Analyse du sujet Ecricome Mathématiques Approfondies 2026
Le cru 2026 d’Ecricome s’inscrit dans la lignée des épreuves exigeantes de la filière ECG.
Eline Le Berre
Le cru 2026 d’Ecricome s’inscrit dans la lignée des épreuves exigeantes de la filière ECG. Sans surprise majeure dans sa structure, le sujet se compose de deux exercices et d’un problème long. Il balaye un spectre large du programme, allant de l'analyse intégrale à l'algèbre endomorphique, pour finir sur une étude probabiliste ambitieuse. La principale difficulté réside moins dans l'originalité des concepts que dans la longueur des calculs et la rigueur attendue sur les justifications, notamment pour les passages à la limite et les convergences d'intégrales.
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Exercice 1 : Analyse réelle et simulation numérique
Cette première partie se concentre sur l'étude d'intégrales à paramètres et leur approximation par des méthodes numériques.
Étude théorique des intégrales à paramètre
Les premières questions demandent de démontrer la convergence d'intégrales impropres classiques. Le pivot de cette section est l'étude de la fonction G(a), définie par une intégrale de Frullani. Le candidat doit ici faire preuve d'aisance dans les changements de variables et la manipulation des bornes de l'intégrale. La démonstration de la valeur de G(a) par une décomposition astucieuse demande une vigilance particulière sur les comportements au voisinage de zéro.
Algorithmique et intégration numérique
La seconde phase de l'exercice bascule vers l'informatique et les méthodes de Riemann. L'étude de la fonction f sur [0,1] sert de prétexte pour comparer deux approches de calcul approché. D'un côté, une somme de Riemann classique implémentée via une fonction Python, et de l'autre, une méthode de Monte-Carlo utilisant la bibliothèque Numpy. L'analyse du graphique final est cruciale : elle teste la capacité du candidat à interpréter la vitesse de convergence et la variance d'un estimateur aléatoire par rapport à une méthode déterministe.
Exercice 2 : Algèbre linéaire et polynômes orthogonaux
L'exercice 2 propose une montée en puissance classique, partant d'une réduction de matrice pour aboutir à une étude d'endomorphismes dans des espaces de polynômes.
Réduction et structure d'endomorphisme
Après un démarrage rassurant sur la diagonalisation d'une matrice 3x3, le sujet bascule sur l'espace Rn[x]. L'enjeu est de caractériser l'endomorphisme à travers ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. La démonstration de la stabilité des sous-espaces de polynômes de degré inférieur ou égal à k est un passage obligé qui nécessite une manipulation précise des degrés.
Géométrie de l'espace et orthogonalité
La fin de l'exercice introduit un produit scalaire défini par une intégrale. C'est ici que le sujet devient plus sélectif. Il s'agit de montrer l'existence d'une famille de polynômes orthogonaux (les polynômes de Gegenbauer dans un cas particulier) et d'établir une relation de récurrence à trois termes. Les questions dePython sur la représentation des polynômes par des tableaux de coefficients demandent une bonne compréhension de l'indexation, souvent source d'erreurs d'inattention sous le stress du concours.
Problème : Temps d'attente et convergence de variables aléatoires
Le problème est le morceau de bravoure du sujet, centré sur la somme de variables aléatoires et les temps d'arrêt.
Étude de rangs d'apparition et espérance conditionnelle
La première partie du problème définit une variable X liée à l'obtention de succès consécutifs lors de lancers de dés. Le candidat doit mobiliser ses connaissances sur les lois géométriques et les espérances conditionnelles. La structure des questions guide vers l'établissement d'une relation de récurrence pour l'espérance de X, un classique des problèmes de "temps d'attente" qui récompense les étudiants ayant une vision globale des processus stochastiques.
Comportement asymptotique et lois à densité
La suite du problème complexifie l'approche en introduisant des sommes de variables uniformes et en étudiant le premier instant où cette somme dépasse un seuil donné. On y retrouve des calculs de densités de probabilités par récurrence, exigeant une maîtrise parfaite du produit de convolution ou des intégrations par parties successives. La conclusion vers le nombre e comme limite de certaines espérances est un résultat élégant qui vient couronner un effort analytique soutenu.
