Le théorème de Pythagore : énoncé, démonstration et usages en prépa

Ce que recouvre le théorème de Pythagore

Le triangle rectangle, objet d'application

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c'est-à-dire un angle de 90 degrés. Cet angle droit est unique dans un triangle. La somme des trois angles vaut 180 degrés, donc deux angles droits sont impossibles. Les deux autres angles sont donc aigus et complémentaires.

Le sommet de l'angle droit joue un rôle particulier. Les deux côtés qui partent de ce sommet s'appellent les côtés de l'angle droit, ou côtés adjacents à l'angle droit. On les nomme parfois les cathètes, terme hérité du grec et encore utilisé dans plusieurs pays.

Le troisième côté porte un nom propre : l'hypoténuse. C'est le côté opposé à l'angle droit. Il est toujours le plus long des trois. Tu peux retenir ce repère visuel : l'hypoténuse est le côté qui ne touche pas le sommet de l'angle droit.

L'hypoténuse, le côté le plus long

Le fait que l'hypoténuse soit le plus grand côté n'est pas une convention. C'est une conséquence du théorème lui-même. Puisque c² = a² + b² avec a et b strictement positifs, on a c² > a² et c² > b². Les longueurs étant positives, il vient c > a et c > b.

Cette remarque sert de contrôle de cohérence. Si ton calcul donne une hypoténuse plus courte qu'un côté de l'angle droit, il y a une erreur. C'est l'un des premiers réflexes de relecture à installer.

Les conditions d'application, à vérifier avant tout calcul

Le théorème s'applique si et seulement si le triangle est rectangle. Rien d'autre n'est demandé. Il n'y a pas de condition sur la taille, l'orientation ou la nature des longueurs.

En revanche, l'angle droit doit être établi, pas supposé. Dans un énoncé, il peut être donné explicitement, marqué sur une figure, ou déduit d'une propriété. Un rectangle, un carré, une hauteur, une tangente à un cercle en son point de contact : autant de configurations qui fournissent un angle droit. Sans cette justification, le calcul n'a pas de valeur.

Un dernier point mérite attention. Le théorème appartient à la géométrie euclidienne. Dans les géométries non euclidiennes, par exemple sur une sphère, il cesse d'être vrai sous cette forme.

L'énoncé rigoureux et la formule a² + b² = c²

L'énoncé formel

Voici l'énoncé tel qu'on l'écrit proprement. Soit ABC un triangle rectangle en A. Alors les longueurs de ses côtés vérifient une égalité unique.

BC² = AB² + AC²

BC désigne la longueur de l'hypoténuse, le côté opposé au sommet A de l'angle droit. AB et AC désignent les longueurs des deux côtés de l'angle droit. Ces trois quantités sont des longueurs, exprimées dans la même unité, par exemple le centimètre ou le mètre. Leurs carrés s'expriment donc dans l'unité d'aire correspondante.

La formule avec a, b et c

La notation abrégée est la plus répandue. Elle demande une convention de nommage claire.

a² + b² = c²

Ici a est la longueur du premier côté de l'angle droit, b la longueur du second côté de l'angle droit, et c la longueur de l'hypoténuse. Les trois sont des nombres réels strictement positifs, dans la même unité de longueur. L'ordre de a et b n'a aucune importance, car l'addition est commutative. La place de c, en revanche, est imposée : c est toujours l'hypoténuse, donc toujours seule dans son membre.

C'est la source d'erreur la plus fréquente. Écrire a² + c² = b² revient à placer l'angle droit au mauvais sommet. Nomme d'abord l'hypoténuse, puis écris la formule.

Une lecture géométrique en termes d'aires

La formule parle de carrés de longueurs. Elle se lit donc comme une égalité d'aires. Construis un carré sur chacun des trois côtés du triangle, vers l'extérieur. Les deux carrés bâtis sur les côtés de l'angle droit ont, à eux deux, exactement la même aire que le carré bâti sur l'hypoténuse.

Cette lecture est celle des mathématiques grecques. Elle n'est pas un simple ornement. C'est elle qui rend la démonstration géométrique naturelle, comme tu vas le voir maintenant.

