L’intégration par parties : outil fondamental du calcul intégral

Origine et démonstration de la formule

Point de départ : la dérivation d’un produit

On part de la formule fondamentale de dérivation d’un produit de fonctions dérivables :

Cette identité algébrique est la clé de toute la méthode. En intégrant cette relation sur un intervalle , on obtient :

Or, d’après le théorème fondamental de l’analyse :

On en déduit alors la formule d’intégration par parties :

Dans le cas des intégrales indéfinies, la formule s’écrit :

Cette relation permet de “transférer” la dérivation d’une fonction vers une autre.

Interprétation de la formule

L’idée centrale est stratégique. Lorsqu’une intégrale contient un produit de deux fonctions, on choisit de dériver celle qui devient plus simple après dérivation et d’intégrer celle qui reste maîtrisable.

L’efficacité de la méthode dépend entièrement de ce choix.

Méthodologie et stratégie de choix

Le principe fondamental

Soit une intégrale de la forme :

On pose généralement :

La difficulté réside dans le choix de u. En pratique, on choisit comme u une fonction qui simplifie lorsqu’on la dérive. Les fonctions polynomiales sont des candidates idéales, car leur degré diminue à chaque dérivation.

Cas classiques en prépa

L’intégration par parties est particulièrement efficace dans les situations suivantes.

Lorsque l’intégrale contient un produit d’un polynôme et d’une fonction exponentielle ou trigonométrique, la dérivation successive du polynôme conduit rapidement à zéro.

Lorsque l’intégrale contient un logarithme ou une fonction inverse, on choisit généralement cette fonction comme u, car sa dérivée est plus simple.

Lorsque l’intégrale contient un facteur x multiplié par une fonction complexe, le choix u = x est souvent pertinent.

La méthode repose donc sur l’analyse structurelle de l’intégrale.

Exemples fondamentaux

Intégrale d’un produit polynomial-exponentiel

Calculons :

On pose :

On obtient :

La formule donne :

On en déduit :

Le calcul est immédiat une fois la stratégie adoptée.

Intégrale d’un logarithme

Calculons :

On écrit implicitement :

On pose :

Alors :

La formule donne :

On simplifie :

Cet exemple illustre parfaitement la puissance de la méthode.

Intégration par parties répétée

Principe de récurrence

Dans certains cas, une seule application ne suffit pas. On applique alors la méthode plusieurs fois successivement. C’est notamment le cas pour :

À chaque étape, le degré du polynôme diminue jusqu’à disparition complète.

Apparition d’une équation intégrale

Dans certaines intégrales trigonométriques, la méthode conduit à retrouver l’intégrale initiale. On obtient alors une équation que l’on résout algébriquement.

Par exemple, pour

Deux intégrations successives conduisent à une relation contenant l’intégrale de départ, ce qui permet de l’isoler.

Cette technique est fréquente en classes préparatoires scientifiques.

Applications aux intégrales impropres et aux probabilités

L’intégration par parties intervient dans l’étude des intégrales impropres, notamment pour établir la convergence de certaines intégrales.

Elle apparaît également dans la démonstration de propriétés liées à l’espérance mathématique des variables continues, où l’on transforme des expressions du type :

La méthode joue donc un rôle transversal en analyse et en probabilités.