Intégration par parties : formule, méthode et exemples corrigés
L'intégration par parties est la technique qui débloque toutes les intégrales que le calcul direct refuse de livrer.
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L'intégration par parties est la technique qui débloque toutes les intégrales que le calcul direct refuse de livrer. Dès qu'un intégrande est un produit de deux fonctions de natures différentes — un polynôme multiplié par une exponentielle, un logarithme isolé, une fonction affine par un sinus —, chercher une primitive « à vue » devient illusoire. La formule d'intégration par parties transforme alors le problème : elle échange l'intégrale de départ contre une autre, plus simple, en faisant glisser la dérivation d'un facteur sur l'autre.
Son principe tient en une ligne, directement issue de la dérivée d'un produit, mais toute la difficulté est pratique : bien choisir quel facteur dériver et quel facteur intégrer. Un mauvais choix complique l'intégrale au lieu de la simplifier ; le bon choix la fait tomber en deux lignes. Ce cours détaille la démonstration de la formule, ses deux formes (intégrale définie et primitive), la méthode de choix de u et v', et quatre exemples corrigés types, avant de recenser les erreurs qui coûtent le plus de points.
En bref, avant de commencer La formule de l'intégration par parties s'écrit ∫ u(x)·v'(x) dx = [u(x)·v(x)] − ∫ u'(x)·v(x) dx. On choisit u (le facteur que l'on va dériver) et v' (le facteur que l'on va intégrer). Le but : que la nouvelle intégrale ∫ u'v soit plus simple que l'ancienne. Priorité de choix de u : logarithme, puis polynôme, puis exponentielle ou trigonométrique. |
D'où vient la formule d'intégration par parties
L'intégration par parties n'est pas une astuce sortie de nulle part : elle est la lecture « intégrale » d'une formule connue depuis la classe de première, la dérivée d'un produit. Si u et v sont deux fonctions dérivables, la dérivée de leur produit s'écrit :
(u·v)' = u'·v + u·v'
L'idée consiste simplement à intégrer cette égalité entre deux bornes a et b (u et v étant supposées de classe C¹ sur l'intervalle). L'intégrale d'une somme étant la somme des intégrales, et une primitive de (u·v)' étant tout bonnement u·v, on obtient :
[u·v]ₐᵇ = ∫ₐᵇ u'·v dx + ∫ₐᵇ u·v' dx
Il ne reste plus qu'à isoler l'une des deux intégrales pour faire apparaître la formule utile. En basculant ∫ u'·v de l'autre côté, on aboutit à la formule d'intégration par parties sous sa forme définie, celle que l'on écrit le jour de l'épreuve.
La formule, version intégrale définie et version primitive
L'intégration par parties existe sous deux habits, selon que l'on calcule une intégrale entre deux bornes ou que l'on cherche une primitive. Les deux disent la même chose ; il faut savoir passer de l'une à l'autre.
Version intégrale définie
Lorsqu'on calcule une intégrale entre a et b, on écrit le terme « tout intégré » entre crochets, à évaluer aux bornes.
∫ₐᵇ u(x)·v'(x) dx = [u(x)·v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u'(x)·v(x) dx
Le crochet [u·v]ₐᵇ signifie u(b)·v(b) − u(a)·v(a). C'est un nombre, que l'on calcule tout de suite ; il ne reste ensuite qu'à traiter la nouvelle intégrale ∫ u'·v, choisie pour être plus simple que celle de départ.
Version primitive (intégrale indéfinie)
Quand on cherche une primitive, on retire les bornes et l'on garde une constante d'intégration à la fin.
∫ u(x)·v'(x) dx = u(x)·v(x) − ∫ u'(x)·v(x) dx
Les deux versions sont rigoureusement équivalentes. En pratique, on mène souvent le calcul en cherchant d'abord la primitive, puis, s'il faut une intégrale définie, on évalue le résultat final entre les bornes. L'essentiel est de rester cohérent et de ne jamais oublier le signe moins devant la seconde intégrale.
