La diffraction : principe, formules et applications en prépa

Ce que recouvre la diffraction

Un phénomène ondulatoire général

La diffraction désigne l'ensemble des écarts à la propagation rectiligne qu'une onde subit au voisinage d'un obstacle. Elle apparaît dès qu'une onde est limitée dans l'espace, par une fente, un bord d'écran, un fil ou une pupille.

L'optique géométrique prévoit une ombre nette derrière un diaphragme. L'expérience montre autre chose. La lumière déborde dans la zone d'ombre géométrique, et la frontière devient une alternance de zones claires et sombres.

Ce désaccord n'est pas une anomalie expérimentale. Il marque la limite de validité de l'optique géométrique. Dès que les dimensions en jeu approchent la longueur d'onde, le modèle du rayon lumineux cesse de suffire.

La condition d'observation

Un effet de diffraction devient visible quand la dimension de l'ouverture est du même ordre que la longueur d'onde. Le rapport λ/a gouverne tout. S'il est très petit devant 1, l'étalement reste imperceptible et l'optique géométrique redevient commode.

Pour la lumière visible, λ vaut quelques centaines de nanomètres. Une fente d'un dixième de millimètre donne déjà un étalement mesurable sur un écran éloigné. Une porte de 80 cm ne diffracte pas la lumière de façon visible.

Pour le son, la situation s'inverse. Un son de 340 Hz a une longueur d'onde voisine de 1 m dans l'air. Il contourne donc largement une porte, ce qui explique que tu entendes une conversation sans voir la pièce.

Toutes les ondes sont concernées

Les vagues qui franchissent la passe d'un port s'étalent en arcs de cercle derrière l'ouverture. Les ondes radio contournent les reliefs d'autant mieux que leur longueur d'onde est grande. Les rayons X se diffractent sur les plans d'un cristal.

La matière aussi. Les expériences de diffraction d'électrons menées à partir de 1927 par Davisson et Germer, puis par George Paget Thomson, ont montré qu'un faisceau d'électrons produit des figures analogues. Ce résultat a appuyé l'hypothèse de Louis de Broglie sur la dualité onde-corpuscule.

Retiens donc une formulation large. La diffraction est une signature du caractère ondulatoire, quelle que soit la nature physique de l'onde.

Définition rigoureuse et principe de Huygens-Fresnel

L'énoncé du principe

Le principe de Huygens-Fresnel fournit le cadre de calcul. Chaque point d'une surface d'onde atteinte par la lumière se comporte comme une source secondaire. Ces sources émettent des ondelettes cohérentes entre elles, en phase avec l'onde incidente et d'amplitude proportionnelle à l'élément de surface.

L'amplitude en un point d'observation s'obtient en sommant les contributions de toutes ces sources secondaires. La figure observée résulte donc d'interférences entre une infinité d'ondelettes issues de l'ouverture.

Christiaan Huygens a posé l'idée des ondelettes au XVIIe siècle. Augustin Fresnel y a ajouté au début du XIXe siècle la cohérence et la sommation des amplitudes, ce qui rend le principe prédictif.

Diffraction de Fresnel et diffraction de Fraunhofer

Deux régimes se distinguent selon la distance d'observation. En diffraction de Fresnel, l'écran est proche de l'ouverture et les fronts d'onde restent courbes. Les calculs sont lourds et la figure dépend fortement de la distance.

En diffraction de Fraunhofer, source et écran sont rejetés à l'infini, en pratique au moyen de lentilles ou d'une grande distance. Les ondes incidente et diffractée sont alors planes. C'est ce régime, dit à l'infini, qui est au programme des classes préparatoires scientifiques.

Le critère pratique utilise le nombre de Fresnel. On compare a² à λD, où a est la dimension de l'ouverture et D la distance d'observation. Si a² ≪ λD, le régime de Fraunhofer s'applique.

La définition à retenir

La diffraction est la modification de la répartition spatiale de l'énergie d'une onde provoquée par la limitation de son front d'onde par une ouverture ou un obstacle.

Dans cette formulation, l'énergie n'est ni créée ni détruite. Elle est redistribuée dans des directions que l'optique géométrique n'autorisait pas. La puissance totale reçue sur l'écran reste celle transmise par l'ouverture.

Cette définition évite une erreur fréquente. La diffraction ne consiste pas à dévier un rayon unique, mais à recomposer une onde à partir de toutes les contributions issues de l'ouverture.

La figure de diffraction par une fente rectiligne

Ce que l'on observe

Place une fente fine verticale devant un laser, puis un écran à quelques mètres. La figure obtenue est horizontale, perpendiculaire à la fente. Elle se compose d'une tache centrale très lumineuse, encadrée de taches secondaires séparées par des extinctions.

