Suite de Fibonacci : du problème des lapins au nombre d'or
La suite de Fibonacci commence par deux nombres tout simples, 0 et 1, puis se déploie selon une règle enfantine : chaque terme est la somme des deux précédents.
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La suite de Fibonacci commence par deux nombres tout simples, 0 et 1, puis se déploie selon une règle enfantine : chaque terme est la somme des deux précédents. On obtient alors 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… et cette liste, née d'un exercice médiéval sur des lapins, se retrouve aujourd'hui dans la disposition des graines d'un tournesol, la spirale d'une coquille et jusque dans les proportions que notre œil juge harmonieuses. Peu d'objets mathématiques offrent un tel écart entre la banalité de leur définition et la richesse de leurs apparitions.
Derrière cette apparente simplicité se cache l'un des plus beaux ponts des mathématiques : celui qui relie une suite d'entiers au nombre d'or. Comprendre la suite de Fibonacci, c'est donc suivre un fil qui part d'un problème concret, passe par l'algèbre et la géométrie, et débouche sur la botanique. C'est aussi une magnifique porte d'entrée vers la culture mathématique, du lycée à la prépa.
En bref, avant de commencer La suite de Fibonacci est définie par u₀ = 0, u₁ = 1 et, pour tout n ≥ 2, u(n) = u(n−1) + u(n−2). Le rapport de deux termes successifs u(n+1)/u(n) tend vers le nombre d'or φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618. Introduite par Leonardo de Pise dans le Liber Abaci en 1202 à travers un problème de reproduction de lapins, elle se manifeste abondamment dans la nature. |
Définir la suite de Fibonacci
Formellement, la suite de Fibonacci est une suite d'entiers définie par récurrence. On fixe les deux premiers termes, appelés termes initiaux, puis une relation qui engendre tous les suivants.
u₀ = 0, u₁ = 1, et pour tout n ≥ 2 : u(n) = u(n−1) + u(n−2)
Cette relation dite « à deux pas » suffit à tout produire. De u₀ = 0 et u₁ = 1 on déduit u₂ = 1 + 0 = 1, puis u₃ = 1 + 1 = 2, u₄ = 2 + 1 = 3, u₅ = 3 + 2 = 5, et ainsi de suite. Chaque nombre porte en lui la trace des deux qui le précèdent, si bien que la suite grandit de plus en plus vite tout en restant parfaitement déterminée.
On rencontre parfois la convention où la suite débute à 1, 1, 2, 3, 5… : c'est la même suite, seulement décalée d'un rang. L'usage moderne privilégie le départ 0, 1, plus commode pour énoncer les propriétés. Les termes eux-mêmes portent le nom de nombres de Fibonacci.
Les premiers termes en un coup d'œil
Le tableau ci-dessous rassemble les premiers nombres de Fibonacci ainsi que le rapport de chaque terme au précédent. On y voit déjà poindre le phénomène central de cette étude : ce rapport se stabilise.
Rang n | u(n) | Rapport u(n)/u(n−1) |
0 | 0 | — |
1 | 1 | — |
2 | 1 | 1 |
3 | 2 | 2 |
4 | 3 | 1,5 |
5 | 5 | ≈ 1,6667 |
6 | 8 | 1,6 |
7 | 13 | 1,625 |
8 | 21 | ≈ 1,6154 |
9 | 34 | ≈ 1,6190 |
10 | 55 | ≈ 1,6176 |
11 | 89 | ≈ 1,6182 |
12 | 144 | ≈ 1,6180 |
Les rapports successifs oscillent autour de 1,618 et s'en rapprochent de plus en plus.
L'origine de la suite de Fibonacci : Leonardo de Pise et les lapins
La suite de Fibonacci doit son nom à Leonardo de Pise, mathématicien italien du XIIIe siècle surnommé Fibonacci (contraction de « filius Bonacci », le fils de Bonaccio). En 1202, dans son ouvrage le Liber Abaci, il présente à l'Occident la numération indo-arabe, celle des dix chiffres que nous utilisons encore, et l'illustre par une foule de problèmes concrets. L'un d'eux, resté célèbre, concerne la reproduction des lapins.
L'énoncé imagine un couple de lapins placé dans un enclos. On suppose que chaque couple devient fécond au bout d'un mois, et qu'ensuite il engendre chaque mois un nouveau couple, lequel suit la même règle. La question est simple : combien de couples y aura-t-il au bout d'un an ?
