Sujet maths appliquées EDHEC 2026 : analyse complète

Structure générale du sujet et niveau de difficulté

Format et durée

Le sujet maths appliquées EDHEC dure 4 heures, de 14h à 18h. Pas de calculatrice, ni d'aucun matériel électronique. Seule la règle graduée est autorisée. Le format reste classique : 3 exercices indépendants en première moitié de l'épreuve, et un problème en deuxième moitié. La note de présentation et de rédaction est explicitement mentionnée comme "importante" dans l'évaluation, ce qui doit guider la stratégie de copie.

Niveau global du sujet 2026

Le sujet de cette année est jugé d'un niveau moyen à intermédiaire selon les premiers retours d'élèves. Les exercices 1 et 2 sont accessibles à un étudiant ayant bien révisé son cours sur les suites et les équations différentielles linéaires. L'exercice 3 sur l'estimateur Z_n et le code Monte Carlo demande une bonne maîtrise des variables aléatoires à densité et des inégalités de concentration. Le problème final sur les graphes de Moore est le plus exigeant : il combine algèbre linéaire avancée, théorie spectrale et raisonnement combinatoire.

Répartition des points et stratégie de gestion du temps

Indication standard EDHEC : exercice 1 environ 25 % de la note, exercice 2 environ 20 %, exercice 3 environ 25 %, problème environ 30 %. Stratégie recommandée : 50 minutes par exercice (soit 2h30 au total), puis 1h30 sur le problème. Garder absolument 15 minutes de relecture en fin d'épreuve. Beaucoup d'étudiants se perdent sur l'exercice 3 ou le problème en y consacrant trop de temps au détriment des autres.

Exercice 1 : suites récurrentes et série télescopique

Énoncé synthétique

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = a (avec a > 1) et la relation de récurrence u_{n+1} = u_n^2 - u_n + 1. Les questions explorent : compléter une fonction Python suite_u(a,n), montrer la convergence éventuelle vers ℓ = 1, montrer la croissance de la suite, conclure sur la divergence vers +∞, identifier l'équivalent de u_n parmi 4 propositions, et finir sur une série télescopique liée à 1/(u_n - 1) - 1/(u_{n+1} - 1) = 1/u_n. La question 6 introduit ensuite une variable aléatoire X avec P(X = n) = 1/u_n pour a = 2, et demande de prouver l'existence d'une espérance et d'une variance.

Concepts mathématiques mobilisés

• Suites récurrentes monotones et convergence

• Étude de fonctions auxiliaires (f(x) = x^2 - x + 1)

• Quatre propositions d'équivalents : maîtrise des notations o, ~, et de la croissance comparée

• Série télescopique et convergence

• Variables aléatoires discrètes à valeurs dans N

• Existence d'une espérance et d'une variance via convergence absolue

Pièges et points de vigilance

Le piège classique sur la question 4 (équivalent de u_n) est de répondre intuitivement au lieu de prouver. Les 4 propositions ressemblent : u_{n+1} ~ u_n, u_{n+1} ~ u_n^2, u_{n+1} ~ 1/u_n^2, u_{n+1} ~ 1/u_n. La bonne réponse demande de réutiliser la croissance et la divergence prouvées avant. Sur la série télescopique (Q5), le piège est d'oublier de justifier la convergence d'une série de terme positif décroissant via comparaison.

Niveau et points possibles

Niveau de l'exercice : accessible mais piégeux. Une copie qui traite proprement les questions 1 à 3 et la question 5 sans erreur de logique vaut autour de 14 ou 15. Pour aller au-dessus de 16, il faut avoir traité avec rigueur les équivalents de Q4 et la question 6 sur les variables aléatoires. Beaucoup d'étudiants perdent des points en confondant équivalent et négligeable.

Exercice 2 : système différentiel et résolution par fonction auxiliaire

Énoncé synthétique

On cherche les fonctions f et g définies et dérivables sur R, telles que f(0) = 1, g(0) = 1, et solutions du système différentiel : f' = f - 2g, g' = 2f + 5g. Première méthode demandée : utiliser f''. Deuxième méthode demandée (questions 3 et 4) : utiliser h = f + g et montrer que h vérifie une équation différentielle plus simple. Question 5 : code Python pour tracer les courbes de f et g sur [-1/2, 1/2].

