Les primitives : calcul, techniques et pièges en prépa

Ce que recouvre la notion de primitive

Une opération inverse de la dérivation

Dériver est une opération mécanique. Tu appliques des règles, tu obtiens un résultat, toujours le même. Chercher une primitive est l'opération inverse, et elle n'est pas mécanique du tout.

Pourquoi le mot apparaît partout en prépa

Les primitives ne servent pas qu'à calculer des aires. Elles interviennent dès qu'une équation relie une fonction inconnue à sa dérivée.

Tu les retrouves dans la résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre. Tu les retrouves en probabilités, pour passer d'une densité à une fonction de répartition. Tu les retrouves en physique, du travail d'une force au calcul d'un centre de masse.

Primitive, intégrale, aire : trois objets distincts

Trois notions voisines sont régulièrement confondues, et cette confusion coûte des points. Une primitive est une fonction. Une intégrale sur un segment est un nombre. Une aire est une grandeur géométrique positive.

Le lien entre ces objets est un théorème, pas une définition. Il porte le nom de théorème fondamental de l'analyse.

La définition rigoureuse et l'unicité à constante près

La définition, sur un intervalle

Voici l'énoncé à savoir écrire sans hésiter.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si, pour tout x ∈ I, F′(x) = f(x).

Ici f désigne la fonction de départ, F la fonction cherchée, I un intervalle de ℝ, et x un réel quelconque de cet intervalle. Aucune unité n'intervient, l'objet est purement numérique.

Le mot intervalle n'est pas décoratif. Il conditionne tout ce qui suit, et notamment l'unicité à constante près.

Deux primitives diffèrent d'une constante

La propriété centrale s'écrit en une ligne.

Si F et G sont deux primitives de f sur un intervalle I, alors il existe une constante réelle C telle que G = F + C sur I.

F et G désignent deux primitives de la même fonction f, I l'intervalle commun de travail, et C un réel fixe, indépendant de x.

La démonstration tient en deux phrases. La fonction G − F est dérivable sur I et sa dérivée est nulle. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, par le théorème des accroissements finis.

Ce que devient l'énoncé sans l'hypothèse d'intervalle

Retire le mot intervalle, et la propriété tombe. Prends la fonction inverse, définie sur ℝ privé de 0.

Sur ]−∞ ; 0[ tu peux choisir ln(−x), et sur ]0 ; +∞[ tu peux choisir ln(x) + 5. L'ensemble de définition n'est pas un intervalle, donc les deux constantes sont indépendantes.

Théorème fondamental de l'analyse et lien avec l'intégrale

L'énoncé et ses hypothèses

Le théorème fondamental fait le pont entre intégrale et primitive.

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit a ∈ I. La fonction F définie sur I par F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est dérivable sur I et vérifie F′ = f.

Ici f est la fonction intégrée, t la variable muette d'intégration, a un point fixe de I, et x la borne variable. Le résultat F(x) est un nombre pour chaque x, ce qui définit bien une fonction.

Deux hypothèses portent tout l'énoncé. La continuité de f, et le caractère d'intervalle de I. Sans continuité, la conclusion peut être fausse.

L'existence d'une primitive pour toute fonction continue

Le théorème donne beaucoup plus qu'un lien. Il fournit une primitive explicite, construite par intégration.

Toute fonction continue sur un intervalle admet donc au moins une primitive sur cet intervalle. C'est un théorème d'existence, et il est constructif au sens où il exhibe la fonction F.

Attention à la portée réelle de ce résultat. Il affirme l'existence, il ne fournit aucune formule en termes de fonctions usuelles. La fonction x ↦ exp(−x²) est continue sur ℝ, donc elle a des primitives, et pourtant aucune ne s'écrit avec les fonctions du programme.

Ne pas confondre primitive et intégrale

La différence est de nature, pas de degré. Retiens la distinction sous cette forme.

∫ₐᵇ f(t) dt est un nombre réel, alors que x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt est une fonction.

Les bornes a et b sont fixes dans le premier cas, la borne supérieure x est variable dans le second, et t reste la variable muette dans les deux.