Comment choisir u et v' : le cœur de la méthode
Toute la réussite d'une intégration par parties se joue sur une décision : quel facteur appeler u (celui qu'on va dériver) et quel facteur appeler v' (celui qu'on va intégrer) ? Le principe directeur est simple : on veut que la nouvelle intégrale ∫ u'·v soit plus simple que l'intégrale de départ. Autrement dit, on choisit comme u une fonction qui « se simplifie » quand on la dérive, et comme v' une fonction que l'on sait intégrer sans peine.
Deux conditions doivent être réunies simultanément. D'une part, u' doit être plus simple que u : c'est le cas d'un polynôme, dont le degré baisse à chaque dérivation, ou d'un logarithme, dont la dérivée (1/x) est une fraction rationnelle bien plus maniable. D'autre part, v' doit être facilement intégrable : l'exponentielle, le sinus, le cosinus s'intègrent immédiatement.
La priorité de choix de u (mnémotechnique) Pour désigner u (le facteur à dériver), on suit un ordre de priorité : Logarithme, puis fonctions trigonométriques inverses (arctan…), puis Polynôme (fonction algébrique), puis fonctions Trigonométriques, puis Exponentielle. Le premier de la liste présent dans le produit devient u ; l'autre facteur (avec dx) devient v'. Retenez surtout : le logarithme se dérive toujours, l'exponentielle s'intègre presque toujours. |
Un cas mérite d'être signalé tout de suite : l'intégrale d'un logarithme ou d'un arctangente « seul », sans autre facteur apparent. On écrit alors le facteur manquant comme un 1, que l'on choisit comme v' (dont une primitive est x). C'est le procédé qui débloque ∫ ln x dx, traité plus bas.
Exemple corrigé n°1 : ∫ x·eˣ dx
C'est l'exemple fondateur, celui qu'il faut savoir refaire les yeux fermés. On veut une primitive de la fonction x ↦ x·eˣ. Le produit associe un polynôme (x) et une exponentielle (eˣ).
Choix. Le polynôme se simplifie en dérivant, l'exponentielle s'intègre sans changer : on pose donc u = x (à dériver) et v' = eˣ (à intégrer). Alors u' = 1 et v = eˣ.
∫ x·eˣ dx = x·eˣ − ∫ 1·eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C
En appliquant la formule, la nouvelle intégrale ∫ eˣ dx est immédiate. On factorise le résultat pour le rendre présentable : ∫ x·eˣ dx = (x − 1)·eˣ + C. On peut vérifier en dérivant : [(x − 1)eˣ]' = 1·eˣ + (x − 1)·eˣ = x·eˣ, ce qui confirme le calcul.
Le réflexe de vérification Après toute intégration par parties, dérivez le résultat : vous devez retomber sur la fonction de départ. C'est une vérification gratuite qui détecte immédiatement une erreur de signe ou de calcul, la faute la plus fréquente dans cet exercice. |
Exemple corrigé n°2 : ∫ ln x dx
Comment intégrer un logarithme, qui n'a pourtant aucune primitive « évidente » ? L'astuce est d'y voir un produit caché : ln x = 1 × ln x. On applique alors l'intégration par parties en prenant le 1 comme facteur à intégrer.
Choix. Le logarithme est prioritaire pour u : on pose u = ln x (à dériver) et v' = 1 (à intégrer). Alors u' = 1/x et v = x.
∫ ln x dx = x·ln x − ∫ x·(1/x) dx = x·ln x − ∫ 1 dx
Le facteur x du crochet se simplifie magnifiquement avec le 1/x de la dérivée : la nouvelle intégrale se réduit à ∫ 1 dx = x. On obtient donc :
∫ ln x dx = x·ln x − x + C = x(ln x − 1) + C
Ce résultat est un classique absolu, valable pour x > 0. On le vérifie en dérivant : [x·ln x − x]' = ln x + x·(1/x) − 1 = ln x + 1 − 1 = ln x. Le même procédé (poser v' = 1) permet d'intégrer arctan x, ln(1 + x²) et toutes les fonctions « seules » dont on connaît la dérivée mais pas la primitive.