Une démonstration géométrique classique, détaillée

La figure de départ

Pars d'un triangle rectangle de côtés a et b, d'hypoténuse c. Construis un grand carré de côté a + b. Place sur chacun de ses quatre côtés une copie du triangle, de sorte que le côté de longueur a et le côté de longueur b se succèdent le long de chaque côté du grand carré.

Les quatre triangles sont disposés par rotations successives d'un quart de tour. Leurs hypoténuses dessinent alors un quadrilatère intérieur. Chacun de ses côtés mesure c.

Il reste à prouver que ce quadrilatère est un carré. En chaque sommet, deux angles aigus du triangle se rencontrent le long d'un côté du grand carré. Ces deux angles sont complémentaires, donc leur somme vaut 90 degrés. L'angle du quadrilatère vaut donc 180 moins 90, soit 90 degrés. Le quadrilatère a quatre côtés égaux et quatre angles droits : c'est un carré de côté c.

Le calcul des deux aires

Calcule maintenant l'aire du grand carré de deux façons. La première est directe.

A = (a + b)²

A est l'aire du grand carré, exprimée en unité d'aire, et a + b est la longueur de son côté. En développant, on obtient A = a² + 2ab + b².

La seconde décomposition additionne les morceaux de la figure. Le grand carré est la réunion du carré intérieur et des quatre triangles rectangles.

A = c² + 4 × (ab ÷ 2)

c² est l'aire du carré intérieur et ab ÷ 2 l'aire d'un triangle rectangle de côtés a et b. Cela donne A = c² + 2ab.

La conclusion et les autres voies

Les deux expressions décrivent la même aire. On écrit donc l'égalité, puis on simplifie.

a² + 2ab + b² = c² + 2ab ⇒ a² + b² = c²

Le terme 2ab se retire des deux membres, puisque a et b sont des réels. Il reste exactement la formule annoncée. La démonstration est terminée.

Cette preuve par découpage n'est pas la seule. Euclide établit le résultat dans la proposition 47 du livre I des Éléments, par une construction d'aires et des triangles de même aire. On démontre aussi le théorème par similitude, en abaissant la hauteur issue de l'angle droit, ou par le produit scalaire. Plusieurs centaines de démonstrations ont été publiées au cours des siècles.

Réciproque, contraposée et triplets pythagoriciens

La réciproque, pour prouver un angle droit

C'est ici que les élèves confondent le plus souvent. Le théorème et sa réciproque ne servent pas au même usage. Distingue le point de départ et le point d'arrivée.

Le théorème part d'un angle droit connu et donne une égalité de longueurs. La réciproque part d'une égalité de longueurs vérifiée et donne un angle droit. Voici son énoncé. Soit ABC un triangle tel que BC² = AB² + AC². Alors ABC est rectangle en A.

Retiens donc la règle d'usage. Tu utilises le théorème pour calculer une longueur. Tu utilises la réciproque pour démontrer qu'un triangle est rectangle. Un énoncé qui demande de prouver un angle droit attend la réciproque, jamais le théorème direct.

La contraposée, pour prouver qu'un triangle n'est pas rectangle

La contraposée du théorème direct dit ceci. Si l'égalité BC² = AB² + AC² n'est pas vérifiée, alors le triangle n'est pas rectangle en A. Elle est logiquement équivalente au théorème direct, donc elle ne demande aucune démonstration supplémentaire.

Son usage est précis. Elle sert à conclure par la négative, après un calcul qui ne tombe pas juste. Écrire que le triangle n'est pas rectangle demande de comparer le carré du plus grand côté à la somme des deux autres carrés.

Attention à l'ordre de la vérification. Il faut identifier d'abord le plus grand côté, puisque lui seul peut être l'hypoténuse. Si le carré du plus grand côté dépasse la somme des deux autres carrés, l'angle opposé est obtus. S'il est inférieur, cet angle est aigu. Le théorème d'Al-Kashi, présenté plus loin, explique pourquoi.