En comptant les couples mois après mois, on obtient précisément 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… Chaque mois, le nombre de couples est égal au nombre du mois précédent (les couples déjà présents) augmenté du nombre de couples féconds, c'est-à-dire ceux d'il y a deux mois. On retrouve exactement la relation u(n) = u(n−1) + u(n−2). Le problème des lapins n'est bien sûr qu'un modèle idéalisé, mais il capture l'essence d'une croissance où chaque génération dépend des deux précédentes.
La suite de Fibonacci et le nombre d'or
Le lien le plus profond de la suite de Fibonacci est celui qui l'unit au nombre d'or. En observant le tableau précédent, on remarque que le rapport de deux termes consécutifs se rapproche d'une valeur limite proche de 1,618. Cette valeur n'a rien d'arbitraire : c'est le nombre d'or, noté φ (phi).
φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887
On peut comprendre pourquoi cette limite apparaît. Supposons que le rapport u(n+1)/u(n) tende vers un nombre ℓ. En divisant la relation u(n+1) = u(n) + u(n−1) par u(n), on obtient u(n+1)/u(n) = 1 + u(n−1)/u(n). Or u(n−1)/u(n) est l'inverse du rapport précédent et tend donc vers 1/ℓ. En passant à la limite, ℓ vérifie l'équation ℓ = 1 + 1/ℓ, soit ℓ² = ℓ + 1.
φ² = φ + 1
Cette équation du second degré, x² − x − 1 = 0, a pour unique racine positive (1 + √5)/2, c'est-à-dire exactement φ. Le nombre d'or est donc défini par une propriété remarquable : son carré s'obtient en lui ajoutant 1. C'est la même relation additive que celle de la suite de Fibonacci, ce qui n'a rien d'un hasard.
Il existe même une formule explicite, dite formule de Binet, qui donne le terme de rang n sans calculer tous les précédents. En notant ψ = (1 − √5)/2 la seconde racine, on a :
u(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5
Comme la valeur absolue de ψ, environ 0,618, est inférieure à 1, le terme ψⁿ devient minuscule quand n grandit : u(n) est alors l'entier le plus proche de φⁿ/√5. C'est la traduction exacte du fait que la suite de Fibonacci croît, à grande échelle, comme les puissances du nombre d'or.
La suite de Fibonacci dans la nature
Ce qui fascine le plus dans la suite de Fibonacci, c'est sa présence répétée dans le monde vivant. Elle apparaît là où une croissance s'organise pas à pas, en optimisant l'espace ou la lumière.
La phyllotaxie et les spirales
La phyllotaxie, c'est l'étude de la disposition des feuilles, des écailles ou des graines autour d'une tige. Chez de nombreuses plantes, le nombre de spirales que l'on peut compter dans un sens et dans l'autre — sur une pomme de pin, un ananas, un capitule de tournesol — sont deux nombres de Fibonacci consécutifs, par exemple 34 et 55, ou 55 et 89. Cette organisation n'est pas décorative : en plaçant chaque nouvel élément selon un angle lié au nombre d'or (environ 137,5°), la plante répartit ses graines de la manière la plus dense et la plus régulière possible.
Pétales, coquilles et proportions
On retrouve aussi les nombres de Fibonacci dans le décompte fréquent des pétales de certaines fleurs — 3, 5, 8, 13, 21 — ou dans la croissance en spirale de certaines coquilles. Il faut toutefois se garder d'y voir une loi universelle : toutes les fleurs ne suivent pas ce schéma, et l'on parle de tendances statistiques, non d'une mécanique infaillible. La beauté du phénomène tient justement à ce qu'une contrainte de croissance simple engendre, sans plan d'ensemble, ces régularités saisissantes.
Quelques propriétés et exemples de calcul
Au-delà de sa définition, la suite de Fibonacci regorge de propriétés élégantes qui font le bonheur des exercices de lycée et de prépa. En voici quelques-unes, faciles à retenir et à vérifier.
Somme des premiers termes : u₀ + u₁ + … + u(n) = u(n+2) − 1. Par exemple 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12, et l'on a bien u₇ − 1 = 13 − 1 = 12.
Identité de Cassini : u(n−1)·u(n+1) − u(n)² = (−1)ⁿ. Pour n = 6 : 5 × 13 − 8² = 65 − 64 = 1 = (−1)⁶.
Divisibilité : le PGCD de deux nombres de Fibonacci est lui-même un nombre de Fibonacci, PGCD(u(m), u(n)) = u(PGCD(m, n)).