Exemple corrigé n°3 : ∫ x·sin x dx
On veut ici une primitive de x ↦ x·sin x, produit d'un polynôme et d'une fonction trigonométrique. La logique est la même que pour x·eˣ : on dérive le polynôme, on intègre la fonction trigonométrique.
Choix. On pose u = x (à dériver) et v' = sin x (à intégrer). Alors u' = 1 et v = −cos x (une primitive de sin x est bien −cos x, point de vigilance sur le signe).
∫ x·sin x dx = x·(−cos x) − ∫ 1·(−cos x) dx = −x·cos x + ∫ cos x dx
Le double signe moins se transforme en plus devant la nouvelle intégrale, qui vaut ∫ cos x dx = sin x. D'où le résultat :
∫ x·sin x dx = −x·cos x + sin x + C
Vérification par dérivation : [−x·cos x + sin x]' = −cos x − x·(−sin x) + cos x = x·sin x. Tout est cohérent. C'est sur ce type d'intégrale que les erreurs de signe sont les plus fréquentes : la primitive de sin x est −cos x, celle de cos x est +sin x, et le − de la formule vient s'ajouter par-dessus. Écrire chaque étape sans sauter de ligne est ici la meilleure sécurité.
Exemple corrigé n°4 : ∫ x²·eˣ dx (double intégration par parties)
Lorsque le polynôme est de degré 2, une seule intégration par parties ne suffit pas : elle fait descendre le degré de 2 à 1, mais laisse une intégrale ∫ x·eˣ dx encore à traiter. On applique alors la formule une deuxième fois. C'est le principe de la double intégration par parties.
Première IPP. On pose u = x² (à dériver) et v' = eˣ (à intégrer), d'où u' = 2x et v = eˣ.
∫ x²·eˣ dx = x²·eˣ − ∫ 2x·eˣ dx = x²·eˣ − 2∫ x·eˣ dx
Deuxième IPP. Il reste à calculer ∫ x·eˣ dx, que l'on connaît déjà (exemple n°1) : ∫ x·eˣ dx = (x − 1)·eˣ + C. On reporte ce résultat, en gardant le facteur 2 et le signe moins :
∫ x²·eˣ dx = x²·eˣ − 2(x − 1)·eˣ + C = (x² − 2x + 2)·eˣ + C
Le résultat final se factorise par eˣ. Vérification : [(x² − 2x + 2)eˣ]' = (2x − 2)eˣ + (x² − 2x + 2)eˣ = (x² − 2x + 2 + 2x − 2)eˣ = x²·eˣ. Parfait. La règle générale se dégage : pour ∫ P(x)·eˣ dx avec P polynôme de degré n, il faut n intégrations par parties successives, chacune abaissant le degré d'une unité.
Un cas particulier : l'intégrale « qui revient sur elle-même » Pour des intégrales comme ∫ eˣ·cos x dx, deux intégrations par parties successives font réapparaître l'intégrale de départ. On obtient alors une équation du type I = (…) − I, que l'on résout en isolant I. C'est une technique élégante à connaître pour les produits d'exponentielle et de fonction trigonométrique. |
Tableau récapitulatif des choix de u et v'
Ce tableau résume les configurations les plus fréquentes. Dans chaque cas, u est le facteur à dériver et v' le facteur à intégrer.
Intégrale type | u (à dériver) | v' (à intégrer) |
∫ x·eˣ dx | x | eˣ |
∫ ln x dx | ln x | 1 |
∫ x·sin x dx | x | sin x |
∫ x²·eˣ dx | x² (puis x) | eˣ |
∫ x·ln x dx | ln x | x |
∫ arctan x dx | arctan x | 1 |
Configurations classiques : le logarithme et l'arctangente se dérivent, l'exponentielle et les fonctions trigonométriques s'intègrent.
