Identités remarquables : les trois formules à connaître par cœur
Les identités remarquables sont trois égalités qui reviennent sans cesse dès qu'on manipule des expressions algébriques. Elles ne contiennent aucune difficulté cachée
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Les identités remarquables sont trois égalités qui reviennent sans cesse dès qu'on manipule des expressions algébriques. Elles ne contiennent aucune difficulté cachée : ce sont de simples produits que l'on a développés une fois pour toutes, afin de ne plus jamais avoir à refaire le calcul. Leur intérêt tient à leur double sens de lecture — de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser — qui en fait l'outil le plus rentable du calcul littéral au lycée.
Bien connaître les identités remarquables, c'est gagner du temps et de la sûreté partout : pour développer proprement, pour factoriser une expression, pour résoudre certaines équations, et même pour effectuer des calculs mentaux qui impressionnent. Encore faut-il les avoir parfaitement mémorisées et savoir les reconnaître, y compris quand elles sont un peu déguisées. C'est tout l'objet de ce cours.
Les trois identités remarquables
Commençons par les énoncer clairement. Dans tout ce qui suit, a et b désignent deux nombres quelconques (positifs, négatifs, ou des expressions littérales). Les trois identités remarquables au programme sont les suivantes.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Le tableau ci-dessous les résume et indique le rôle de chacune, dans le sens du développement comme dans celui de la factorisation.
Identité | Forme développée | Usage principal |
(a + b)² | a² + 2ab + b² | Carré d'une somme |
(a − b)² | a² − 2ab + b² | Carré d'une différence |
(a + b)(a − b) | a² − b² | Différence de deux carrés |
Les trois identités remarquables et leur usage. Chaque ligne se lit dans les deux sens.
Démonstration des identités remarquables
Ces formules ne tombent pas du ciel : elles se démontrent en quelques lignes grâce à la distributivité, c'est-à-dire la règle qui permet de développer un produit. Comprendre la démonstration, c'est pouvoir les retrouver en cas de trou de mémoire.
Le carré d'une somme
Par définition, (a + b)² signifie (a + b) × (a + b). On développe en multipliant chaque terme du premier facteur par chaque terme du second :
(a + b)(a + b) = a×a + a×b + b×a + b×b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Le terme du milieu, 2ab, vient du fait que le produit croisé apparaît deux fois : une fois en a×b, une fois en b×a. C'est précisément ce double produit que l'on oublie le plus souvent.
Le carré d'une différence
Le raisonnement est identique avec un signe moins. En développant (a − b)(a − b) et en respectant la règle des signes :
(a − b)(a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b²
Le b² final est bien positif, car (−b) × (−b) = +b². Seul le double produit central change de signe par rapport au carré d'une somme.
La différence de deux carrés
Pour la troisième identité, on développe (a + b)(a − b). Les deux produits croisés se compensent au lieu de s'ajouter :
(a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b²
Les termes −ab et +ab s'annulent, et il ne reste que la différence des carrés. C'est ce qui rend cette identité si utile pour factoriser.
Une preuve visuelle du carré d'une somme On peut « voir » (a + b)² comme l'aire d'un carré de côté a + b. En le découpant, il se compose d'un carré d'aire a², d'un carré d'aire b², et de deux rectangles identiques d'aire a×b chacun. L'aire totale vaut donc a² + b² + 2ab : c'est exactement la formule. La géométrie et l'algèbre disent la même chose. |
Développer avec les identités remarquables
Le premier usage des identités remarquables est le développement : transformer un produit ou un carré en une somme. La méthode est mécanique une fois que l'on a repéré la bonne forme. Il suffit d'identifier ce que valent a et b, puis d'appliquer la formule.
Exemples de développement
(x + 3)² : ici a = x et b = 3. On applique a² + 2ab + b² : x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9.
(2x − 5)² : ici a = 2x et b = 5. On obtient (2x)² − 2×(2x)×5 + 5² = 4x² − 20x + 25. Attention à bien élever 2x au carré : (2x)² = 4x².
(x + 7)(x − 7) : c'est la forme (a + b)(a − b) avec a = x et b = 7. Le résultat est immédiat : x² − 49.
On voit tout l'intérêt : plutôt que de développer laborieusement chaque produit, on reconnaît le motif et l'on écrit directement le résultat. Le gain de temps est considérable, et le risque d'erreur bien moindre.
Factoriser avec les identités remarquables
Lues de droite à gauche, les identités remarquables deviennent un outil de factorisation, c'est-à-dire de transformation d'une somme en produit. C'est souvent l'usage le plus délicat, car il faut reconnaître qu'une expression est bien de la forme attendue.
Reconnaître une différence de deux carrés
La factorisation la plus rentable est celle de a² − b². Dès qu'on voit une différence entre deux carrés, on peut la factoriser en (a + b)(a − b).
x² − 25 : c'est x² − 5², soit (x + 5)(x − 5).
9x² − 16 : c'est (3x)² − 4², soit (3x + 4)(3x − 4).
x² − 7 : c'est x² − (√7)², soit (x + √7)(x − √7). L'identité fonctionne aussi avec des racines carrées.
Reconnaître un carré parfait
Quand une expression a la forme a² + 2ab + b² ou a² − 2ab + b², c'est un carré. Par exemple, x² + 8x + 16 se lit x² + 2×x×4 + 4² : c'est (x + 4)². De même, x² − 10x + 25 = (x − 5)². Le réflexe consiste à repérer les deux carrés aux extrémités, puis à vérifier que le terme central correspond bien au double produit.
Le calcul mental grâce aux identités remarquables
Un usage plus ludique des identités remarquables est le calcul mental. Beaucoup de multiplications se simplifient en les reconnaissant comme des cas particuliers de ces formules.
