Les asymptotes : définitions, méthodes et pièges à éviter en prépa
Les asymptotes font partie de ces notions qui semblent intuitives au lycée et qui se révèlent, en classe préparatoire, bien plus subtiles et exigeantes qu'on ne l'imaginait.
Lila Dumonteil Divies
Les asymptotes font partie de ces notions qui semblent intuitives au lycée et qui se révèlent, en classe préparatoire, bien plus subtiles et exigeantes qu'on ne l'imaginait. Une droite dont une courbe s'approche indéfiniment sans jamais la toucher : la définition informelle que l'on retient de terminale suffit pour répondre aux questions de lycée, mais elle devient rapidement insuffisante en prépa, où les fonctions sont plus complexes, les comportements asymptotiques plus variés, et les attentes des correcteurs bien plus précises. En prépa scientifique comme en prépa économique et commerciale, les asymptotes apparaissent dans les études de fonctions, dans les développements limités, dans l'analyse de suites et dans les calculs de limites. Les maîtriser vraiment, ce n'est pas seulement savoir tracer un trait en pointillés sur un graphique : c'est comprendre ce que le comportement d'une fonction à l'infini ou au voisinage d'un point dit de sa nature profonde.
Cet article passe en revue les trois types d'asymptotes que vous rencontrerez en prépa, les méthodes pour les déterminer rigoureusement, les erreurs les plus fréquentes et les situations piégeuses que les sujets de concours affectionnent particulièrement. Chaque notion est illustrée par des exemples concrets sur lesquels vous pouvez vous entraîner.
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Les trois types d'asymptotes : définitions rigoureuses
L'asymptote verticale
Une droite verticale d'équation x = a est une asymptote verticale de la courbe représentative d'une fonction f si au moins une des limites suivantes est infinie : la limite de f(x) quand x tend vers a par valeurs supérieures, ou quand x tend vers a par valeurs inférieures. Autrement dit, la courbe s'échappe vers l'infini (positif ou négatif) lorsque x se rapproche de a.
La situation la plus courante est celle d'une fonction rationnelle dont le dénominateur s'annule en un point qui n'est pas un zéro du numérateur. Si f(x) = P(x) / Q(x) avec Q(a) = 0 et P(a) différent de 0, alors x = a est une asymptote verticale. Par exemple, la fonction f définie par f(x) = 1 / (x - 2) possède une asymptote verticale en x = 2, car f(x) tend vers +infini quand x tend vers 2 par valeurs supérieures, et vers -infini quand x tend vers 2 par valeurs inférieures.
Attention au cas où P(a) = 0 et Q(a) = 0 simultanément : il faut alors simplifier l'expression en factorisant par (x - a) et analyser la limite après simplification. Il peut s'agir d'une asymptote verticale, d'une valeur finie (trou dans la courbe) ou d'un prolongement par continuité, selon les multiplicités respectives de la racine dans P et Q.
L'asymptote horizontale
Une droite horizontale d'équation y = L est une asymptote horizontale de la courbe de f en +infini si f(x) tend vers L quand x tend vers +infini. De même, y = L est asymptote en -infini si f(x) tend vers L quand x tend vers -infini. Les deux asymptotes horizontales peuvent être différentes, il faut donc toujours étudier les deux directions séparément.
Pour les fonctions rationnelles f(x) = P(x) / Q(x) où P et Q sont des polynômes, le comportement asymptotique se lit sur les degrés. Si le degré de P est strictement inférieur au degré de Q, alors f(x) tend vers 0 en ±infini : l'axe des abscisses est asymptote horizontale. Si P et Q ont le même degré, f(x) tend vers le rapport des coefficients dominants. Si le degré de P est strictement supérieur au degré de Q, il n'y a pas d'asymptote horizontale mais potentiellement une asymptote oblique.
Exemple : la fonction f(x) = (3x² + 1) / (x² - 4) a pour asymptote horizontale y = 3 en +infini et en -infini, car le rapport des coefficients dominants vaut 3/1 = 3. Notez que les asymptotes verticales x = 2 et x = -2 existent par ailleurs, et sont indépendantes de l'asymptote horizontale.