Le cas ∫ x·ln x dx mérite un mot : le polynôme x est bien présent, mais c'est le logarithme qui reste prioritaire pour u, car sa dérivée 1/x simplifie tout le calcul. On pose donc u = ln x et v' = x, d'où u' = 1/x et v = x²/2, ce qui donne ∫ x·ln x dx = (x²/2)·ln x − ∫ (x²/2)·(1/x) dx = (x²/2)·ln x − x²/4 + C.
Intégration par parties sur une intégrale définie : un exemple
Pour une intégrale entre bornes, on procède exactement de même, mais on évalue le crochet aux bornes. Calculons par exemple l'intégrale de x·eˣ entre 0 et 1.
Avec u = x, v' = eˣ (donc u' = 1, v = eˣ), la formule définie donne :
∫₀¹ x·eˣ dx = [x·eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = (1·e¹ − 0·e⁰) − [eˣ]₀¹
Le crochet vaut e − 0 = e ; l'intégrale restante vaut [eˣ]₀¹ = e − 1. On obtient donc ∫₀¹ x·eˣ dx = e − (e − 1) = 1. Le résultat est un nombre, comme attendu pour une intégrale définie. On aurait aussi pu calculer d'abord la primitive (x − 1)eˣ, puis l'évaluer entre 0 et 1 : [(x − 1)eˣ]₀¹ = (0·e) − (−1·1) = 0 − (−1) = 1. Les deux chemins mènent au même résultat.
Erreurs classiques à éviter
L'intégration par parties est une mécanique fiable, mais elle sanctionne l'étourderie. Les fautes récurrentes tiennent toujours à un signe oublié ou à un mauvais choix initial.
Oublier le signe moins devant la seconde intégrale : la formule est [uv] − ∫ u'v, pas + ∫ u'v. C'est l'erreur numéro un, à traquer systématiquement.
Se tromper de primitive pour v' : une primitive de sin x est −cos x (et non +cos x), une primitive de 1/x est ln|x|. Une erreur ici fausse tout le reste.
Choisir u et v' à l'envers : intégrer le polynôme et dériver l'exponentielle complique l'intégrale au lieu de la simplifier. Si la nouvelle intégrale est pire que l'ancienne, on a inversé les rôles.
Oublier la constante d'intégration + C dans la version primitive : sans bornes, une primitive est définie à une constante près.
Ne pas aller au bout d'une double IPP : pour ∫ x²·eˣ dx, s'arrêter après une seule application laisse une intégrale non calculée. Il faut réappliquer la formule autant de fois que nécessaire.
Oublier d'évaluer le crochet aux deux bornes dans une intégrale définie : [uv]ₐᵇ vaut u(b)v(b) − u(a)v(a), pas seulement u(b)v(b).
Conseils pour réussir à coup sûr
Au-delà de la formule, quelques réflexes de méthode transforment l'intégration par parties en calcul sûr.
Repérer d'abord la nature du produit : polynôme × exponentielle, polynôme × trigo, logarithme seul… La configuration dicte immédiatement le choix de u et v'.
Appliquer la priorité de u (logarithme, puis polynôme, puis exponentielle/trigonométrique) plutôt que de choisir au hasard.
Écrire explicitement u, u', v', v avant de dérouler la formule : cette petite discipline évite les erreurs de signe et de primitive.
Vérifier le résultat en le dérivant : on doit retomber sur l'intégrande de départ. C'est rapide et cela sécurise la copie.
Ne pas confondre intégration par parties et changement de variable : la première traite les produits de fonctions de natures différentes, le second les fonctions composées.
Exemple corrigé n°5 : ∫ x²·ln x dx
Ce dernier exemple combine polynôme et logarithme. Fidèle à la priorité de choix, c'est le logarithme que l'on dérive, même s'il est accompagné d'un polynôme de degré 2.
Choix. On pose u = ln x (à dériver) et v' = x² (à intégrer), d'où u' = 1/x et v = x³/3.
