Analyse sujet emlyon maths appliquées 2026 ECG

Structure générale du sujet

Trois exercices indépendants, sur 8 pages, pour 4 heures. Chaque exercice suit la structure-type emlyon : une partie calculatoire ouvrant, une partie d’étude plus conceptuelle, et une partie Python ou une application avancée.

L’exercice 1 est un exercice d’analyse. Il aborde une fonction de deux variables avec lignes de niveau, puis une étude complète d’une fonction d’une variable (prolongement continu, dérivabilité, monotonie) suivie d’une intégrale et d’un équivalent en l’infini. Exercice long et très classique.

L’exercice 2 porte sur l’algèbre linéaire dans l’espace des matrices M₂(R). Il introduit un endomorphisme défini par φ(M) = tr(M)I − M, aboutit à une formule d’inversion élégante, puis bifurque sur les polynômes de Tchebychev et les puissances de matrices. Exercice très structuré, de difficulté cumulative.

L’exercice 3 est un exercice de probabilités typiquement emlyon : pièce biaisée, rangs de piles, notion de « double pile », simulations Python, convergence en probabilité via Bienaymé-Tchebychev. Il est au cœur du programme ECG.

L’équilibre entre les trois thèmes est parfait (environ un tiers chacun). Le sujet est techniquement raisonnable mais exige la rigueur sur les cas limites, notamment les prolongements, les justifications d’existence et les convergences.

Exercice 1 : fonction de deux variables, prolongement, intégrale

Partie A : étude d’une fonction de deux variables

La fonction est f(x, y) = x + ln(1 + xy), définie sur le domaine D = {(x, y) ∈ R² ; 1 + xy > 0}.

La première question, le calcul du gradient, est un automatisme du programme : ∂f/∂x = 1 + y/(1+xy), ∂f/∂y = x/(1+xy). Les candidats préparés doivent la traiter en 2 à 3 minutes sans difficulté.

L’unicité du point critique (x₀, y₀) se trouve en posant les deux dérivées égales à zéro. La seconde équation donne x = 0, mais alors la première équation devient 1 + y = 0, soit y = −1. On vérifie que (0, −1) appartient bien à D (car 1 + 0×(-1) = 1 > 0). Il existe donc un unique point critique en (0, −1).

La matrice hessienne calculée en (0, −1) doit permettre de déterminer la nature du point critique via le signe des valeurs propres. Vérification classique : déterminant négatif, donc point selle. Typique d’emlyon : ne pas se contenter de « le point critique est un minimum ou un maximum », mais justifier par les valeurs propres ou la règle des déterminants emboîtés.

La question 2 aboutit à y = (e^{k-x} − 1)/x après manipulation. C’est ici que la partie B prend son sens : la fonction g étudiée dans la partie B est précisément la ligne de niveau 0 de f (k = 0), d’où y = (e^{-x} − 1)/x.

Partie B : étude de g(x) = (e^{-x} − 1)/x

C’est le cœur de l’exercice d’analyse. Les questions sont très classiques mais exigent rigueur.

Signe de g sur R* : le numérateur e^{-x} − 1 est négatif pour x > 0 et positif pour x < 0. Le dénominateur change aussi de signe. Conclusion : g(x) < 0 pour tout x ∈ R*. Piège classique : bien distinguer les deux cas x > 0 et x < 0 dans la rédaction.

Prolongement continu en 0 : il faut calculer la limite de g(x) en 0. On utilise le développement limité e^{-x} = 1 − x + o(x). Donc g(x) = (−x + o(x))/x = −1 + o(1), qui tend vers −1. On pose donc g(0) = −1.

Dérivabilité en 0 : on utilise un DL à l’ordre 2. De e^{-x} = 1 − x + x²/2 + o(x²) on tire g(x) = −1 + x/2 + o(x). On lit g(0) = −1 et g’(0) = 1/2. Question classique souvent bâclée.

Dérivée g’(x) pour x ≠ 0 : par dérivation de quotient. Le vrai travail est de montrer g’(x) > 0 pour tout x ∈ R*. Astuce standard : poser h(x) = xg’(x) multiplié par une expression ad hoc, étudier sa variation et conclure. Ce genre de manipulation est le test typique d’emlyon, rigueur algébrique sans génie particulier.

Tableau de variation : en −∞, e^{-x} tend vers +∞ donc le numérateur tend vers +∞, divisé par x qui tend vers −∞, la limite vaut 0⁻. En +∞, e^{-x} tend vers 0, donc le numérateur tend vers −1, divisé par x qui tend vers +∞, la limite vaut 0⁻. Attention aux signes. Bilan : g est strictement croissante sur R, de 0⁻ en −∞ à 0⁻ en +∞, en passant par −1 en 0.