La tache centrale est deux fois plus large que chacune des taches secondaires. Elle concentre l'essentiel de l'énergie. L'intensité du premier maximum secondaire ne dépasse pas quelques pour cent de l'intensité centrale.

Un point surprend souvent en colle. Plus la fente est fine, plus la figure est large. L'étalement et la largeur de l'ouverture varient en sens inverse.

La répartition d'intensité

Dans le cadre de Fraunhofer, l'intensité diffractée par une fente de largeur a s'écrit sous forme d'un sinus cardinal au carré.

I(θ) = I₀ × [sin(u)/u]², avec u = π a sin θ / λ

Ici I(θ) est l'intensité dans la direction θ, en watts par mètre carré. I₀ est l'intensité au centre de la figure, dans la même unité. La largeur a de la fente et la longueur d'onde λ s'expriment en mètres, et l'angle θ en radians.

La fonction sin(u)/u vaut 1 quand u tend vers 0, ce qui donne bien le maximum central. Elle s'annule pour tout u multiple entier non nul de π.

La position des minima

L'annulation de l'intensité se traduit par une condition simple sur l'angle.

sin θₖ = k λ / a, avec k entier relatif non nul

θₖ est l'angle du k-ième minimum en radians, k l'ordre du minimum sans unité, λ la longueur d'onde en mètres et a la largeur de la fente en mètres.

Le premier minimum correspond à k = 1. La tache centrale s'étend donc entre les angles −λ/a et +λ/a dans l'approximation des petits angles. Sa demi-largeur angulaire vaut λ/a, et sa largeur angulaire totale 2λ/a.

Les maxima secondaires ne sont pas exactement au milieu des minima. Ils se situent près des solutions de tan u = u. Cette nuance est rarement exigée, mais elle montre que la formule des minima est la seule à mémoriser.

L'écart angulaire θ ≈ λ/a et la largeur de la tache centrale

La relation fondamentale

La relation la plus utilisée en prépa et au lycée est l'écart angulaire caractéristique.

θ ≈ λ / a

θ est la demi-largeur angulaire de la tache centrale en radians, λ la longueur d'onde de l'onde incidente en mètres et a la largeur de la fente en mètres. Les deux longueurs doivent être exprimées dans la même unité.

Cette écriture suppose deux choses. D'abord l'approximation des petits angles, qui autorise sin θ ≈ θ. Ensuite le régime de Fraunhofer, c'est-à-dire une observation à grande distance ou au foyer d'une lentille.

Quand λ/a n'est plus petit devant 1, la relation exacte sin θ = λ/a reprend ses droits. Pour λ/a supérieur à 1, aucun minimum n'existe : la lumière est diffractée dans tout le demi-espace.

La largeur sur l'écran

Sur un écran placé à la distance D de la fente, la demi-largeur linéaire de la tache centrale vaut D tan θ, soit D θ dans l'approximation des petits angles.

L = 2 λ D / a

L est la largeur totale de la tache centrale en mètres, λ la longueur d'onde en mètres, D la distance fente-écran en mètres et a la largeur de la fente en mètres. Le facteur 2 traduit la symétrie de la figure.

Cette formule sert de base aux mesures expérimentales. En traçant L en fonction de 1/a à λ et D fixés, tu obtiens une droite dont le coefficient directeur vaut 2λD. C'est une méthode classique de mesure de longueur d'onde en travaux pratiques.

Tableau récapitulatif des formules

Un exemple entièrement résolu

L'énoncé

Une fente rectiligne de largeur a = 0,10 mm est éclairée sous incidence normale par un laser hélium-néon de longueur d'onde λ = 633 nm. L'écran est placé à D = 2,0 m de la fente, parallèlement à celle-ci.

On demande la demi-largeur angulaire de la tache centrale, la largeur totale de cette tache sur l'écran, puis la position du deuxième minimum.

La résolution pas à pas

Première étape : convertir en unités du système international. On a a = 0,10 mm = 1,0 × 10⁻⁴ m et λ = 633 nm = 6,33 × 10⁻⁷ m. La distance D vaut déjà 2,0 m.

Deuxième étape : vérifier le régime. On compare a² = 1,0 × 10⁻⁸ m² au produit λD = 1,27 × 10⁻⁶ m². Le rapport vaut environ 0,008, donc a² ≪ λD et le régime de Fraunhofer s'applique.

Troisième étape : calculer l'écart angulaire. On applique θ ≈ λ/a, soit θ ≈ 6,33 × 10⁻⁷ / 1,0 × 10⁻⁴. On trouve θ ≈ 6,3 × 10⁻³ rad, soit environ 0,36 degré.

