Convergence d'une suite et d'une série : cours et méthode

La convergence d'une suite

Une suite (uₙ) converge vers un réel L si ses termes se rapprochent aussi près que l'on veut de L à partir d'un certain rang. Formellement : pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que, pour tout n ≥ N, on ait |uₙ − L| < ε. On note alors lim uₙ = L. Une suite qui n'admet pas de limite finie est dite divergente : elle peut tendre vers l'infini, ou bien osciller sans se stabiliser.

Par exemple, la suite uₙ = 1/n converge vers 0, tandis que uₙ = (−1)ⁿ diverge, car elle oscille indéfiniment entre −1 et 1. La suite uₙ = n, elle, diverge vers +∞. Comprendre cette définition est essentiel : tous les théorèmes qui suivent ne sont que des moyens d'établir une convergence sans revenir à cette formulation avec ε, souvent lourde à manipuler.

Les théorèmes utiles pour les suites

Plusieurs outils permettent de prouver une convergence rapidement.

Le théorème d'encadrement (ou « théorème des gendarmes ») : si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ à partir d'un certain rang, et si vₙ et wₙ tendent vers la même limite L, alors uₙ tend aussi vers L. Exemple : puisque −1/n ≤ sin(n)/n ≤ 1/n, et que ±1/n → 0, on conclut que sin(n)/n → 0.

Le théorème de la limite monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Ce résultat est puissant car il garantit l'existence d'une limite sans la calculer explicitement. C'est ainsi que la suite (1 + 1/n)ⁿ, croissante et majorée, converge — vers le nombre e.

S'ajoutent les opérations sur les limites (somme, produit, quotient, sous réserve des formes indéterminées) et le cas des suites adjacentes : deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, dont la différence tend vers 0, convergent vers une même limite commune. Ces outils couvrent l'immense majorité des situations rencontrées.

La convergence d'une série

Une série de terme général uₙ est la somme « infinie » u₀ + u₁ + u₂ + … On ne peut pas additionner une infinité de termes directement : on étudie donc la suite de ses sommes partielles, définie par Sₙ = u₀ + u₁ + … + uₙ. La série converge si la suite (Sₙ) converge ; sa limite est alors appelée la somme de la série. Dans le cas contraire, la série diverge.

Le point clé à retenir est donc le suivant : étudier une série, c'est étudier la convergence de la suite de ses sommes partielles. Suite et série sont deux questions distinctes, reliées par cette construction. Confondre les deux est la source d'erreur la plus fréquente, on y revient plus bas.

La condition nécessaire et les séries de référence

Un résultat essentiel encadre l'étude des séries : si la série de terme général uₙ converge, alors uₙ tend vers 0. C'est une condition nécessaire. Attention, la réciproque est fausse : ce n'est pas parce que uₙ → 0 que la série converge. En pratique, cette condition sert surtout en contraposée : si uₙ ne tend pas vers 0, la série diverge à coup sûr (on parle de divergence grossière).

Les séries de référence à connaître par cœur :

• La série géométrique de raison q converge si et seulement si |q| < 1. Sa somme, à partir de n = 0, vaut alors 1/(1 − q). Par exemple, la somme des (1/2)ⁿ vaut 1/(1 − 1/2) = 2.

• La série de Riemann de terme 1/nᵅ converge si et seulement si α > 1. Ainsi, la série des 1/n² converge, tandis que celle des 1/√n diverge.

• La série harmonique, de terme 1/n, diverge, alors même que 1/n → 0. C'est le contre-exemple fondamental qui montre que la condition nécessaire n'est pas suffisante.

Exemples corrigés

Exemple 1. La suite uₙ = (2n + 1)/(n + 3) converge-t-elle ? On divise numérateur et dénominateur par n : uₙ = (2 + 1/n)/(1 + 3/n). Quand n → +∞, cela tend vers 2/1 = 2. La suite converge vers 2.

Exemple 2. La série de terme 1/2ⁿ converge-t-elle ? C'est une série géométrique de raison 1/2 ; comme |1/2| < 1, elle converge, et sa somme vaut 1/(1 − 1/2) = 2.

Exemple 3. La série de terme 1/n converge-t-elle ? Non : c'est la série harmonique, qui diverge, bien que son terme général tende vers 0. C'est l'illustration directe de l'écart entre « le terme tend vers 0 » et « la série converge ».

Exemple 4. La série de terme 1/n² converge-t-elle ? Oui : c'est une série de Riemann avec α = 2 > 1, donc elle converge (sa somme vaut d'ailleurs π²/6, résultat classique).

Erreurs fréquentes

Trois confusions reviennent sans cesse. La première est de confondre la convergence de la suite (uₙ) et celle de la série Σuₙ : ce sont deux questions différentes, reliées par les sommes partielles. La deuxième est de croire que uₙ → 0 suffit pour que la série converge — la série harmonique prouve définitivement le contraire. La troisième est d'appliquer un théorème sans en vérifier les hypothèses : signe des termes, monotonie, validité de l'encadrement à partir d'un certain rang. Un théorème mal appliqué donne une conclusion fausse, même si le calcul qui suit est juste.