Vérifions un calcul de terme pas à pas pour bien fixer la méthode. On veut u₁₀. On part des valeurs connues et l'on additionne de proche en proche : u₆ = 8, u₇ = 13, donc u₈ = 21 ; puis u₉ = 13 + 21 = 34 ; enfin u₁₀ = 21 + 34 = 55. On peut contrôler avec la formule de Binet : φ¹⁰/√5 ≈ 122,99/2,236 ≈ 55,0, et l'entier le plus proche est bien 55.
Un piège à éviter La croissance de la suite de Fibonacci est exponentielle, pas linéaire : les termes n'augmentent pas d'un pas constant, ils sont environ multipliés par φ ≈ 1,618 à chaque rang. C'est pourquoi u₃₀ dépasse déjà 800 000. Confondre cette croissance avec une progression arithmétique est l'erreur la plus fréquente. |
Le rectangle d'or et la spirale de Fibonacci
La suite de Fibonacci possède aussi une traduction géométrique séduisante. En accolant des carrés dont les côtés valent successivement 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… on construit de proche en proche un rectangle de plus en plus grand. Le rapport de ses côtés se rapproche du nombre d'or : on obtient ce qu'on appelle un rectangle d'or, dont les proportions sont réputées agréables à l'œil.
En traçant dans chaque carré un quart de cercle, on dessine une courbe qui s'enroule régulièrement : la spirale de Fibonacci. Elle approche la spirale d'or, une spirale logarithmique dont le rayon est multiplié par φ à chaque quart de tour. C'est ce type de spirale que l'on croit reconnaître dans certaines coquilles ou galaxies — avec la même prudence que précédemment : la ressemblance est frappante, mais il s'agit d'un modèle idéalisé, non d'une loi exacte de la nature.
Un usage moderne en informatique
La suite de Fibonacci n'appartient pas qu'à la nature et à l'histoire : elle est un classique de l'algorithmique. Calculer u(n) sert d'exemple d'école pour comparer deux façons de programmer. La méthode récursive naïve, qui recalcule sans cesse les mêmes termes, devient catastrophiquement lente ; la méthode itérative, qui garde en mémoire les deux derniers termes et avance pas à pas, est quasi instantanée. Cet écart spectaculaire fait des nombres de Fibonacci l'illustration idéale des notions de complexité et de mémorisation des résultats intermédiaires.
On les retrouve aussi dans des structures de données et des méthodes de recherche efficaces, où la décomposition en nombres de Fibonacci permet de découper un problème de manière équilibrée. Là encore, une définition additive d'une simplicité désarmante irrigue un pan entier d'un domaine, preuve que la suite de Fibonacci n'a rien d'une curiosité poussiéreuse.
Une surprise : Fibonacci dans le triangle de Pascal
Parmi les apparitions inattendues de la suite de Fibonacci, l'une des plus élégantes se cache dans le triangle de Pascal, ce tableau de nombres où chaque case est la somme des deux cases situées au-dessus. Si l'on additionne les nombres le long des diagonales « en pente douce » du triangle, on retrouve exactement les nombres de Fibonacci.
Les premières diagonales donnent 1, puis 1, puis 1 + 1 = 2, puis 1 + 2 = 3, puis 1 + 3 + 1 = 5, puis 1 + 4 + 3 = 8… soit 1, 1, 2, 3, 5, 8, la suite de Fibonacci elle-même. Ce n'est pas une coïncidence : les coefficients binomiaux du triangle de Pascal et la relation de récurrence de Fibonacci sont liés par une même logique combinatoire. Voir surgir une suite née d'un problème de lapins au cœur d'un objet d'arithmétique illustre à merveille l'unité profonde des mathématiques.
Conclusion
La suite de Fibonacci est un modèle de ce que les mathématiques savent faire de plus élégant : partir d'une règle triviale — additionner les deux derniers termes — et en tirer une cascade de conséquences reliant l'arithmétique, l'algèbre du nombre d'or et la géométrie du vivant. De 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 jusqu'aux spirales du tournesol, un même fil se déroule.
Pour l'étudiant, elle offre un terrain d'entraînement idéal : récurrence, passage à la limite, formule explicite, propriétés arithmétiques s'y côtoient. Garder en tête la suite de Fibonacci et sa parenté avec le nombre d'or, c'est disposer d'un exemple concret et mémorable auquel rattacher quantité de notions du programme.