Concepts mathématiques mobilisés

• Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

• Équations différentielles d'ordre 2 (h'' - 6h' + 9h = 0)

• Forme générale des solutions : (a + bx) e^{3x}

• Méthode de variation de la constante

• Tracé Python avec matplotlib (np.arange ou np.linspace)

Pièges et points de vigilance

Le piège majeur de l'exercice est la résolution de l'équation différentielle h'' - 6h' + 9h = 0. Le polynôme caractéristique X^2 - 6X + 9 = (X-3)^2 a une racine double, ce qui change la forme générale de la solution. Une erreur classique est d'oublier le facteur x dans la deuxième solution, donnant h(x) = (a + bx) e^{3x} et non a e^{3x} + b e^{3x}. Sur la question Python, attention à bien définir 2 fonctions séparées f(x) et g(x), et à utiliser plt.plot avec une boucle ou np.linspace pour le tracé.

Niveau et points possibles

Niveau plus accessible que l'exercice 1, à condition d'avoir maîtrisé son cours sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2. Une copie complète et propre de cet exercice vaut typiquement 15 à 17. Les étudiants qui se font piéger par la racine double plafonnent à 11 ou 12.

Exercice 3 : estimateur, intervalle de confiance et Monte Carlo

Énoncé synthétique

On considère une variable aléatoire X de loi uniforme sur [0, θ], avec θ inconnu (mais θ ∈ [5, 7]). On dispose de n variables aléatoires X_1, ..., X_n i.i.d. de même loi que X. On définit Y_n = max(X_1, ..., X_n) et Z_n = (n+1)/n × Y_n. L'exercice demande : expression de F (fonction de répartition de X), expressions de E(X) et V(X) en fonction de θ, fonction de répartition F_{Y_n} de Y_n, densité f_{Y_n}, espérance et variance de Y_n, démonstration que Z_n est un estimateur sans biais de θ. Puis application de Bienaymé-Tchebychev pour obtenir un intervalle de confiance, et code Python mystere(theta) qui simule l'inégalité par méthode Monte Carlo.

Concepts mathématiques mobilisés

• Loi uniforme continue : densité, fonction de répartition, espérance, variance

• Maximum d'un échantillon i.i.d. : F_{Y_n}(x) = F(x)^n

• Variable transformée à densité (Z_n = (n+1)/n Y_n)

• Estimateur sans biais : E(Z_n) = θ

• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

• Méthode Monte Carlo en Python (rd.random())

Pièges et points de vigilance

Sur la question 6c, l'intervalle de confiance issu de Bienaymé-Tchebychev est [Z_n - 1/10, Z_n + 1/10] avec un niveau de confiance d'au moins 0,95 pour n ≥ 2000. Le piège : bien identifier le ε = 1/10 et le calcul de la condition n ≥ 47 puis n ≥ 2000. Sur le code Python mystere, comprendre que la fonction simule la fréquence avec laquelle Z_n tombe dans l'intervalle, donc retourne un nombre proche de 0,95. C'est une question de compréhension fine de l'inégalité de concentration.

Niveau et points possibles

Exercice difficile dans sa partie statistique (estimateur, intervalle de confiance). Une copie qui traite jusqu'à la question 5 vaut 12 ou 13. Pour atteindre 15 ou 16, il faut avoir traité proprement les questions 6 et 7 sur Bienaymé-Tchebychev et le code mystere. Très peu d'étudiants vont au bout du Monte Carlo.

Problème final : graphes de Moore et matrices d'adjacence

Énoncé synthétique

Le problème introduit la notion de graphe de Moore : un graphe simple, connexe, non orienté, non pondéré, de degré maximal d, et de diamètre 2. On note E_n(d) l'ensemble de ces graphes d'ordre n. Le problème démontre que pour ces graphes, n ≤ d^2 + 1 (inégalité de Moore), et étudie le cas d'égalité n = d^2 + 1. La matrice d'adjacence A vérifie A^2 + A = (d-1) I_n + J_n. L'étude spectrale conduit à montrer que les seules valeurs de d possibles sont d = 2, 3, 7, et 57. Le graphe de Hoffman-Singleton (d = 7, n = 50) est représenté en fin de problème.

Concepts mathématiques mobilisés

• Théorie des graphes : ordre, degré, distance, diamètre

• Matrice d'adjacence et matrice J_n (toutes ses entrées valent 1)

• Polynôme annulateur d'une matrice

• Diagonalisation d'une matrice symétrique

• Sous-espaces propres et valeurs propres

• Trace d'une matrice et égalité des traces de matrices semblables

• Combinatoire élémentaire (degré et voisinage)

Structure du problème : 5 parties

Partie 1 : préliminaires sur le polynôme P(x) = x^2 - nx, montrant qu'il annule J_n. Démonstration de la diagonalisabilité de J_n et identification des valeurs propres 0 et n. Partie 2 : généralités et étude d'exemples (E_4(2), E_5(2)) avec graphes à dessiner. Démonstration de n ≤ d^2 + 1. Partie 3 : étude détaillée de la matrice d'adjacence A des graphes de Moore. Démonstration que A est symétrique et que A^2 + A = (d-1) I_n + J_n. Partie 4 : étude des valeurs propres de A. Le polynôme caractéristique factorisé donne λ^2 + λ - d + 1 = 0 avec valeurs propres b et c. Partie 5 : confirmation des valeurs propres et démonstration finale via les traces.

