Les formules trigonométriques
En classes préparatoires, certains outils mathématiques séparent très vite les copies moyennes des copies brillantes.
Eline Le Berre
En classes préparatoires, certains outils mathématiques séparent très vite les copies moyennes des copies brillantes. Ce ne sont pas forcément les théorèmes compliqués ou les démonstrations spectaculaires, mais plutôt la maîtrise de techniques simples, rapides et sûres. Parmi elles, les formules trigonométriques occupent une place centrale.
On les retrouve partout : intégrales, simplifications algébriques, équations différentielles, nombres complexes, probabilités continues. Très souvent, un calcul bloqué devient trivial dès qu’on reconnaît la bonne identité trigonométrique.
Autrement dit, connaître les formules trigonométriques, c’est gagner du temps, de la fluidité et beaucoup de points aux concours.
Cet article propose une synthèse claire, progressive et directement exploitable.
Les bases incontournables des formules trigonométriques
Tout repose sur quelques relations fondamentales issues du cercle trigonométrique.
Pour tout réel x : tan(x) = sin(x) / cos(x)
L’identité la plus importante est : sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1
Elle permet immédiatement d’écrire :
sin(x)^2 = 1 − cos(x)^2
cos(x)^2 = 1 − sin(x)^2
On obtient aussi : 1 + tan(x)^2 = 1 / cos(x)^2
Ces égalités servent en permanence pour simplifier des expressions ou transformer des fractions.
Parité et périodicité : premiers réflexes de simplification
Avant tout calcul, il faut penser aux symétries.
sin(−x) = −sin(x)
cos(−x) = cos(x)
tan(−x) = −tan(x)
Et pour les périodes :
sin(x + 2pi) = sin(x)
cos(x + 2pi) = cos(x)
tan(x + pi) = tan(x)
Ces propriétés permettent souvent de réduire un angle compliqué à un angle simple.
Les formules d’addition : le cœur des formules trigonométriques
Ce sont les plus importantes. Presque toutes les autres en découlent.
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
sin(a − b) = sin(a)cos(b) − cos(a)sin(b)
cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)
cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 − tan(a)tan(b))
tan(a − b) = (tan(a) − tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))
Ces formules trigonométriques servent à :
– développer
– factoriser
– transformer des produits
– simplifier des intégrales
En pratique, c’est la boîte à outils principale des concours.
Les angles doubles : simplifier les puissances
Très utiles dès qu’apparaissent des carrés ou des produits.
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
cos(2x) = cos(x)^2 − sin(x)^2
cos(2x) = 2cos(x)^2 − 1
cos(2x) = 1 − 2sin(x)^2
tan(2x) = 2tan(x) / (1 − tan(x)^2)
Ces identités permettent de remplacer des puissances par des expressions plus simples.
Linéarisation : l’arme secrète pour les intégrales
En prépa ECG, ces formules trigonométriques sont extrêmement fréquentes.
sin(x)^2 = (1 − cos(2x)) / 2
cos(x)^2 = (1 + cos(2x)) / 2 sin(x)cos(x) = sin(2x) / 2
Grâce à elles, une intégrale comme
∫ sin(x)^2 dx devient immédiatement calculable.
Sans linéarisation, beaucoup d’intégrales sont quasiment impossibles.
Transformer les produits et les sommes
Produit vers somme
sin(a)sin(b) = (cos(a − b) − cos(a + b)) / 2
cos(a)cos(b) = (cos(a − b) + cos(a + b)) / 2
sin(a)cos(b) = (sin(a + b) + sin(a − b)) / 2
Très utile quand un produit apparaît dans une intégrale.
Somme vers produit
sin(a) + sin(b) = 2sin((a + b)/2)cos((a − b)/2)
sin(a) − sin(b) = 2cos((a + b)/2)sin((a − b)/2)
cos(a) + cos(b) = 2cos((a + b)/2)cos((a − b)/2)
cos(a) − cos(b) = −2sin((a + b)/2)sin((a − b)/2)
Parfait pour factoriser.
Les formules trigonométriques et les nombres complexes
En prépa, la trigonométrie rencontre naturellement les complexes grâce à la célèbre formule de Leonhard Euler.
e^(ix) = cos(x) + i sin(x)
On en déduit :
cos(x) = (e^(ix) + e^(−ix)) / 2
sin(x) = (e^(ix) − e^(−ix)) / (2i)
Cette écriture est souvent la méthode la plus élégante pour démontrer ou simplifier des identités trigonométriques.
Méthode de travail spéciale prépa
Apprendre toutes les formules trigonométriques par cœur est inefficace. Il faut une stratégie.
D’abord, mémoriser parfaitement l’identité fondamentale et les formules d’addition. Ensuite, comprendre que les angles doubles et la linéarisation en découlent. Enfin, pratiquer régulièrement sur des intégrales et des simplifications.
En réalité, une dizaine de formules bien maîtrisées suffisent pour reconstruire presque toutes les autres.