L'asymptote oblique
Une droite d'équation y = ax + b (avec a différent de 0) est une asymptote oblique de la courbe de f en +infini si la différence f(x) - (ax + b) tend vers 0 quand x tend vers +infini. Autrement dit, la courbe s'approche de la droite mais n'est ni horizontale ni verticale : elle a une pente non nulle.
La méthode pour déterminer une asymptote oblique se déroule en deux étapes. On calcule d'abord le coefficient directeur a en calculant la limite de f(x) / x quand x tend vers l'infini : si cette limite vaut a (finie et non nulle), l'asymptote est bien oblique de pente a. On calcule ensuite l'ordonnée à l'origine b en calculant la limite de f(x) - ax quand x tend vers l'infini : si cette limite vaut b, l'équation de l'asymptote est y = ax + b. Si la limite de f(x) / x est infinie, la courbe n'admet pas d'asymptote. Si elle est nulle, on est ramené au cas de l'asymptote horizontale.
Exemple classique : f(x) = (x² + 2x + 3) / (x + 1). En effectuant la division euclidienne de x² + 2x + 3 par x + 1, on obtient x² + 2x + 3 = (x + 1)(x + 1) + 2, soit f(x) = x + 1 + 2/(x+1). La droite y = x + 1 est donc l'asymptote oblique de f en +infini et en -infini, puisque le terme 2/(x+1) tend vers 0. Cette décomposition par division euclidienne est la méthode la plus propre et la plus rapide pour les fonctions rationnelles.
Méthodes efficaces pour trouver les asymptotes en prépa
La division euclidienne pour les fractions rationnelles
Pour toute fraction rationnelle f(x) = P(x) / Q(x) où le degré de P est supérieur ou égal au degré de Q, la division euclidienne de P par Q est la méthode de référence. Elle permet d'écrire f(x) = E(x) + R(x)/Q(x), où E est le quotient (un polynôme) et R est le reste (de degré strictement inférieur au degré de Q). Puisque R(x)/Q(x) tend vers 0 à l'infini, la courbe de f admet la courbe de E comme asymptote. Si E est un polynôme de degré 1, c'est une asymptote oblique. Si E est un polynôme de degré supérieur à 1, on parle de branche parabolique, ce qui est une généralisation de la notion d'asymptote.
La division euclidienne est à effectuer systématiquement dès que le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur. Ne pas le faire et tenter d'identifier l'asymptote par inspection est une source d'erreurs fréquentes en prépa.
Les développements limités pour les fonctions non rationnelles
Pour les fonctions non rationnelles (fonctions logarithmiques, exponentielles, trigonométriques, composées), les développements limités (DL) sont l'outil central pour étudier le comportement asymptotique. En particulier, pour étudier le comportement d'une fonction au voisinage d'un point où elle n'est pas définie ou pas prolongeable, un DL à l'ordre voulu permet de lire directement la limite et l'éventuelle asymptote.
Exemple : f(x) = x * ln(1 + 1/x) au voisinage de +infini. On pose t = 1/x qui tend vers 0+. On a f(x) = (1/t) * ln(1 + t). Or ln(1 + t) = t - t²/2 + t³/3 - ... d'où f(x) = (1/t) * (t - t²/2 + ...) = 1 - t/2 + ... = 1 - 1/(2x) + ... Donc f(x) tend vers 1 quand x tend vers +infini, et la droite y = 1 est asymptote horizontale. De plus, f(x) - 1 = -1/(2x) + ... qui est négatif pour x grand positif : la courbe est donc en dessous de son asymptote horizontale. Ce type de précision sur le côté d'approche est souvent demandé en prépa et en concours.
Analyser la position de la courbe par rapport à son asymptote
Identifier l'asymptote n'est que la première étape. Les sujets de concours demandent très souvent d'étudier la position de la courbe par rapport à son asymptote, c'est-à-dire de déterminer si la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'asymptote, et si elle la coupe. Pour cela, il faut étudier le signe de f(x) - (ax + b) : si cette différence est positive, la courbe est au-dessus de l'asymptote ; si elle est négative, elle est en dessous.
Dans l'exemple précédent, f(x) - 1 = -1/(2x) + termes négligeables, qui est négatif pour x grand positif. La courbe approche donc son asymptote horizontale y = 1 par en dessous en +infini. Une courbe peut très bien couper son asymptote oblique ou horizontale : cela ne la remet pas en cause. La définition d'asymptote ne dit pas que la courbe ne touche jamais la droite, mais seulement qu'elle s'en rapproche à l'infini.