La notation sans bornes, ∫ f(x) dx, désigne une primitive quelconque. Elle est très utilisée en physique et dans les ouvrages anglo-saxons. En mathématiques françaises de prépa, beaucoup d'enseignants préfèrent l'éviter, parce qu'elle masque la constante et l'intervalle.

Une dernière confusion revient en colle. L'expression ∫ₐᵇ f(t) dt ne dépend pas de t. Écrire un t dans le résultat final est une faute immédiate.

Les primitives usuelles à connaître par coeur

Comment lire le tableau

Chaque ligne donne une fonction, une primitive parmi d'autres, et un domaine sur lequel l'égalité F′ = f est valide. Ajoute mentalement une constante à chaque primitive proposée.

Voici le tableau de référence, celui que tu dois pouvoir réécrire de mémoire en cinq minutes.

Les formes composées à reconnaître

Le tableau précédent ne suffit pas. En concours, les fonctions arrivent presque toujours composées avec une fonction intermédiaire u.

Le réflexe consiste à chercher la dérivée u′ quelque part dans l'expression. Si tu la repères, tu remontes directement au tableau composé ci-dessous.

Les techniques de calcul à maîtriser

Reconnaissance de la forme u′·f(u)

C'est la technique la plus rentable, et la première à essayer. Tu cherches une fonction u dont la dérivée apparaît en facteur.

Prends l'exemple de x ↦ x/(1 + x²). Tu poses u(x) = 1 + x², donc u′(x) = 2x. L'expression vaut (1/2)·u′/u, et une primitive est (1/2)·ln(1 + x²) sur ℝ.

L'intégration par parties

La formule vient de la dérivée d'un produit, et il faut savoir la redémontrer.

Si u et v sont de classe C¹ sur un segment [a ; b], alors ∫ₐᵇ u(t)·v′(t) dt = [u(t)·v(t)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(t)·v(t) dt.

Ici u et v sont deux fonctions dérivables à dérivée continue, u′ et v′ leurs dérivées, a et b les bornes du segment, et le crochet désigne u(b)·v(b) − u(a)·v(a).

Le choix de u et de v′ décide de tout. Tu choisis pour u la fonction que la dérivation simplifie. Un polynôme, un logarithme, une fonction arctangente sont de bons candidats.

Le changement de variable

Le changement de variable généralise la reconnaissance de forme composée.

Soit φ de classe C¹ sur [α ; β], et f continue sur un intervalle contenant φ([α ; β]). Alors l'intégrale de f(x) dx entre φ(α) et φ(β) est égale à l'intégrale de f(φ(t))·φ′(t) dt entre α et β.

Ici φ est la fonction de substitution, φ′ sa dérivée, t la nouvelle variable, x l'ancienne, et α et β les nouvelles bornes.

Deux précautions reviennent systématiquement en correction. Les bornes doivent être transformées, et le facteur φ′(t) dt ne doit jamais être oublié. Pour un changement dans le sens inverse, une bijectivité est à vérifier.

Les substitutions classiques se retiennent. Pour √(1 − x²), pose x = sin(t). Pour √(1 + x²), pose x = sh(t). Pour une fraction en cos et sin, les règles de Bioche orientent vers t = cos(x), t = sin(x) ou t = tan(x).

Fractions rationnelles et linéarisation trigonométrique

Une fraction rationnelle se primitive toujours, au moins en théorie. La méthode passe par la décomposition en éléments simples.

Tu factorises le dénominateur, tu écris la décomposition, tu identifies les coefficients, puis tu primitives chaque morceau. Les morceaux se réduisent à des logarithmes, des puissances et des arctangentes.

Un exemple court éclaire la démarche. Pour 1/(x² − 1), tu écris 1/(x² − 1) = (1/2)·[1/(x − 1) − 1/(x + 1)]. Une primitive sur ]1 ; +∞[ est donc (1/2)·ln((x − 1)/(x + 1)).

La trigonométrie suit une logique voisine. Un produit ou une puissance de cosinus et de sinus se linéarise avec les formules d'addition ou avec les formules d'Euler. Ainsi cos²(x) = (1 + cos(2x))/2, dont une primitive est x/2 + sin(2x)/4 sur ℝ.

