Concours X–ENS 2026 : analyse du sujet de Mathématiques (filière PC)
Le sujet de Mathématiques proposé aux candidats de la filière PC pour le concours X–ENS 2026 illustre parfaitement l’évolution des attentes des jurys : une mathématisation de phénomènes issus de la physique, traitée avec des outils d’analyse, de probabilités et d’algèbre.
Eline Le Berre
Le sujet de Mathématiques proposé aux candidats de la filière PC pour le concours X–ENS 2026 illustre parfaitement l’évolution des attentes des jurys : une mathématisation de phénomènes issus de la physique, traitée avec des outils d’analyse, de probabilités et d’algèbre. Derrière une apparente unité thématique, les matériaux ferromagnétiques, se cache un problème riche, progressif et particulièrement sélectif. À travers l’étude d’un modèle inspiré de la physique statistique, ce sujet a permis de distinguer les candidats capables d’articuler rigueur mathématique et compréhension conceptuelle.
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Une modélisation probabiliste ambitieuse dès l’introduction
Un cadre inspiré de la physique statistique
Dès la présentation du sujet, le ton est donné : il s’agit de modéliser un matériau ferromagnétique comme un ensemble de, spins, prenant les valeurs ±1, avec une énergie dépendant des interactions entre ces éléments. Le cadre probabiliste est omniprésent : on travaille sur un espace probabilisé, avec des variables aléatoires indépendantes et une mesure de probabilité définie via une exponentielle d’énergie. Cette approche renvoie directement aux modèles d’Ising en physique, bien que le sujet reste entièrement traitable avec les outils du programme de prépa. L’introduction pose également des bases analytiques solides, avec des rappels sur la convexité, les fonctions hyperboliques (cosh, sinh, tanh) et même une équivalence de Stirling. Ce mélange annonce la diversité des techniques mobilisées.
Une première partie centrée sur la convexité
La première partie est une montée en puissance progressive autour des fonctions convexes. On y retrouve des résultats classiques : encadrement des dérivées, stabilité par convergence simple, ou encore lien entre convexité et positivité de la hessienne. Mais le cœur de cette partie réside dans l’étude d’une fonction définie comme un logarithme d’espérance exponentielle. Cette fonction, notée φ, joue un rôle central dans tout le sujet. Le candidat doit montrer qu’elle est de classe C2, calculer ses dérivées, puis établir sa convexité. Ce passage est fondamental : il introduit une technique clé en probabilités et en analyse, le passage du calcul sous l’espérance, et prépare directement les parties suivantes.
Une analyse fine d’un modèle discret : entre matrices et asymptotiques
L’apparition d’une structure matricielle
La deuxième partie constitue le cœur technique du sujet. On y introduit une suite de variables aléatoires indépendantes, et une fonction de partition ZN définie comme une espérance exponentielle. Un moment clé intervient lorsque le sujet fait apparaître une matrice 2×2 dont les puissances permettent d’exprimer ZN . Ce passage est remarquable : il transforme un problème probabiliste en un problème d’algèbre linéaire, où les valeurs propres jouent un rôle central. La réduction de cette matrice permet d’obtenir une expression asymptotique de FN=(1/N) x ln( ZN) qui converge vers une fonction explicite dépendant de la plus grande valeur propre. Ce type de raisonnement est typique des sujets X–ENS : il récompense les candidats capables de changer de point de vue.B. Vers une interprétation analytique globale La suite de cette partie approfondit l’étude de cette limite, en introduisant une fonction λ(β, h) et en montrant sa régularité. On établit également des liens entre dérivées et quantités physiques (comme une moyenne empirique), ce qui renforce l’interprétation du modèle. Un résultat marquant est la convergence d’une suite de fonctions vers la valeur absolue, révélant un comportement limite non différentiable. Ce type de phénomène est classique en physique statistique et témoigne d’une transition de phase.
Une troisième partie de très haut niveau : grandes déviations et transition de phase
L’introduction d’un principe de grandes déviations
La troisième partie franchit un cap conceptuel important. Elle introduit une fonction I(x), liée à la probabilité que la moyenne empirique d’une suite de variables de Bernoulli prenne une valeur donnée. Le sujet fait apparaître une formule asymptotique du type : (1/N) ln P(SN=x) → −I(x) Ce qui correspond à un principe de grandes déviations. Même si ce terme n’est pas explicitement mentionné, les candidats familiers avec ces idées pouvaient en saisir la portée. Cette partie demande une grande maturité : il ne s’agit plus seulement de calculer, mais de comprendre des comportements asymptotiques subtils.
Une étude complète de la fonction de pression
La fin du sujet est consacrée à l’étude d’une fonction g(β,h), définie comme un supremum. Le candidat doit analyser ses propriétés : convexité, dérivabilité, points de maximum, etc. Le point culminant est l’obtention d’une équation implicite : x=tanh (h+2βx) Qui caractérise la limite d’une quantité physique appelée magnétisation. Ce résultat, accompagné d’une étude du comportement en fonction de β, met en évidence une transition de phase : en dessous d’un certain seuil, le système n’est pas magnétisé, tandis qu’au-dessus, une magnétisation spontanée apparaît. La dernière page du sujet souligne explicitement cette interprétation physique.