∫ x²·ln x dx = (x³/3)·ln x − ∫ (x³/3)·(1/x) dx = (x³/3)·ln x − ∫ x²/3 dx
La nouvelle intégrale se simplifie très bien, car x³/x = x². On obtient ∫ x²/3 dx = x³/9, d'où le résultat final :
∫ x²·ln x dx = (x³/3)·ln x − x³/9 + C
On retrouve le schéma de ∫ x·ln x dx : dériver le logarithme fait apparaître un 1/x qui « mange » une puissance de x et rend l'intégrale restante élémentaire. C'est la signature des produits polynôme × logarithme.
L'intégrale qui revient sur elle-même : ∫ eˣ·cos x dx
Certaines intégrales semblent tourner en rond : après deux intégrations par parties, on retombe sur l'intégrale de départ. Loin d'être une impasse, c'est une méthode à part entière, très prisée aux concours. Notons I = ∫ eˣ·cos x dx.
Première IPP. On pose u = cos x et v' = eˣ, d'où u' = −sin x et v = eˣ. Alors I = eˣ·cos x − ∫ eˣ·(−sin x) dx = eˣ·cos x + ∫ eˣ·sin x dx.
Deuxième IPP. On traite J = ∫ eˣ·sin x dx en posant u = sin x et v' = eˣ, d'où u' = cos x et v = eˣ. Alors J = eˣ·sin x − ∫ eˣ·cos x dx = eˣ·sin x − I. On voit réapparaître I : c'est le signe qu'il faut résoudre une équation.
I = eˣ·cos x + (eˣ·sin x − I) ⟹ 2I = eˣ·(cos x + sin x)
En isolant I, on obtient le résultat, à une constante près :
∫ eˣ·cos x dx = (eˣ/2)·(cos x + sin x) + C
Vérification : la dérivée de (eˣ/2)(cos x + sin x) vaut (eˣ/2)(cos x + sin x) + (eˣ/2)(−sin x + cos x) = (eˣ/2)(2cos x) = eˣ·cos x. Tout est cohérent. La leçon : quand deux IPP successives ramènent l'intégrale de départ, on ne s'acharne pas — on note I, on résout, et le tour est joué.
Intégration par parties et suites d'intégrales
Au-delà du calcul d'une primitive isolée, l'intégration par parties sert d'outil de fond pour étudier des suites d'intégrales définies par un entier n. En appliquant la formule, on établit une relation entre le terme de rang n et celui de rang n − 1, appelée relation de récurrence. C'est un grand classique des sujets de prépa (intégrales de Wallis, par exemple), où l'intégration par parties devient le moteur d'un raisonnement plus large.
Le principe est toujours le même : on isole dans l'intégrande un facteur que l'on dérive et un facteur que l'on intègre, de manière à faire baisser l'exposant n. On obtient alors une formule reliant Iₙ à Iₙ₋₁, que l'on exploite pour calculer les termes de proche en proche ou pour étudier le comportement de la suite. C'est l'un des usages les plus puissants — et les plus fréquemment évalués — de la technique.
Conclusion
L'intégration par parties est bien plus qu'une formule à mémoriser : c'est une stratégie de calcul. Née de la simple dérivée d'un produit, elle transforme une intégrale rétive en une intégrale plus douce, à condition de choisir judicieusement quel facteur dériver et quel facteur intégrer. La priorité — logarithme, puis polynôme, puis exponentielle ou trigonométrique — donne une boussole fiable pour ne jamais hésiter.
Les quatre exemples types — x·eˣ, ln x, x·sin x et la double intégration par parties de x²·eˣ — couvrent l'immense majorité des situations rencontrées au lycée et en prépa. En les maîtrisant, en surveillant les signes et en vérifiant chaque résultat par dérivation, l'intégration par parties devient un automatisme sûr : l'un de ces outils qui, le jour de l'épreuve, font la différence entre une intégrale abandonnée et quelques points solides engrangés.