Deux exemples entièrement résolus

Exemple 1 : une primitive de x²·eˣ par intégration par parties

On cherche une primitive de f(x) = x²·eˣ sur ℝ. La fonction est continue sur ℝ, donc elle admet des primitives.

Première étape, poser l'intégration par parties. On travaille sur ∫₀ˣ t²·eᵗ dt, avec u(t) = t² et v′(t) = eᵗ. Alors u′(t) = 2t et v(t) = eᵗ, et les deux fonctions sont de classe C¹ sur ℝ.

Deuxième étape, appliquer la formule. On obtient ∫₀ˣ t²·eᵗ dt = [t²·eᵗ]₀ˣ − ∫₀ˣ 2t·eᵗ dt, soit x²·eˣ − 2·∫₀ˣ t·eᵗ dt.

Troisième étape, recommencer sur l'intégrale restante. Avec u(t) = t et v′(t) = eᵗ, il vient ∫₀ˣ t·eᵗ dt = [t·eᵗ]₀ˣ − ∫₀ˣ eᵗ dt. Ce dernier calcul donne x·eˣ − (eˣ − 1).

Quatrième étape, rassembler. On trouve ∫₀ˣ t²·eᵗ dt = x²·eˣ − 2x·eˣ + 2eˣ − 2.

Cinquième étape, conclure et vérifier. Une primitive de f sur ℝ est donc F(x) = (x² − 2x + 2)·eˣ. En dérivant, F′(x) = (2x − 2)·eˣ + (x² − 2x + 2)·eˣ = x²·eˣ, ce qui valide le résultat.

Exemple 2 : calcul de ∫₀¹ √(1 − x²) dx par changement de variable

On calcule I = ∫₀¹ √(1 − x²) dx. La fonction x ↦ √(1 − x²) est continue sur [0 ; 1], donc l'intégrale existe.

Première étape, choisir la substitution. On pose x = sin(t), c'est-à-dire φ(t) = sin(t), avec t variant dans [0 ; π/2]. La fonction φ est de classe C¹ sur ce segment, et elle réalise une bijection de [0 ; π/2] sur [0 ; 1].

Deuxième étape, transformer les bornes. Quand t vaut 0, x vaut 0. Quand t vaut π/2, x vaut 1. Les nouvelles bornes sont donc 0 et π/2.

Troisième étape, transformer l'intégrande. On a dx = cos(t) dt. De plus 1 − sin²(t) = cos²(t), donc √(1 − x²) = |cos(t)|. Sur [0 ; π/2] le cosinus est positif, donc √(1 − x²) = cos(t).

Quatrième étape, écrire la nouvelle intégrale. Elle devient I = ∫₀^(π/2) cos²(t) dt.

Cinquième étape, linéariser. Avec cos²(t) = (1 + cos(2t))/2, on obtient I = (1/2)·∫₀^(π/2) dt + (1/2)·∫₀^(π/2) cos(2t) dt.

Sixième étape, conclure. Le premier terme vaut π/4. Le second vaut (1/2)·[sin(2t)/2]₀^(π/2), donc 0. Ainsi I = π/4.

Le résultat se contrôle géométriquement. La courbe d'équation y = √(1 − x²) sur [0 ; 1] est un quart de cercle de rayon 1, dont l'aire vaut bien π/4.

Les fonctions dont la primitive ne s'exprime pas simplement

L'exemple de exp(−x²)

La fonction x ↦ exp(−x²) est continue sur ℝ. Elle admet donc des primitives sur ℝ, par le théorème fondamental de l'analyse.

Aucune de ces primitives ne s'écrit avec les fonctions usuelles. Pas de combinaison finie de polynômes, de racines, d'exponentielles, de logarithmes et de fonctions trigonométriques ou de leurs inverses.

Ce n'est pas un aveu d'ignorance, c'est un théorème. L'impossibilité est démontrée, elle ne dépend pas de l'habileté du calculateur.

La primitive existe malgré tout, et elle porte un nom. On la note souvent par la fonction erreur, définie à un facteur près par x ↦ ∫₀ˣ exp(−t²) dt.

Ce que dit la théorie de l'intégration élémentaire

Joseph Liouville a posé le cadre de cette question dans les années 1830. Il a caractérisé les cas où une primitive reste dans la classe des fonctions dites élémentaires.