Quatrième étape : vérifier la validité des petits angles. L'angle trouvé est très inférieur à 0,1 rad. L'approximation sin θ ≈ tan θ ≈ θ est donc légitime, avec une erreur relative inférieure à 10⁻⁵.

Cinquième étape : calculer la largeur de la tache centrale. On applique L = 2λD/a, soit L = 2 × 6,33 × 10⁻⁷ × 2,0 / 1,0 × 10⁻⁴. On obtient L = 2,5 × 10⁻² m, soit 2,5 cm.

Sixième étape : placer le deuxième minimum. Il vérifie sin θ₂ = 2λ/a, donc θ₂ ≈ 1,27 × 10⁻² rad. Sa position sur l'écran vaut x₂ = D θ₂ ≈ 2,5 × 10⁻² m, c'est-à-dire 2,5 cm du centre.

La vérification par les ordres de grandeur

Une tache centrale de 2,5 cm à 2,0 m est parfaitement observable à l'œil nu. Le résultat est donc cohérent avec l'expérience de travaux pratiques correspondante.

Teste aussi la dépendance. Si tu divises a par deux, L double. Si tu passes à un laser vert de 532 nm, L diminue dans le rapport 532/633, soit environ 2,1 cm. Ces vérifications rapides repèrent une erreur de calcul en quelques secondes.

Enfin, surveille les chiffres significatifs. Les données en comportent deux, donc le résultat s'écrit 2,5 cm et non 2,532 cm.

Trou circulaire, tache d'Airy et critère de Rayleigh

La tache d'Airy

Remplace la fente par un trou circulaire de diamètre D_p. La figure devient un disque central brillant entouré d'anneaux concentriques. Ce disque porte le nom de tache d'Airy, d'après George Biddell Airy qui en a établi la description au XIXe siècle.

Le calcul fait intervenir une fonction de Bessel et non un sinus cardinal. Le premier anneau sombre se place à un angle donné par une relation voisine de celle de la fente, au facteur numérique près.

sin θ₁ = 1,22 λ / D_p

θ₁ est le rayon angulaire de la tache d'Airy en radians, λ la longueur d'onde en mètres et D_p le diamètre de l'ouverture circulaire en mètres. Le coefficient 1,22 provient du premier zéro de la fonction de Bessel d'ordre un.

Le critère de Rayleigh

Tout instrument d'optique possède une pupille d'entrée de diamètre fini. Son image d'un point source n'est donc jamais un point, mais une tache d'Airy. Deux points voisins donnent deux taches qui peuvent se recouvrir.

Le critère de Rayleigh, proposé par John William Strutt, fixe une convention de séparation. Deux points sont jugés séparés quand le maximum de la tache de l'un coïncide avec le premier minimum de la tache de l'autre.

θ_min = 1,22 λ / D_p

θ_min est le pouvoir séparateur angulaire en radians, λ la longueur d'onde en mètres et D_p le diamètre de la pupille en mètres. Plus la pupille est grande, plus l'instrument sépare des détails fins.

Une application chiffrée

Prends un télescope spatial dont le miroir primaire mesure 2,4 m de diamètre, comme celui du télescope spatial Hubble exploité par la NASA et l'ESA depuis 1990. Pour λ = 550 nm, on calcule θ_min = 1,22 × 5,50 × 10⁻⁷ / 2,4.

Le résultat vaut environ 2,8 × 10⁻⁷ rad. Converti en secondes d'arc, cela donne à peu près 0,06 seconde d'arc. Ce chiffre explique pourquoi l'augmentation du diamètre reste le levier principal des grands instruments.

Le même raisonnement vaut en radioastronomie. Les longueurs d'onde y sont métriques, donc la résolution exige des antennes de très grand diamètre ou des réseaux d'antennes combinés par interférométrie.

Diffraction, interférences, fentes de Young et réseau

La distinction à maîtriser

C'est la confusion la plus fréquente en copie. La diffraction résulte de l'interférence des ondelettes issues d'une même ouverture continue. Les interférences, au sens restreint du cours, résultent de la superposition d'ondes issues de sources distinctes et cohérentes.

La diffraction dépend de la largeur a de l'ouverture. Les interférences dépendent de la distance b entre les ouvertures. Les deux phénomènes ont la même origine physique, mais pas les mêmes paramètres.

Une autre différence saute aux yeux sur l'écran. Une figure de diffraction par fente unique a des franges d'intensité très inégale. Une figure d'interférences à deux ondes présente des franges d'intensité régulière.

Les fentes de Young : la superposition des deux

L'expérience des fentes de Young, menée par Thomas Young au début du XIXe siècle, combine les deux effets. Chaque fente diffracte, et les deux faisceaux diffractés interfèrent.