Représentation graphique : sur un même dessin, il faut tracer la courbe 1 + xy = 0 (une hyperbole) et la ligne de niveau 0 de f (formée de la droite x = 0 et de la courbe de g). Hachurer ensuite les zones où f est positive. Cette question graphique est souvent sous-estimée, alors qu’elle vaut plusieurs points.

Partie C : aire sous la ligne de niveau zéro

G(x) = ∫₀^x g(t) dt. Justifier que G est C¹ sur R revient à montrer que g est continue sur R (déjà prolongée en 0), ce qui donne G bien définie et G’(x) = g(x).

La question 9, sur l’expression de G(x) pour x > 0, demande un découpage. On écrit G(x) = G(1) + ∫₁^x g(t) dt. Or g(t) = (e^{-t} − 1)/t = e^{-t}/t − 1/t. Donc ∫₁^x g(t) dt = ∫₁^x e^{-t}/t dt − ln(x). D’où G(x) = G(1) + ∫₁^x e^{-t}/t dt − ln(x).

Équivalent en +∞ : on doit montrer G(x) ~ −ln(x). Comme e^{-t} tend vers 0 très vite, ∫₁^x e^{-t}/t dt converge vers une constante finie quand x tend vers +∞. Donc G(x) − (−ln(x)) tend vers une constante, ce qui entraîne G(x) ~ −ln(x). Classique.

La question 11 concerne le comportement au voisinage de 0 à droite. On établit ∫_x^1 e^{-t}/t dt = −ln(x) + G(1) + x + o(x), ce qui demande un développement asymptotique soigné. Question difficile, souvent sautée par les candidats, à juste titre si tu manques de temps.

Python pour l’exercice 1

La ligne 5 à compléter est M = [(np.exp(k-x)-1)/x for x in X]. Attention au traitement de x = 0 dans la liste X = np.linspace(−2, 2, 100) : avec 100 points sur un intervalle symétrique, le zéro exact est souvent évité, mais reste prudent dans la rédaction en mentionnant ce point.

Les valeurs de k sur le graphique sont K = [−0.4 + i/5 for i in range(8)], soit [−0.4, −0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0]. La ligne centrale de démarcation correspond à k = 0 : c’est la ligne de niveau 0 qui fait l’objet de la partie B.

Exercice 2 : endomorphisme, inversion, Tchebychev

Partie A : un endomorphisme de M₂(R)

L’application tr : M₂(R) → R est linéaire. À démontrer par le calcul : tr(λM + N) = λtr(M) + tr(N). Classique, 3 minutes.

On définit φ(M) = tr(M)I − M. On demande de montrer que φ est un endomorphisme : linéaire (par linéarité de tr et de l’identité) et à valeurs dans M₂(R) (par composition).

φ(I) = tr(I)I − I = 2I − I = I. Donc I est un vecteur propre pour la valeur propre 1.

tr(φ(M)) = tr(tr(M)I − M) = tr(M) × 2 − tr(M) = tr(M). Propriété élégante utile en partie B.

Matrice A de φ dans la base canonique (E₁, E₂, E₃, E₄). Calcul direct : φ(E₁) = E₄ car tr(E₁) = 1 donne φ(E₁) = I − E₁ = E₄, φ(E₂) = −E₂, φ(E₃) = −E₃, φ(E₄) = E₁. La matrice A a donc une structure par blocs très propre.

A² = I (idempotence), donc A est inversible avec A⁻¹ = A. Spectre de A : valeurs propres 1 et −1 (puisque A² = I). Les sous-espaces propres sont de dimensions 2 et 2.

Partie B : formule d’inversion

Question centrale : pour M = (a b / c d) de M₂(R), Mφ(M) = det(M)I.

Calcul direct : Mφ(M) = M(tr(M)I − M) = tr(M)M − M². Or le théorème de Cayley-Hamilton pour une matrice 2×2 donne M² − tr(M)M + det(M)I = 0, soit tr(M)M − M² = det(M)I. CQFD. Question très emlyon dans l’esprit : élégante, courte, récompensant la maîtrise de Cayley-Hamilton.

Conséquences : si det(M) ≠ 0, alors M⁻¹ = (1/det(M))φ(M). C’est la formule d’inversion de la matrice 2×2 qu’il fallait justifier proprement.