Pour calculer 102², on écrit 102 = 100 + 2, puis on applique (a + b)² : 100² + 2×100×2 + 2² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404. De même, 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801. Enfin, un produit comme 103 × 97 se reconnaît comme (100 + 3)(100 − 3) = 100² − 3² = 10 000 − 9 = 9 991. Ce qui semblait exiger une multiplication posée se fait de tête en quelques secondes.
Les pièges classiques à éviter
Les identités remarquables sont simples, mais elles concentrent quelques erreurs si répandues qu'elles ont presque un nom. Les repérer une bonne fois pour toutes évite bien des points perdus.
Oublier le double produit : écrire (a + b)² = a² + b² est faux. Il manque le terme 2ab. C'est l'erreur numéro un du calcul littéral.
Se tromper de signe : dans (a − b)², le b² reste positif ; seul le terme central 2ab devient négatif. On n'écrit donc jamais a² − 2ab − b².
Confondre carré d'une somme et somme de carrés : (a + b)² et a² + b² sont deux choses différentes, la première dépasse la seconde de 2ab.
Vouloir factoriser une somme de deux carrés : a² + b² ne se factorise pas avec les identités remarquables réelles. Seule la différence a² − b² se factorise.
D'autres factorisations à l'entraînement
Pour ancrer le réflexe, voici une petite série à traiter mentalement. Chaque expression relève de l'une des trois identités remarquables.
49 − x² : différence de deux carrés, 7² − x², donc (7 + x)(7 − x).
x² + 12x + 36 : carré, x² + 2×x×6 + 6², donc (x + 6)².
25x² − 30x + 9 : carré, (5x)² − 2×(5x)×3 + 3², donc (5x − 3)².
16 − 9x² : différence de deux carrés, 4² − (3x)², donc (4 + 3x)(4 − 3x).
En s'exerçant ainsi, on apprend à voir immédiatement la structure d'une expression. C'est cette rapidité de reconnaissance, plus encore que la connaissance des formules, qui distingue un élève à l'aise avec le calcul littéral.
Le test qui ne trompe pas En cas de doute sur un développement, prenez une valeur numérique et vérifiez. Par exemple, (a + b)² = a² + b² ? Avec a = 3 et b = 4 : à gauche (3 + 4)² = 49, à droite 9 + 16 = 25. Les deux ne sont pas égaux, donc la formule « sans double produit » est fausse. Ce contrôle numérique est un réflexe précieux. |
Méthode : reconnaître la bonne identité
La vraie difficulté avec les identités remarquables n'est pas de connaître les formules, mais de savoir laquelle appliquer devant une expression donnée. Voici une démarche fiable, à dérouler dans l'ordre.
Compter les termes : une expression à deux termes de la forme « carré − carré » relève de la différence de deux carrés a² − b². Une expression à trois termes est un candidat pour un carré, (a + b)² ou (a − b)².
Repérer les carrés : identifier ce qui joue le rôle de a² et de b² en prenant la racine carrée de chaque terme carré. Par exemple, dans 4x² + 12x + 9, on lit a = 2x (car (2x)² = 4x²) et b = 3 (car 3² = 9).
Vérifier le terme central : pour un carré, le terme du milieu doit être égal à 2ab (au signe près). Ici 2 × 2x × 3 = 12x : cela correspond, donc 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)².
Cette vérification du double produit est l'étape décisive. Si le terme central ne vaut pas 2ab, l'expression n'est pas un carré parfait et il faut chercher une autre factorisation. Ce contrôle évite d'écrire des égalités fausses par précipitation.
Un cas où l'on combine facteur commun et identité Toutes les factorisations ne se font pas d'un coup. Pour 2x² − 18, on commence par mettre 2 en facteur : 2(x² − 9). On reconnaît alors dans la parenthèse une différence de deux carrés, x² − 3², d'où 2(x + 3)(x − 3). Le réflexe « facteur commun d'abord, identité ensuite » débloque beaucoup d'exercices. |
Une application : résoudre et factoriser
Terminons par un usage combiné. On veut résoudre l'équation x² − 6x + 9 = 0. On reconnaît au membre de gauche un carré parfait : x² − 6x + 9 = (x − 3)². L'équation devient (x − 3)² = 0, dont l'unique solution est x = 3. Les identités remarquables transforment ainsi une équation en une forme immédiatement résoluble.
Autre exemple, la factorisation de x² − 16 permet de résoudre x² − 16 = 0 : on écrit (x + 4)(x − 4) = 0, donc x = −4 ou x = 4. Reconnaître une différence de deux carrés fait apparaître les solutions sans effort. C'est cette polyvalence — développer, factoriser, calculer, résoudre — qui explique la place centrale des identités remarquables au lycée.
Les identités remarquables servent enfin à simplifier des fractions algébriques. Considérons (x² − 9) / (x + 3). En factorisant le numérateur en (x + 3)(x − 3), le facteur (x + 3) se simplifie avec le dénominateur, et il reste tout simplement x − 3 (pour x différent de −3). Sans la factorisation, cette simplification serait impossible à voir. C'est un exemple typique de la façon dont ces trois formules, une fois automatisées, éclairent des calculs qui paraissaient inextricables.
Conclusion
Les trois identités remarquables — (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)(a − b) = a² − b² — forment une boîte à outils compacte et redoutablement efficace. Mémorisées et comprises grâce à leur démonstration, elles s'appliquent dans les deux sens : pour développer et pour factoriser.
Le secret est double : les connaître sans hésitation, et surtout savoir les reconnaître sous leurs différents habillages. En gardant à l'esprit le piège du double produit et la règle des signes, les identités remarquables deviennent un automatisme qui fait gagner du temps sur tout le programme, du calcul mental à la résolution d'équations.
