de la série harmonique. Une copie qui traite la partie 1 complètement vaut 9 ou 10. Aller jusqu'à la partie 2 et conclure sur l'équivalent vaut 15 ou 16.

Problème final : matrices symétriques positives

Énoncé synthétique

Le problème étudie en 5 parties la notion de matrice symétrique positive (notée S_n^+(R)) et démontre l'existence et l'unicité d'une racine carrée. Partie 1 : caractérisation des matrices symétriques positives par la positivité de leurs valeurs propres. Une matrice A est dans S_n^+(R) si et seulement si toutes ses valeurs propres λ sont positives (λ ≥ 0). Partie 2 : construction de la racine carrée B = P Δ' P^T où Δ' est la matrice diagonale des √λ_i. Partie 3 : démonstration de l'unicité de B (par l'absurde, en supposant l'existence de C avec C² = A). Partie 4 : matrices définies positives, lien avec l'inversibilité (Sp(M) ⊂ ]0, +∞[ ⟺ M inversible et positive). Partie 5 : si S_2 - S_1 est positive avec S_1 définie positive, alors S_1^{-1} - S_2^{-1} est positive.

Concepts mobilisés

• Matrices symétriques réelles : diagonalisation en base orthonormée

• Théorème spectral

• Valeurs propres et vecteurs propres

• Matrice définie positive (forme quadratique x^T A x)

• Produit scalaire canonique sur R^n

• Endomorphisme symétrique stable sur un sous-espace propre

• Unicité par l'absurde et commutation

• Matrice inverse d'une matrice symétrique positive

Structure des 5 parties

Partie 1 (questions 1-3) : caractérisation. Démontrer par l'analyse des valeurs propres. Partie 2 (questions 4-6) : construction. Définir Δ et Δ' = diagonale des √λ. Vérifier que B = P Δ' P^T appartient à S_n^+(R) et vérifie B² = A. Partie 3 (questions 7-9) : unicité. Soit C symétrique positive avec C² = A. Démontrer que C et B commutent (Q. 7), donc C^k commute avec A^k pour tout k. Construire un polynôme en A égal à B (Q. 8). En déduire C = B (Q. 9). Partie 4 (questions 10-11) : matrices définies positives, M = N + I_n et caractère inversible. Partie 5 (question 11 finale) : la propriété concernant S_1, S_2.

Pièges et points de vigilance

Le problème est techniquement très exigeant. Sur la partie 1, le piège est de mélanger "positive" (valeurs propres ≥ 0) et "définie positive" (valeurs propres > 0). Maintenir cette distinction est essentiel. Sur la partie 3 (unicité), le raisonnement par l'absurde nécessite plusieurs étapes (commutation, sous-espace stable, induction sur les sous-espaces propres). C'est probablement la partie la plus difficile du problème. Sur la partie 5, le calcul direct de S_1^{-1} - S_2^{-1} par L = S_1^{-1/2} S_2 S_1^{-1/2} est astucieux et demande de maîtriser les manipulations algébriques.

Niveau et points possibles

Problème très exigeant, à la frontière du programme ECG appro. Une copie qui traite proprement les parties 1 et 2 vaut 9 ou 10. Aller jusqu'à la partie 3 (unicité) vaut 13 ou 14. Atteindre la partie 4 et la question 11 du final met la note autour de 17 ou 18. Statistiquement, moins de 2 % des candidats traitent intégralement le problème.

Stratégie de gestion du temps et conseils transversaux

Le timing recommandé

Première heure (14h-15h) : exercice 1, finir avant 15h05. Deuxième heure (15h-16h) : exercice 2 (le plus difficile des 3 exercices, à attaquer reposé). Troisième heure (16h-17h) : exercice 3 (souvent plus rapide à traiter pour la partie 1) puis attaquer le problème. Quatrième heure (17h-18h) : avancer dans le problème et garder 15 minutes de relecture.

La stratégie 'tout commencer'

Sur un sujet exigeant, la pire erreur est de bloquer 2 heures sur un exercice. Stratégie recommandée : avoir effleuré chaque question des 3 exercices et du problème dans la première moitié du temps, puis revenir compléter ce qui se traite le mieux. Une copie incomplète mais qui touche à 4 endroits vaut souvent plus qu'une copie qui traite parfaitement 1 ou 2 exercices.

La rédaction et la présentation

EDHEC valorise explicitement la présentation. Les copies bâclées plafonnent même quand elles sont mathématiquement justes. Conseils pratiques : encadrer chaque résultat final, sauter une ligne entre questions, séparer clairement raisonnements et calculs, écrire en bleu ou noir uniquement, expliciter chaque théorème de cours utilisé.

Que faire si l'on bloque sur une question ?

Trois options : 1) admettre le résultat et passer à la suivante (la plupart des questions sont indépendantes ou utilisables avec admission), 2) noter en marge "Question non traitée par manque de temps" et y revenir si possible, 3) écrire les étapes de raisonnement même sans aboutir (les correcteurs valorisent une analyse partielle juste). Ne jamais laisser une question complètement vide sans avoir tenté quelque chose.

Comparaison avec les sujets EDHEC 2024 et 2025 en option appro

EDHEC 2024 : optimisation et probabilités

Le sujet EDHEC 2024 maths approfondies comprenait 3 exercices et un problème d'optimisation sous contraintes (méthode de Lagrange) appliqué à un problème économique. Niveau jugé moyen-difficile. La barre d'admissibilité s'est établie autour de 11,5. Comparé à 2026, le sujet 2024 était plus calculatoire mais moins exigeant sur l'algèbre linéaire avancée.

EDHEC 2025 : analyse complexe et fonctions de plusieurs variables

Le sujet 2025 portait sur des séries génératrices, des fonctions de plusieurs variables, et un problème final sur la convergence presque sûre de variables aléatoires. Plus difficile que 2024 dans sa partie analyse. La barre d'admissibilité a monté à 12,5.

Tendance des sujets EDHEC appro 2020-2026

Tendance claire à l'algèbre linéaire avancée : matrices symétriques, projecteurs orthogonaux, espaces euclidiens, formes quadratiques. Cette tendance reflète l'importance croissante de ces outils en data science et en intelligence artificielle, secteurs où les diplômés HEC, ESSEC, EDHEC se positionnent. Pour 2027, anticiper : décomposition en valeurs singulières (SVD), matrices stochastiques (chaînes de Markov continues), espaces de Hilbert élémentaires.