L'intensité s'écrit comme le produit de deux termes. Le terme de diffraction, en [sin(u)/u]², dépend de a et joue le rôle d'enveloppe. Le terme d'interférence, en cos², dépend de l'écart b entre les fentes et crée les franges fines.

L'interfrange vaut i = λD/b, où i est l'interfrange en mètres, λ la longueur d'onde en mètres, D la distance écran-fentes en mètres et b l'écart entre les fentes en mètres. L'enveloppe de diffraction module l'amplitude de ces franges.

Un effet remarquable en découle. Certaines franges d'interférence disparaissent si elles tombent sur un zéro de diffraction. On parle alors d'ordres manquants, obtenus quand le rapport b/a est entier.

Le réseau de diffraction et la formule des réseaux

Un réseau de diffraction est une succession régulière de fentes ou de traits gravés. Son pas d est la distance entre deux motifs consécutifs. On le caractérise souvent par le nombre n de traits par millimètre, avec d = 1/n.

Sous incidence normale, les directions de maximum vérifient la formule des réseaux.

d sin θ_p = p λ

d est le pas du réseau en mètres, θ_p l'angle du maximum d'ordre p en radians, p un entier relatif sans unité et λ la longueur d'onde en mètres. Sous incidence oblique i, la relation devient d (sin θ_p − sin i) = p λ.

Le réseau disperse la lumière. Pour un ordre p non nul, l'angle dépend de λ, donc les couleurs se séparent. C'est le principe des spectroscopes à réseau, qui offrent un pouvoir de résolution supérieur à celui d'un prisme de taille comparable.

Rayons X, loi de Bragg, applications et pièges

La loi de Bragg

Les distances entre plans atomiques d'un cristal valent quelques dixièmes de nanomètre. Les rayons X ont des longueurs d'onde du même ordre. Un cristal se comporte donc comme un réseau tridimensionnel pour ces rayonnements.

2 d_hkl sin θ = n λ

d_hkl est la distance entre deux plans réticulaires voisins, en mètres. L'angle θ sépare le faisceau incident du plan réticulaire, en radians. L'entier n est l'ordre de diffraction, sans unité, et λ la longueur d'onde des rayons X en mètres. Attention : θ se mesure ici par rapport au plan, pas à sa normale.

Cette relation a été établie par William Henry Bragg et William Lawrence Bragg dans les années 1910. Elle fonde la cristallographie moderne, qui déduit la structure atomique d'un solide à partir de ses figures de diffraction.

Les applications

En microscopie optique, la diffraction fixe la limite de résolution. Elle interdit de distinguer des détails nettement plus petits que la longueur d'onde utilisée, ce qui a motivé le développement des microscopes électroniques et des techniques de super-résolution.

En spectroscopie, le réseau sépare les longueurs d'onde émises ou absorbées par un échantillon. L'analyse des raies renseigne sur la composition chimique, y compris celle d'étoiles lointaines.

En radioastronomie, le pouvoir séparateur limité impose l'interférométrie à très longue base. En cristallographie, la diffraction des rayons X a permis de déterminer la structure de très nombreuses molécules. Celle de l'ADN a été établie à partir des clichés obtenus par Rosalind Franklin et Raymond Gosling, au début des années 1950.

Les erreurs classiques en colle et en copie

La première erreur consiste à confondre demi-largeur et largeur totale de la tache centrale. L'écart angulaire θ ≈ λ/a donne la demi-largeur. La largeur vaut 2λD/a sur l'écran.

La deuxième erreur porte sur les unités. Mélanger des nanomètres et des millimètres dans λ/a fausse le résultat de plusieurs ordres de grandeur. Convertis toujours en mètres avant de calculer.

La troisième erreur confond la largeur a de la fente et l'écart b entre deux fentes. La quatrième oublie de justifier l'approximation des petits angles. La cinquième applique la formule de Bragg avec l'angle mesuré depuis la normale au plan.

La place au programme et aux concours

Les programmes de physique des classes préparatoires scientifiques ont été publiés au Bulletin officiel spécial n°1 du 11 février 2021 pour la première année, puis complétés pour la seconde année. La diffraction y figure au titre de l'optique ondulatoire et des ondes, selon des modalités qui varient entre MPSI, PCSI, PTSI, BCPST et TSI.

Au lycée, la diffraction est abordée en enseignement scientifique et en spécialité physique-chimie, avec la relation θ ≈ λ/a et l'étude expérimentale de la tache centrale. Vérifie le détail exact du programme de ta filière sur les textes publiés au Bulletin officiel et sur les pages du ministère chargé de l'enseignement supérieur.

Aux concours, la diffraction apparaît surtout en support d'un problème d'optique ondulatoire ou d'un sujet de travaux pratiques. Les questions portent souvent sur une mesure de longueur d'onde, un pouvoir séparateur ou l'exploitation d'un réseau.