Pièges et points de vigilance

Première difficulté : comprendre la définition de graphe simple, connexe, non orienté, non pondéré. Beaucoup d'étudiants ne maîtrisent pas la théorie des graphes et perdent du temps sur les définitions. Deuxième difficulté : la démonstration que A^2 + A = (d-1) I_n + J_n nécessite un raisonnement combinatoire fin (compter les chaînes de longueur 2 entre 2 sommets). Troisième difficulté : la démonstration finale via les traces (Tr(A) = 0 et Tr(A^2) = nd) qui aboutit à une équation polynomiale en d dont les solutions sont 2, 3, 7, 57.

Niveau et points possibles

Problème exigeant, classique du programme de prépa ECG en option appliquée. Une copie qui traite proprement les parties 1 et 2 vaut 9 ou 10 sur le problème. Aller jusqu'à la partie 4 vaut 13 ou 14. Atteindre la partie 5 et conclure sur les valeurs d = 2, 3, 7, 57 met la note autour de 17 ou 18. Le problème se prête bien à un effort partiel : même 5 questions sur 8 valent des points appréciables.

Stratégie de gestion du temps et conseils transversaux

Le timing recommandé sur 4 heures

Première heure (14h-15h) : exercice 1 et début de l'exercice 2. L'exercice 1 doit être bouclé propre en 50 minutes maximum. Deuxième heure (15h-16h) : finir l'exercice 2 et attaquer l'exercice 3. Troisième heure (16h-17h) : finir l'exercice 3 et attaquer le problème (parties 1 et 2). Quatrième heure (17h-18h) : avancer dans le problème (parties 3 à 5) et garder 15 minutes de relecture. La relecture finale détecte typiquement 2 à 3 erreurs de calcul ou de notation et vaut 1 ou 2 points.

La note de présentation et de rédaction

Mentionnée explicitement par EDHEC, elle représente jusqu'à 2 points sur 20. Conseils pour la maximiser : encadrer ou souligner les résultats finaux, numéroter clairement les questions et sous-questions, sauter une ligne entre chaque question, écrire en bleu ou noir uniquement (pas rouge), souligner les théorèmes du cours utilisés. Les copies bâclées plafonnent à 14 ou 15 même si le contenu est juste.

La gestion des questions Python

Le sujet 2026 contient 4 questions Python (suite_u, f et g, var_Y, mystere). Stratégie : ne pas se précipiter, écrire d'abord le pseudo-code en français, puis traduire en Python. Vérifier les indices (range(0, n) ou range(1, n+1)), les indentations, les types de retour. Les correcteurs valorisent un code clair et commenté plus qu'un code virtuose mais incompréhensible.

L'erreur d'énoncé : que faire si on suspecte ?

Le préambule du sujet précise : "Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre." Concrètement : si tu trouves une incohérence, signale-la 2 lignes en marge de la copie, propose ta correction, et continue. Cette posture est valorisée et n'est jamais pénalisée.

Comparaison avec les sujets EDHEC 2024 et 2025

EDHEC 2024 : suites et probabilités, algèbre bilinéaire

Le sujet EDHEC 2024 maths appliquées comprenait 3 exercices et un problème centré sur l'algèbre bilinéaire (produit scalaire, projecteurs, espaces euclidiens). Niveau jugé moyen. La barre d'admissibilité s'est établie autour de 11. Comparé à 2026, le sujet 2024 était moins exigeant sur les variables aléatoires mais plus exigeant sur les démonstrations d'algèbre.

EDHEC 2025 : analyse, probabilités, optimisation

Le sujet 2025 portait notamment sur la fonction Gamma, les variables aléatoires à densité (gaussiennes), et un problème d'optimisation sous contraintes. Plus difficile que 2024 dans son problème final. La barre d'admissibilité a monté à 12,5. Le sujet 2026, avec son problème de graphes de Moore, est dans la moyenne entre 2024 et 2025 en difficulté globale.

Tendance des sujets EDHEC 2020-2026

On observe une tendance croissante à la combinatoire et aux structures discrètes (graphes, arbres, chaînes de Markov sur graphes finis). Cette tendance s'inscrit dans le mouvement plus large de la prépa ECG vers les outils de la data science. Pour préparer 2027, anticipe une probable continuation : graphes orientés, arbres binaires, chaînes de Markov étendues.