La loi binomiale : cours, formule et exemples corrigés

La loi binomiale, c'est quoi ? L'idée intuitive

L'idée derrière la loi binomiale est simple : on répète un certain nombre de fois une même épreuve qui n'a que deux résultats possibles, et on s'intéresse au nombre total de réussites. Combien de piles sur 10 lancers ? Combien de pièces défectueuses dans un lot de 20 ? Combien de bonnes réponses sur un QCM répondu au hasard ? Toutes ces questions relèvent de la loi binomiale.

Les conditions d'application : le schéma de Bernoulli

Avant d'utiliser la loi binomiale, il faut vérifier qu'on est bien dans un schéma de Bernoulli. Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : le succès, de probabilité p, et l'échec, de probabilité 1 − p (souvent noté q).

Un schéma de Bernoulli consiste à répéter cette épreuve n fois, avec deux conditions essentielles :

• les épreuves sont identiques (même probabilité de succès p à chaque fois) ;

• les épreuves sont indépendantes (le résultat de l'une n'influence pas les autres).

Si la variable aléatoire X compte le nombre de succès au cours de ces n épreuves, alors X suit la loi binomiale de paramètres n et p, ce qu'on note X ~ B(n, p). Retenir ces conditions est la clé : sans indépendance ni épreuves identiques, ce n'est pas une loi binomiale.

La formule de la loi binomiale expliquée terme par terme

La formule centrale de la loi binomiale donne la probabilité d'obtenir exactement k succès :

P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Décortiquons chaque terme de cette formule de la loi binomiale :

• pᵏ : la probabilité d'obtenir k succès (chacun de probabilité p) ;

• (1 − p)ⁿ⁻ᵏ : la probabilité d'obtenir les n − k échecs restants ;

• C(n, k) : le coefficient binomial « k parmi n », qui compte le nombre de façons de placer ces k succès parmi les n épreuves. Il se calcule par C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!).

Sans le coefficient binomial, on oublierait toutes les façons d'ordonner les succès : c'est l'élément qui distingue la loi binomiale d'un simple produit de probabilités.

Espérance et variance de la loi binomiale

Deux résultats sont à connaître par cœur pour la loi binomiale X ~ B(n, p) :

• Espérance : E(X) = n × p — le nombre moyen de succès attendu.

• Variance : V(X) = n × p × (1 − p) — et donc l'écart-type σ(X) = √(n p (1 − p)).

Par exemple, sur 10 lancers d'une pièce équilibrée (p = 0,5), l'espérance de la loi binomiale vaut E(X) = 10 × 0,5 = 5 : on attend 5 piles en moyenne. C'est cohérent avec l'intuition.

Exemples corrigés de la loi binomiale

Exemple 1 — Lancers de pièce. On lance 10 fois une pièce équilibrée (p = 0,5). Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 6 piles ? Ici X ~ B(10 ; 0,5), et avec la formule de la loi binomiale :
P(X = 6) = C(10, 6) × 0,5⁶ × 0,5⁴ = 210 × 0,5¹⁰ = 210 / 1024 ≈ 0,205, soit environ 20,5 %.

Exemple 2 — Contrôle qualité. Une usine produit des pièces dont 3 % sont défectueuses (p = 0,03). On prélève un échantillon de 20 pièces. Quelle est la probabilité d'en trouver exactement une défectueuse ? On a X ~ B(20 ; 0,03), donc :
P(X = 1) = C(20, 1) × 0,03¹ × 0,97¹⁹ = 20 × 0,03 × 0,97¹⁹ ≈ 0,34, soit environ 34 %. En moyenne, on attend E(X) = 20 × 0,03 = 0,6 pièce défectueuse.

Exemple 3 — QCM au hasard. Un QCM comporte 5 questions, chacune avec 4 propositions (une seule correcte, p = 0,25). Un élève répond totalement au hasard. Probabilité d'avoir exactement 2 bonnes réponses ? Avec X ~ B(5 ; 0,25) :
P(X = 2) = C(5, 2) × 0,25² × 0,75³ = 10 × 0,0625 × 0,421875 ≈ 0,26, soit environ 26 %.

Erreurs fréquentes avec la loi binomiale

Plusieurs pièges reviennent souvent autour de la loi binomiale :

• Oublier le coefficient binomial C(n, k) : c'est l'erreur la plus classique. Sans lui, on ne compte pas toutes les configurations possibles.

• Confondre p et 1 − p : bien identifier ce qui est le « succès ».

• Appliquer la loi binomiale alors que les épreuves ne sont pas indépendantes : par exemple, un tirage sans remise ne relève pas de la loi binomiale, mais d'une autre loi.

• Confondre « exactement k », « au moins k » et « au plus k » : ces formulations exigent parfois d'additionner plusieurs probabilités.

Loi binomiale et calculatrice

À la calculatrice, deux fonctions font gagner un temps précieux pour la loi binomiale : la fonction de type binomiale (densité) donne directement P(X = k), et la fonction binomiale cumulée donne P(X ≤ k). Ces outils sont particulièrement utiles pour les calculs « au moins » et « au plus », où l'on cumule de nombreux termes de la loi binomiale.

Lien avec le programme de prépa

À l'entrée en prépa (ECG comme filière scientifique), la loi binomiale est un prérequis attendu. On la retrouve ensuite enrichie : variables aléatoires discrètes, espérance et variance, puis approximations de la loi binomiale (par la loi de Poisson ou la loi normale) et liens avec la loi des grands nombres. Une base solide dès le lycée facilite donc énormément la suite.