Ses travaux ont été repris et algorithmisés au vingtième siècle. Robert Risch a publié en 1969 un algorithme décidant, pour une large classe de fonctions, si une primitive élémentaire existe.

D'autres exemples classiques sont à connaître. La fonction sin(x)/x, la fonction 1/ln(x), la fonction exp(x)/x entrent dans la même catégorie.

Ce qu'on fait alors en pratique

L'absence de forme fermée ne bloque jamais un problème bien posé. Plusieurs sorties existent, et les concours les utilisent toutes.

Tu peux étudier la primitive comme fonction, sans l'expliciter. Dérivée, sens de variation, convexité, limites, développement limité, tout reste accessible depuis F′ = f.

Certaines intégrales sur ℝ tout entier se calculent malgré tout. L'intégrale de exp(−x²) sur ℝ vaut √π, résultat démontré en seconde année par des techniques spécifiques.

Les pièges classiques et la place de la notion au programme

Domaine de définition et intervalle

C'est le piège numéro un, en colle comme en copie. On demande les primitives d'une fonction, et l'ensemble de définition n'est pas un intervalle.

La règle est simple à appliquer. Tu découpes l'ensemble de définition en intervalles maximaux, et tu traites chacun séparément.

Prends la fonction x ↦ 1/(x² − 1). Elle est définie sur trois intervalles, séparés par −1 et 1. Tu obtiens donc trois familles de primitives, avec trois constantes indépendantes.

Une erreur voisine consiste à intégrer sur un segment contenant une singularité. Écrire ∫₋₁¹ dx/x² comme une différence de valeurs de −1/x donne un résultat négatif, alors que l'intégrande est positive. La fonction n'est pas définie en 0, le calcul n'a pas de sens.

La constante oubliée

La constante n'est pas un ornement. Elle signale que tu as compris qu'il existe une famille de primitives, pas une seule.

Les conséquences sont concrètes. En équations différentielles, oublier la constante fait perdre toutes les solutions sauf une. En probabilités, elle est fixée par la condition de limite en +∞.

Un détail de rédaction compte aussi. Écris « + C, avec C ∈ ℝ », et non un C flottant sans quantification.

La primitive de 1/x et la valeur absolue

La formule à retenir est la suivante.

Les primitives de x ↦ 1/x sont x ↦ ln|x| + C, sur ]−∞ ; 0[ comme sur ]0 ; +∞[.

Ici C est une constante réelle, propre à chacun des deux intervalles, et la valeur absolue garantit que l'argument du logarithme est strictement positif.

La vérification est instructive. Sur ]−∞ ; 0[, on a ln|x| = ln(−x), dont la dérivée est (−1)/(−x), soit 1/x. La valeur absolue fait bien le travail des deux côtés.

Attention à ne pas surgénéraliser. Il n'existe pas de primitive de 1/x sur ℝ privé de 0 qui soit continue en 0, puisque 0 n'appartient pas au domaine. Écrire une seule constante pour les deux intervalles est une faute classique.

Ce que disent les programmes et ce qu'attendent les jurys

Au lycée, les primitives figurent dans le programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de terminale générale, publié au Bulletin officiel spécial n°8 du 25 juillet 2019. Elles y arrivent avec le calcul intégral et les équations différentielles.

En classes préparatoires scientifiques et commerciales, les programmes de première année en vigueur résultent des arrêtés du 5 janvier 2021, publiés au Bulletin officiel spécial n°1 du 11 février 2021. Les intitulés diffèrent selon la filière, MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, BCPST ou ECG, et le détail exact se lit sur les pages du ministère.

Les attentes se recoupent d'une filière à l'autre. Savoir énoncer le théorème fondamental avec ses hypothèses. Savoir mener une intégration par parties et un changement de variable sans erreur de bornes. Savoir justifier l'intervalle de travail.

Un dernier point revient dans les rapports de jurys de concours, toutes banques confondues. Les erreurs sanctionnées sont plus souvent des oublis d'hypothèse que des fautes de calcul. Le soin apporté à la justification pèse donc autant que la technique.