Analyse du sujet de Sciences Industrielles PSI X/ENS 2026 (XSR) : le robot polyarticulé KUKA KR 500 sous toutes ses coutures

Partie 1 : Analyse de trois effecteurs (questions 1.1 à 1.14)

Effecteur 1 : la pince de préhension (questions 1.1 à 1.4)

La première partie ouvre avec l'étude d'une pince de préhension à mâchoires actionnée par un système vis-écrou. La modélisation cinématique proposée est celle d'un mécanisme plan comprenant une vis (pivot d'axe Ox0), un écrou en liaison hélicoïdale et glissière, une biellette en pivot, une équerre de renvoi et une mâchoire. La question 1.1 demande d'exprimer les vitesses des points E et F en fonction de l'angle bêta et des paramètres géométriques, puis d'en déduire le torseur cinématique de la mâchoire par rapport au bâti. Le résultat attendu est un mouvement de translation circulaire dans le plan, permettant d'identifier la loi d'entrée-sortie cinématique du mécanisme. La question 1.2 demande la relation entre le déplacement lambda de l'écrou et l'angle bêta au voisinage de la position fermée. La question 1.3 effectue une linéarisation de cette loi autour de la position fermée pour relier la vitesse de rotation du motoréducteur à la vitesse de fermeture de la pince, afin de vérifier la contrainte fonctionnelle sur la vitesse maximale admissible. La question 1.4 demande une démarche qualitative pour dimensionner le couple du motoréducteur en vue de saisir et déplacer un objet de masse m avec un coefficient de frottement f donné : c'est une question de synthèse qui ne réclame pas de calcul mais une description rigoureuse des isolements successifs à effectuer.

Effecteur 2 : la nacelle de l'attraction Danse avec les robots du Futuroscope (questions 1.5 à 1.9)

Le deuxième effecteur est la nacelle de l'attraction Danse avec les robots du Futuroscope, qui transporte des passagers dans des danses aériennes grâce au robot polyarticulé. L'effecteur est équipé de harnais de sécurité pilotés par des vérins hydrauliques en parallèle. Deux configurations sont étudiées : la fermeture du harnais (sous l'effort d'un passager) et la configuration bloquée pendant la chorégraphie (où le harnais doit résister à 3 000 N sans s'ouvrir). La question 1.5 demande le degré d'hyperstatisme du modèle plan dans la configuration de fermeture, et la question 1.6 le lien entre l'effort extérieur F_f appliqué sur le harnais et l'effort F_v dans la tige du vérin en fonction des données géométriques, via un PFS. La question 1.7 demande de commenter l'allure de la courbe simulation F_f(d) fournie (courbe en cloche avec maximum à 110 N et minimum à 32 N) et d'en déduire l'effort F_v à imposer dans le vérin pour respecter la contrainte ergonomique C1 inférieure à 250 N. La question 1.8 traite la configuration bloquée (ajout d'un solide 3 en double appui-plan et liaison ponctuelle) et demande si le lien entre l'effort appliqué et l'effort dans le vérin est modifié. La question 1.9 calcule l'effort maximal dans la tige de chaque vérin en configuration bloquée et conclut sur le bon dimensionnement des vérins de 32 mm de diamètre avec une pression maximale de 200 bar.

Effecteur 3 : la tête de dépose de composite (questions 1.10 à 1.13)

Le troisième effecteur est une tête de dépose de bandes fibrées en carbone pour la fabrication de structures aéronautiques. Le mécanisme comprend un vérin pneumatique, un coulisseau, un bras, un support de rouleau et le rouleau lui-même, qui doit suivre les variations de géométrie du moule tout en maintenant un effort presseur constant. La question 1.10 demande le degré d'hyperstatisme du mécanisme (en précisant les mobilités), la question 1.11 détermine la pression dans le vérin en fonction de l'effort presseur F_d et des paramètres géométriques par une série d'isolements successifs. La question 1.12 exploite la condition de roulement sans glissement du rouleau sur le moule pour exprimer la dérivée de l'angle bêta_4 en fonction de la vitesse de translation V_P et de la vitesse angulaire omega du rouleau, puis trace l'évolution temporelle de bêta_4 à partir des graphes donnés de omega(t) et V_P(t). La question 1.13 discute qualitativement la conséquence de la variation de bêta_4 sur la pression à fournir dans le vérin et demande de tracer l'allure de la pression en fonction du temps.