La formule de la question 5(b), (M + N)⁻¹ = det(M)/(det(M+N)) M⁻¹ + det(N)/(det(M+N)) N⁻¹, se vérifie par calcul en utilisant la formule précédente et la linéarité de φ. Piège : détail de rédaction sur la non-nullité des déterminants. Les bons candidats la traitent en 3 lignes. Les autres s’y perdent 20 minutes.

Partie C : polynômes de Tchebychev

Les polynômes sont définis par P₀(x) = 2, P₁(x) = 1 (surprenant, attention aux conditions initiales) et P_{n+1}(x) = xP_n(x) − P_{n−1}(x). Attention : cette récurrence n’est pas la plus classique, donc méfie-toi des réflexes automatiques.

On obtient P₂(x) = x − 2 et P₃(x) = x² − 3.

Degré de P_n : par récurrence, deg(P_n) = n − 1 pour n ≥ 1. Résultat inhabituel qui piège beaucoup de candidats. Vérifie à la main P₂ et P₃ avant d’écrire l’hérédité.

La suite (a_n) définie par a_n = P_n(tr(M)) pour M de déterminant 1 se relie aux puissances de M via la relation M² = tr(M)M − I (Cayley-Hamilton avec det(M) = 1). Par récurrence, on établit M^n = −a_{n−1}I + a_nM.

Trace des puissances : tr(M^n) = −2a_{n−1} + a_n tr(M). On cherche à l’exprimer sous la forme Q_n(tr(M)) où Q_n est un polynôme à identifier à l’aide des P_n. Bien mener la récurrence.

Python de l’exercice 2

Fonction P(n, x) qui renvoie P_n(x) : récurrence classique avec deux variables qui avancent par pas. On complète par P0, P1 = P1, x*P1 - P0 dans la boucle, puis return P0 à la fin (attention à l’indice : après n itérations, P0 contient P_n).

Fonction Puissance(n, M) : utilise P(n-1, tr(M)) et P(n, tr(M)) avec la formule M^n = −a_{n−1}I + a_nM. En Python : tr_M = M[0,0] + M[1,1]; return -P(n-1, tr_M) * np.eye(2) + P(n, tr_M) * M. Question Python bien conçue qui teste la compréhension de la partie théorique.

Exercice 3 : probabilités, piles, Bienaymé-Tchebychev

Partie A : rang moyen du premier double pile

Contexte : pièce biaisée, P(pile) = p, P(face) = q = 1 − p. Le nombre N de lancers jusqu’au premier pile, puis on relance la pièce une fois. On note S l’événement « le dernier lancer donne pile ».

Question 1 : N suit la loi géométrique de paramètre p, donc N prend ses valeurs dans N* avec P(N = n) = q^{n−1} p. La variable N − 1 compte le nombre de faces avant le premier pile et suit une loi géométrique à valeurs dans N : P(N − 1 = k) = q^k p. Rédaction précise essentielle. On a E(N) = 1/p et V(N) = q/p².

Question 2 : P((N = n) ∩ S) = p² q^{n−1} pour n ≥ 2 (il faut n−1 faces puis 1 pile puis à nouveau 1 pile). Et P(S) = Σ_{n≥1} p² q^{n-1} = p²/(1-q) = p²/p = p.

Expérience 2 : on répète l’expérience 1 jusqu’à obtenir un premier double pile. R compte les répétitions, T le nombre total de lancers. Si on répète k fois, les k−1 premières répétitions ont échoué (S = 0) puis la k-ième a réussi (S = 1).

Question 3 : R suit une loi géométrique de paramètre P(S) = p. E(R) = 1/p.

Partie A (suite) : calculs conditionnels et espérances

La loi conditionnelle de N_i sachant R ≥ i est la loi de N. C’est l’indépendance forte qu’il faut bien invoquer.

P(N_i = 0) = 1 − p (c’est la probabilité que R < i, c’est-à-dire l’événement « on n’est pas allé jusqu’à la i-ème répétition »).

P(N_i = k) pour k ≥ 2 : développement en distinguant le cas où l’on atteint la i-ème répétition et le cas contraire. Réponse attendue : P(N_i = k) = p q^{i+k−3}.

E(N_i) = q^{i−1} × (1+p)/p. Question calculatoire, plusieurs lignes à ne pas rater.

Convergence de la série Σ E(N_i) : série géométrique de raison q < 1. Somme = (1+p)/p × 1/(1-q) = (1+p)/p². Résultat à afficher.