Les erreurs classiques et les pièges des concours
Confondre asymptote et valeur interdite
Une erreur très fréquente en début de prépa est d'écrire une asymptote verticale chaque fois qu'une valeur est exclue du domaine de définition. C'est faux. Supposons que f(x) = (x² - 1) / (x - 1). La valeur x = 1 est exclue du domaine, mais on peut factoriser : x² - 1 = (x-1)(x+1), donc f(x) = x + 1 pour x différent de 1. La limite en 1 est 2, pas l'infini. Il n'y a pas d'asymptote verticale en x = 1, seulement un point manquant (ou trou) que l'on peut combler par prolongement par continuité. Toujours calculer la limite avant de conclure à une asymptote verticale.
Oublier d'étudier les deux directions à l'infini
Beaucoup d'élèves ne calculent la limite de f(x) qu'en +infini et oublient d'étudier le comportement en -infini. Or les deux comportements peuvent être différents. Par exemple, f(x) = e^x / (1 + e^x) tend vers 1 en +infini (asymptote y = 1) et vers 0 en -infini (asymptote y = 0). Cette fonction admet donc deux asymptotes horizontales distinctes. Ne pas les étudier toutes les deux conduirait à une étude de fonction incomplète, ce qui coûte des points en concours.
Confondre asymptote oblique et comportement asymptotique polynomial
Quand le quotient f(x)/x tend vers une limite finie non nulle mais que f(x) - ax ne tend pas vers une limite finie, la droite y = ax n'est pas une asymptote : la courbe ne s'en rapproche pas, elle s'en écarte. Par exemple, si f(x) = x + racine carrée de x, on a f(x)/x = 1 + 1/racine(x) qui tend vers 1 en +infini, mais f(x) - x = racine(x) qui tend vers +infini. La droite y = x n'est pas asymptote : la différence ne tend pas vers 0. On parle dans ce cas de branche parabolique de direction y = x, notion distincte de l'asymptote oblique. Cette distinction est essentielle et souvent mal maîtrisée.
Le cas des asymptotes qui se croisent ou se touchent
Un piège classique consiste à penser qu'une courbe ne peut jamais couper son asymptote. C'est totalement faux, et les sujets de concours le testent souvent. Une asymptote oblique y = ax + b ne signifie que f(x) - (ax+ b) tend vers 0 à l'infini : cela n'empêche pas la différence de changer de signe plusieurs fois avant de tendre vers 0. La courbe peut donc couper son asymptote, parfois même un nombre infini de fois. Par exemple, f(x) = x + sin(x)/x admet y = x comme asymptote oblique en +infini (puisque sin(x)/x tend vers 0), mais la courbe oscille autour de cette droite et la coupe infiniment souvent.
Asymptote et dérivée : un lien subtil
Une question parfois posée en concours est la suivante : si f admet une asymptote oblique de pente a en +infini, peut-on en déduire que f'(x) tend vers a ? La réponse est non, et c'est un piège classique. La convergence de f(x) - ax vers une limite ne dit rien sur la convergence de la dérivée. Il est parfaitement possible que f(x) - ax tende vers 0 tout en ayant f'(x) qui oscille sans converger. L'implication réciproque est vraie dans certains cas, mais elle ne l'est pas en général. Ce point illustre la subtilité des liens entre comportement asymptotique et comportement différentiel, que les sujets de grandes écoles testent volontiers.
Asymptotes et développements limités : aller plus loin
Lire la précision de l'approche dans un DL
Lorsqu'on a identifié une asymptote grâce à un développement limité, ce même DL donne des informations bien plus riches sur la façon dont la courbe s'approche de son asymptote. Reprenons l'exemple f(x) = x * ln(1 + 1/x) en +infini. On a montré que f(x) = 1 - 1/(2x) + 1/(3x²) - ... La droite y = 1 est asymptote horizontale. Le terme suivant -1/(2x) nous dit que l'écart entre f(x) et son asymptote est équivalent à -1/(2x) pour x grand : c'est un équivalent de la différence. Cela permet de préciser la vitesse de convergence (f(x) s'approche de 1 avec une vitesse de l'ordre de 1/x), et le signe de la différence (la courbe est en dessous de son asymptote).
