Concours X–ENS 2026 : comprendre le sujet de mathématiques PSI
L’épreuve de mathématiques du concours X–ENS 2026 en filière PSI s’inscrit dans la tradition des sujets qui marquent durablement les candidats.
Eline Le Berre
L’épreuve de mathématiques du concours X–ENS 2026 en filière PSI s’inscrit dans la tradition des sujets qui marquent durablement les candidats. À la sortie de la salle, beaucoup ont eu le sentiment d’avoir été confrontés à une idée profonde, sans toujours parvenir à en maîtriser toutes les implications. Ce décalage est révélateur : le sujet ne visait pas prioritairement la performance technique, mais la compréhension d’un principe structurant. Derrière une succession de questions apparemment classiques, il proposait une réflexion exigeante sur la manière dont une fonction peut être caractérisée à partir de son comportement local. L’enjeu n’était donc pas tant de calculer que de comprendre.
Pour préparer les concours au mieux, rejoins ViragePrépa en un clic et accède aux meilleures ressources.
Une entrée en matière classique au service d’une idée directrice
La convexité comme point de départ
La première partie du sujet s’ouvrait sur un terrain familier : celui des fonctions convexes. Les questions posées invitaient à mobiliser des résultats bien connus, notamment sur les minima et les propriétés du gradient. Cette entrée en matière pouvait sembler rassurante, dans la mesure où elle reposait sur des outils largement travaillés en classe préparatoire. Cependant, cette apparente simplicité masquait déjà une orientation plus profonde. À travers l’étude de la convexité, le sujet mettait en avant une idée essentielle : le gradient d’une fonction contient une information déterminante sur son comportement global. Une fonction convexe ne se contente pas d’être “bien comportée”; elle possède une structure qui relie étroitement ses variations locales à sa forme d’ensemble.
Une première intuition : le rôle central du gradient
Progressivement, les candidats étaient amenés à interpréter les inégalités obtenues non comme de simples résultats techniques, mais comme l’expression d’un principe plus général. Le gradient apparaissait comme un objet fondamental, capable de traduire la manière dont une fonction évolue en chaque point. Ce déplacement du regard, du calcul vers l’interprétation, constituait déjà une première difficulté. Les candidats les plus solides comprenaient que le sujet ne portait pas réellement sur la convexité en elle-même, mais sur ce qu’elle permettait de révéler : un lien profond entre comportement local et structure globale.
Le cœur du sujet : passer du local au global
Une propriété locale aux conséquences fortes
La deuxième partie introduisait une situation plus ciblée, dans laquelle deux fonctions étaient comparées à travers leurs dérivées. L’information donnée pouvait sembler limitée : il s’agissait d’une égalité portant sur la “taille” des dérivées. Pourtant, cette hypothèse conduisait à une conclusion très forte. L’intuition à saisir était la suivante : si deux fonctions présentent exactement la même manière de varier en chaque point, alors elles ne peuvent différer que d’une constante. Ce passage d’une propriété locale à une conclusion globale constitue l’un des gestes mathématiques les plus délicats, mais aussi les plus puissants.
Un moment discriminant pour les candidats
C’est dans cette partie que se jouait une grande partie de la sélection. Certains candidats abordaient les questions de manière isolée, sans percevoir le lien qui les unissait. D’autres, en revanche, identifiaient une logique d’ensemble et comprenaient que le sujet construisait progressivement un résultat unique.Cette capacité à reconnaître une idée directrice permettait non seulement de gagner du temps, mais aussi de donner du sens aux raisonnements. Elle constitue l’une des compétences les plus valorisées dans ce type d’épreuve.
Une reformulation matricielle au service de la structure
Les matrices comme outil de clarification
La troisième partie introduisait un cadre plus structuré, à travers l’étude de fonctions quadratiques et l’utilisation de matrices. Ce changement de langage pouvait déstabiliser, mais il ne modifiait pas la nature du problème. Au contraire, il permettait de rendre plus visibles certaines propriétés déjà rencontrées. Les matrices offraient un cadre dans lequel les relations entre les fonctions et leurs gradients devenaient plus explicites. Ce passage constituait moins une difficulté supplémentaire qu’une opportunité de mieux comprendre la structure du problème.
Une vision unifiée du sujet
Les candidats qui ont su prendre du recul ont pu voir dans cette partie une confirmation de l’intuition développée précédemment. Le recours à l’algèbre linéaire ne faisait que renforcer l’idée centrale : une fonction est largement déterminée par son gradient. Ainsi, loin d’introduire une rupture, cette partie consolidait la cohérence du sujet. Elle montrait que l’idée directrice ne dépendait pas du cadre choisi, mais qu’elle possédait une portée générale.
Une fin ouverte : persévérance et cohérence
Un prolongement naturel du raisonnement
La dernière partie du sujet s’inscrivait dans la continuité des précédentes, en élargissant encore le cadre d’étude. Elle introduisait des outils d’analyse plus avancés, notamment à travers l’étude de trajectoires et de comportements asymptotiques. Comme souvent dans les sujets X–ENS, cette fin n’était pas conçue pour être entièrement traitée. Elle visait plutôt à évaluer la capacité des candidats à poursuivre un raisonnement amorcé plus tôt, sans perdre de vue l’idée centrale.
L’importance de la vision d’ensemble
Dans cette partie, la difficulté principale résidait moins dans les calculs que dans la gestion du temps et de l’énergie. Les candidats devaient faire des choix, accepter de ne pas tout traiter, et privilégier la cohérence de leur démarche. Ceux qui parvenaient à maintenir une vision d’ensemble du sujet, en s’appuyant sur les résultats déjà obtenus, étaient en mesure de tirer parti même des questions les plus exigeantes.