Partie B : simulation informatique

Fonction Exp_1(p) : boucle while jusqu’à obtenir un pile, puis un second lancer pour déterminer S.

def Exp_1(p):
    N = 1
    while rd.random() > p:
        N = N + 1
    if rd.random() < p:
        S = 1
    else:
        S = 0
    return N+1, S

Attention au N+1, qui traduit le lancer supplémentaire pour S.

Fonction Exp_2(p) : répète Exp_1 tant que S = 0, en comptant R et T.

Freq_T(n, p) : estime P(T = n) via 10⁴ simulations. La valeur Freq_T(4, 1/2) ≈ 0.123 est-elle cohérente ? P(T = 4) avec p = 1/2 correspond à plusieurs scénarios (pile puis pile relais, ou pile-face puis pile-pile, etc.). L’agrégation donne un ordre de grandeur proche de 1/8, donc 0.123 est plausible.

Partie C : nombre de doubles piles et Bienaymé-Tchebychev

Y_n vaut 1 si P_n P_{n+1} est un double pile, 0 sinon. Y_n suit donc une loi de Bernoulli de paramètre p². On a E(Y_n) = p² et V(Y_n) = p²(1 − p²).

Question 12 : Y_n et Y_{n+1} ne sont pas indépendantes (elles partagent le lancer n+1). Y_n et Y_m le sont pour |n − m| ≥ 2.

Covariance : cov(Y_n, Y_{n+1}) = E(Y_n Y_{n+1}) − E(Y_n)E(Y_{n+1}). Y_n Y_{n+1} = 1 si et seulement si on a trois piles consécutifs, de probabilité p³. Donc cov = p³ − p⁴ = p³(1 − p).

S_n = Σ_{k=1}^n Y_k est la somme de n Bernoulli partiellement dépendantes.

E(S_n) = n p². Pour V(S_n), on utilise la bilinéarité de la covariance : V(S_n) = Σ V(Y_k) + 2 Σ_{k<l} cov(Y_k, Y_l). Seules les covariances avec l = k + 1 sont non nulles, d’où V(S_n) = n p²(1 − p²) + 2(n − 1)p³(1 − p). Il faut ensuite simplifier pour retomber sur l’expression de l’énoncé. L’arithmétique est délicate : à faire au brouillon.

V(S_n/n) ≤ 3p²/n : division par n² puis majoration. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne P(|S_n/n − p²| ≥ ε) ≤ V(S_n/n)/ε² ≤ 3p²/(nε²) ≤ 3(p/ε)² × 1/n.

Limite : ce majorant tend vers 0 quand n tend vers +∞, donc la probabilité tend vers 0. C’est la convergence en probabilité de S_n/n vers p².

Question-pont classique emlyon : loi des grands nombres via Bienaymé-Tchebychev. À l’écrit parfait si bien rédigé.

Techniques clés à maîtriser

Ce sujet 2026 confirme ce que le candidat emlyon doit maîtriser parfaitement : la manipulation des développements limités (prolongements, équivalents, asymptotique), la formule de Cayley-Hamilton en dimension 2 (outil central de l’exercice 2), l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev comme voie royale vers les convergences en probabilité, la rédaction Python (boucles while, listes en compréhension, utilisation de numpy), et la rigueur dans les tableaux de variation (limites aux bornes, signes de la dérivée).

Les thèmes tombés sont tous au programme officiel ECG. Aucun hors-programme, aucun exotisme.

Les pièges à éviter

Premier piège : bâcler le prolongement continu de g en 0. Il faut un DL à l’ordre 1 minimum, voire 2 pour la dérivabilité.

Deuxième piège : se tromper sur le degré de P_n. La récurrence donne deg(P_n) = n − 1, pas n. Vérifie à la main P₂ et P₃.

Troisième piège : les covariances dans l’exercice 3. Les Y_n ne sont pas indépendantes. Oublier les covariances donne un faux V(S_n).

Quatrième piège : la rédaction Python. Les copies sont notées aussi sur la propreté du code. Utilise rd.random()conformément à l’énoncé, indente correctement, commente brièvement les choix clés.

Cinquième piège : sauter les questions de représentation graphique. La question 7(a) de l’exercice 1 (dessin combiné hyperbole + ligne de niveau) rapporte plusieurs points facilement si on est soigneux.

Sixième piège : la gestion du temps. 4 heures pour 3 exercices, soit 80 minutes par exercice en moyenne, avec 15 minutes de relecture. Ne reste pas bloqué plus de 15 minutes sur une question ponctuelle : passe et reviens.