Les triplets pythagoriciens

Un triplet pythagoricien est un triplet d'entiers naturels strictement positifs (a, b, c) tel que a² + b² = c². Il correspond à un triangle rectangle dont les trois côtés ont des mesures entières.

Le plus connu est (3, 4, 5), car 9 + 16 = 25. Viennent ensuite (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) et (20, 21, 29). Tout multiple d'un triplet est encore un triplet, par exemple (6, 8, 10) ou (9, 12, 15). Un triplet dont les trois entiers sont premiers entre eux dans leur ensemble est dit primitif.

Ces triplets se décrivent entièrement. Pour m > n > 0 entiers, les nombres a = m² − n², b = 2mn et c = m² + n² forment un triplet. Le triplet est primitif lorsque m et n sont premiers entre eux et de parités différentes. Cette paramétrisation figure déjà, sous forme géométrique, dans le livre X des Éléments d'Euclide.

Calculer une longueur manquante : deux exemples résolus

Exemple 1 : calculer l'hypoténuse puis un côté de l'angle droit

Énoncé. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calcule BC. Puis, dans le triangle DEF rectangle en D, on sait que EF = 13 cm et DE = 5 cm. Calcule DF.

Première partie, premier sens du calcul. Le triangle ABC est rectangle en A, donc l'hypoténuse est BC. Le théorème de Pythagore donne BC² = AB² + AC². On remplace par les valeurs : BC² = 6² + 8². Donc BC² = 36 + 64 = 100. Comme BC est une longueur positive, BC = √100 = 10. L'hypoténuse mesure 10 cm. Contrôle : 10 est bien supérieur à 8 et à 6.

Seconde partie, sens inverse. Le triangle DEF est rectangle en D, donc l'hypoténuse est EF, le côté opposé à D. Le théorème donne EF² = DE² + DF². On isole l'inconnue : DF² = EF² − DE². On remplace : DF² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. Donc DF = √144 = 12. Le côté DF mesure 12 cm.

Retiens la différence des deux calculs. Pour l'hypoténuse, on additionne les carrés. Pour un côté de l'angle droit, on soustrait le carré de ce côté connu au carré de l'hypoténuse. L'écriture de la formule avant tout remplacement évite l'inversion.

Exemple 2 : appliquer la réciproque

Énoncé. Le triangle GHI vérifie GH = 9 cm, HI = 40 cm et GI = 41 cm. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Étape 1, identifier le plus grand côté. Comparons : 41 > 40 > 9. Le plus grand côté est GI. S'il existe un angle droit, son sommet est H, le sommet opposé à GI.

Étape 2, calculer le carré du plus grand côté. GI² = 41² = 1681.

Étape 3, calculer la somme des carrés des deux autres côtés. GH² + HI² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681.

Étape 4, comparer et conclure. On constate que GI² = GH² + HI², les deux membres valant 1681. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle GHI est rectangle en H. Noter le sommet est indispensable : une réponse qui dit seulement « rectangle » est incomplète.

Variante utile. Suppose maintenant GH = 9, HI = 40 et GI = 42. Alors GI² = 1764 et GH² + HI² = 1681. Les deux nombres diffèrent. D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle en H. Comme 1764 > 1681, l'angle en H est obtus.

Dans l'espace et dans un repère

La diagonale d'un pavé droit

Le théorème s'étend à l'espace par une double application. Considère un pavé droit de dimensions L, l et h. Sa grande diagonale D relie deux sommets opposés.

Applique d'abord le théorème dans le rectangle de base, pour obtenir la diagonale d de cette base : d² = L² + l². Applique-le ensuite dans le triangle rectangle formé par cette diagonale de base, l'arête verticale et la grande diagonale.

D² = L² + l² + h²

D est la longueur de la grande diagonale, L la longueur, l la largeur et h la hauteur du pavé, toutes dans la même unité. Pour un cube d'arête a, cela donne D = a√3. Les trois termes du second membre correspondent aux trois directions orthogonales de l'espace.

La distance entre deux points dans un repère

Place-toi dans un repère orthonormé du plan. Soit A de coordonnées (xA ; yA) et B de coordonnées (xB ; yB). Le segment AB est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont parallèles aux axes.

AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)

AB est la distance entre A et B, dans l'unité du repère. Les différences de coordonnées mesurent les déplacements horizontal et vertical. La formule de la distance n'est donc rien d'autre que le théorème de Pythagore, écrit en coordonnées.

Le repère doit être orthonormé pour que cette formule soit valable. Dans un repère quelconque, les axes ne sont pas perpendiculaires et le triangle n'est plus rectangle. En dimension 3, un troisième terme (zB − zA)² s'ajoute sous la racine.

Le théorème d'Al-Kashi, généralisation aux triangles quelconques

Pour un triangle sans angle droit, le théorème de Pythagore ne s'applique pas. La relation correcte porte en France le nom de théorème d'Al-Kashi, du nom du mathématicien persan Jamshid al-Kashi, actif au début du quinzième siècle. On la désigne ailleurs comme la loi des cosinus.

a² = b² + c² − 2bc cos(A)

a est la longueur du côté opposé au sommet A, b et c les longueurs des deux autres côtés, et A la mesure de l'angle au sommet A. Les longueurs sont dans la même unité, l'angle en degrés ou en radians selon la convention retenue.

Le lien avec Pythagore est immédiat. Si l'angle A est droit, alors cos(A) = 0 et le terme correctif disparaît. Il reste a² = b² + c². Le théorème de Pythagore est donc le cas particulier de la relation d'Al-Kashi pour un angle droit. Euclide énonçait déjà, dans les propositions 12 et 13 du livre II, deux résultats géométriques équivalents pour les angles obtus et aigus.

La forme utilisée en prépa : produit scalaire et espaces préhilbertiens

La traduction vectorielle

En prépa, le théorème change d'écriture. Il se formule avec le produit scalaire et la norme, dans un espace vectoriel euclidien. Soit u et v deux vecteurs. Le développement de la norme d'une somme s'écrit toujours de la même manière.

‖u + v‖² = ‖u‖² + 2⟨u, v⟩ + ‖v‖²

‖u‖ désigne la norme du vecteur u, c'est-à-dire sa longueur, et ⟨u, v⟩ le produit scalaire des vecteurs u et v. Ces quantités sont des réels, sans unité si les vecteurs sont adimensionnés.

L'orthogonalité de u et v se définit par ⟨u, v⟩ = 0. Sous cette hypothèse, le double produit disparaît.

u ⊥ v ⇔ ⟨u, v⟩ = 0 ⇒ ‖u + v‖² = ‖u‖² + ‖v‖²

Cette égalité est le théorème de Pythagore sous forme vectorielle. Le symbole ⊥ note l'orthogonalité. L'équivalence est vraie dans un espace préhilbertien réel : l'égalité des normes caractérise alors l'orthogonalité, ce qui redonne à la fois le théorème et sa réciproque.

La généralisation aux espaces préhilbertiens

Un espace préhilbertien réel est un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire, c'est-à-dire d'une forme bilinéaire symétrique définie positive. La norme associée est définie par ‖x‖ = √⟨x, x⟩. Aucune hypothèse de dimension finie n'est requise.

Dans ce cadre, le théorème s'énonce pour une famille finie. Si les vecteurs x₁, x₂, …, xₙ sont deux à deux orthogonaux, alors la norme de leur somme se calcule terme à terme.

‖x₁ + x₂ + … + xₙ‖² = ‖x₁‖² + ‖x₂‖² + … + ‖xₙ‖²

Les xᵢ sont des vecteurs de l'espace préhilbertien, deux à deux orthogonaux, et ‖xᵢ‖ la norme de chacun. C'est le théorème de Pythagore en dimension quelconque. La démonstration développe le produit scalaire de la somme par elle-même, puis annule tous les termes croisés.

Cette version a des conséquences directes. Elle donne la décomposition de la norme lors d'une projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Elle conduit aussi à l'inégalité de Bessel pour une famille orthonormale, et à l'égalité de Parseval dans le cas d'une base hilbertienne. Elle intervient aussi dans l'étude des séries de Fourier, où les fonctions trigonométriques forment une famille orthogonale pour un produit scalaire intégral.