Cette lecture du DL au-delà du premier terme est systématiquement utile pour les études de fonctions complètes, où l'on attend non seulement l'équation de l'asymptote mais aussi la position de la courbe et son comportement local au voisinage de l'asymptote. C'est précisément ce niveau de précision qui distingue une réponse de lycée d'une réponse de prépa, et une copie correcte d'une copie excellente en concours.
Asymptotes et comparaison de fonctions
Les asymptotes s'inscrivent dans un cadre plus large : celui de la comparaison des fonctions à l'infini, au coeur duquel on trouve les notions d'équivalent, de négligeabilité et de domination. Savoir qu'une fonction admet une asymptote oblique y = ax + b revient à dire que f(x) - ax - b = o(1), c'est-à-dire que l'écart est négligeable devant 1. Si cet écart est en outre équivalent à c/x, on a une information encore plus précise. Cette hiérarchie des comparaisons (équivalent, grand O, petit o) est un outil fondamental de l'analyse en prépa, que l'étude des asymptotes illustre de façon concrète et pédagogique.
La maîtrise des asymptotes est donc indissociable de la maîtrise des développements limités et des comparaisons de fonctions. Ces trois outils forment un ensemble cohérent que les prépas scientifiques et économiques travaillent en profondeur dès la première année, et qui constitue un socle indispensable pour aborder les concours avec sérénité.
Méthode complète pour une étude d'asymptotes en concours
Les étapes à ne jamais sauter
Voici la démarche à suivre systématiquement pour traiter les asymptotes dans un sujet de concours. La première étape est de déterminer le domaine de définition de la fonction et d'identifier les points où elle n'est pas définie : ce sont les candidats naturels aux asymptotes verticales. Pour chaque candidat, il faut calculer la limite à gauche et à droite du point ; si l'une des limites est infinie (en valeur absolue), on conclut à une asymptote verticale et on précise si elle est de part et d'autre ou d'un seul côté.
La deuxième étape est l'étude en +infini et en -infini séparément. Pour chaque direction, on calcule d'abord f(x)/x. Si cette limite est nulle, on étudie directement f(x) pour chercher une asymptote horizontale. Si la limite est finie non nulle et vaut a, on calcule ensuite f(x) - ax pour chercher l'ordonnée à l'origine b. Si la limite de f(x) - ax est finie et vaut b, on conclut à une asymptote oblique y = ax + b. Si la limite est infinie, on est en présence d'une branche parabolique et il n'y a pas d'asymptote au sens strict.
La troisième étape, souvent oubliée, est l'étude de la position de la courbe par rapport à son asymptote : signe de f(x) - (ax + b) au voisinage de l'infini ou du point vertical. Cette étape est presque toujours demandée implicitement dans les sujets de concours, ne serait-ce que pour tracer un graphique cohérent.
Un exemple complet traité pas à pas
Traitons l'exemple f(x) = (2x² + 3x - 1) / (x - 1) sur son domaine de définition, qui est R privé de {1}.
En x = 1 : le numérateur vaut 2 + 3 - 1 = 4 (non nul), le dénominateur s'annule. Donc x = 1 est une asymptote verticale. f(x) tend vers +infini quand x tend vers 1+ (car le numérateur est positif et le dénominateur tend vers 0+), et vers -infini quand x tend vers 1- (dénominateur tend vers 0-).
En +infini et en -infini : f(x) / x = (2x² + 3x - 1) / (x(x-1)) = (2x² + 3x - 1) / (x² - x) qui tend vers 2. On calcule ensuite f(x) - 2x = (2x² + 3x - 1) / (x-1) - 2x = (2x² + 3x - 1 - 2x(x-1)) / (x-1) = (2x² + 3x - 1 - 2x² + 2x) / (x-1) = (5x - 1) / (x - 1), qui tend vers 5 en ±infini. L'asymptote oblique est donc y = 2x + 5. On aurait obtenu le même résultat plus rapidement par division euclidienne : 2x² + 3x - 1 = (x-1)(2x+5) + 4, d'où f(x) = 2x + 5 + 4/(x-1). La différence f(x) - (2x+5) = 4/(x-1), positive pour x > 1 et négative pour x < 1 : la courbe est au-dessus de son asymptote oblique pour x > 1 et en dessous pour x < 1.