Tableau récapitulatif des formes du théorème

Erreurs classiques, programme et histoire

Les erreurs qui coûtent des points en colle et en copie

La première erreur consiste à appliquer le théorème sans angle droit établi. Le correcteur attend une justification de l'angle droit avant tout calcul. Une figure qui en a l'air ne suffit pas.

La deuxième erreur place l'hypoténuse au mauvais endroit. Soustraire quand il faut additionner, ou l'inverse, change complètement le résultat. Identifie le sommet de l'angle droit, puis le côté opposé, avant d'écrire la formule.

La troisième erreur confond théorème, réciproque et contraposée dans la rédaction. Nommer explicitement l'outil utilisé est attendu. La quatrième erreur oublie le passage à la racine carrée, et laisse un carré dans la réponse.

En prépa, deux erreurs reviennent sur la forme vectorielle. L'une applique l'égalité des normes sans vérifier la nullité du produit scalaire. L'autre l'étend à une famille seulement libre, alors que l'orthogonalité deux à deux est indispensable. Une famille libre n'est pas orthogonale en général.

La place de la notion au programme et aux concours

Le théorème de Pythagore et sa réciproque sont des contenus du collège en France. Le théorème est généralement travaillé au cycle 4, et la réciproque y est également abordée. Pour la répartition exacte par niveau, les programmes publiés au Bulletin officiel par le ministère chargé de l'éducation nationale sont la référence à consulter.

Au lycée, la notion est réinvestie sous forme de distance dans un repère orthonormé, de produit scalaire et de trigonométrie. En classe préparatoire scientifique, les espaces préhilbertiens réels et euclidiens figurent au programme de mathématiques. Les programmes de première année de MPSI, PCSI, PTSI et MP2I ont été publiés au Bulletin officiel spécial numéro 1 du 11 février 2021, applicables à la rentrée 2021.

Aux concours, le théorème apparaît rarement comme question isolée. Il sert d'outil dans les calculs de distance, les projections orthogonales, les problèmes de minimisation et l'étude des séries de Fourier. Les rapports de jurys des banques d'épreuves signalent régulièrement les confusions sur l'orthogonalité, sans lesquelles ces calculs s'effondrent.

Avant Pythagore : les Babyloniens et les autres traditions

L'attribution du résultat à Pythagore pose un problème de datation. Pythagore de Samos vécut au sixième siècle avant notre ère. Or la relation entre les carrés des côtés d'un triangle rectangle était connue bien plus tôt, dans plusieurs civilisations.

La tablette babylonienne Plimpton 322, conservée à l'université Columbia, est datée par les spécialistes de la période paléo-babylonienne, aux alentours de 1800 avant notre ère. Elle contient des colonnes de nombres que les historiens interprètent comme des données liées à des triplets pythagoriciens. L'interprétation précise de son contenu et de sa fonction reste discutée entre historiens des mathématiques.

D'autres traditions attestent une connaissance ancienne. Les Sulba Sutras indiens énoncent la relation dans un contexte de constructions d'autels. Le texte chinois du Zhoubi Suanjing présente la règle dite du gougu, accompagnée d'une figure de découpage. Ces sources portent sur des cas et des usages, pas sur une démonstration générale au sens grec.

Ce qui est attribué à Pythagore et ce qui ne l'est pas

Aucun écrit de Pythagore ne nous est parvenu. Les témoignages qui lui attribuent le théorème sont postérieurs de plusieurs siècles, et les historiens les traitent avec prudence. Ce que la tradition lui attribue, ou attribue à son école, c'est l'idée d'une démonstration générale, valable pour tout triangle rectangle.

La première démonstration écrite dont nous disposons est celle d'Euclide, vers 300 avant notre ère. Elle figure au livre I des Éléments, proposition 47, suivie de la réciproque à la proposition 48. C'est ce texte qui fixe la forme classique du résultat.

Le nom du théorème relève donc de l'usage historique, pas d'une attribution vérifiée. Dire que la relation est antérieure à Pythagore est établi. Dire précisément qui l'a démontrée le premier ne l'est pas.