Conclusions sur les effecteurs (question 1.14)

La question 1.14 clôt la première partie par une synthèse qualitative sur les niveaux de performance (faible, modéré, élevé) attendus en transmission d'efforts et en précision de positionnement pour chacun des trois effecteurs, et conclut sur la nécessité pour le robot d'une polyvalence de capacités mécaniques. Cette question ouverte était accessible à tous les candidats ayant bien suivi les trois sous-parties précédentes, et constituait un moment de recul appréciable avant d'attaquer la partie 2.

Partie 2 : Étude des dispositifs de fixation (questions 2.1 à 2.11)

Fixation du robot au sol par 16 boulons (questions 2.1 à 2.6)

La deuxième partie valide le dimensionnement de deux dispositifs de fixation : l'encastrement du socle au sol et la fixation de l'effecteur sur l'élément terminal. Pour la fixation au sol, 16 boulons M18 sont répartis régulièrement sur une couronne de 1 800 mm de diamètre. La question 2.1 démontre rigoureusement qu'avec un seul boulon complétant une liaison appui-plan, la liaison équivalente n'est pas un encastrement, et explique comment l'encastrement est réalisé avec la couronne complète. La question 2.2 détermine le degré d'hyperstatisme de la liaison socle-sol en présence des 16 boulons et commente le résultat en termes de redondance et de robustesse. La question 2.3 exprime les coordonnées du centre de gravité global G du système (dans la configuration déployée avec les angles donnés) à partir des données géométriques des annexes B et D. La question 2.4 détermine l'effort de traction dans chaque boulon à la limite du basculement autour d'un point K donné, en supposant l'équidistribution des efforts dans les 16 boulons, et fait l'application numérique. Les questions 2.5 et 2.6 étendent l'analyse en tenant compte des effets d'inertie lors d'une rotation constante du robot, en utilisant les lois de frottement pour définir l'effort de friction dans chaque boulon, puis calculent par superposition l'effort global dans chaque boulon pour éviter le basculement dû au poids et aux effets d'inertie.

Fixation de l'effecteur par le système Quick-Change SWS (questions 2.7 à 2.11)

La section 2.2 étudie le système de fixation rapide SWS (Quick-Change System), composé d'un changeur SWK solidaire du robot et d'une platine SWA solidaire de l'effecteur, verrouillés par un vérin pneumatique actionnant 6 billes. La question 2.7 demande le graphe de liaisons du mécanisme de verrouillage, le degré d'hyperstatisme global en séparant la contribution des billes de celle du guidage en translation, et propose des modifications pour le réduire. La question 2.8 détermine, sur une bille, la démarche d'isolement successif permettant de relier l'effort F_7 d'arrachement de l'effecteur à la pression p_p dans le vérin, en explicitant les isolements, théorèmes et équations utilisés. La question 2.9 montre que l'effort de la platine 7 sur la bille 9a s'écrit F_{79a} = k * F_7 où k est à déterminer. La question 2.10 fait l'application numérique et conclut sur la gamme de pression nécessaire, qu'on compare avec les spécifications constructeur (4,1 à 6,9 bar). La question 2.11 traite le cas du maintien du verrouillage en auto-blocage (portion C2 de came inversée) et demande si une augmentation de F_7 peut provoquer le déverrouillage par translation du piston, et quelle est la valeur limite admissible de F_7.

Partie 3 : Analyse géométrique et cinématique du robot (questions 3.1 à 3.11)

Réducteur épicycloïdal sur l'axe 1 (questions 3.1 à 3.4)

La troisième partie aborde la géométrie et la cinématique du robot KUKA à 6 axes. Elle s'ouvre sur l'étude du réducteur à train épicycloïdal associé à l'actionneur de l'axe 1 (rotation de l'embase autour de l'axe vertical). La question 3.1 justifie qualitativement l'intérêt d'un réducteur sur l'axe 1 (couple important nécessaire pour faire tourner une embase de 520 kg, faible vitesse de sortie face à une vitesse moteur élevée). La question 3.2 détermine le rapport de réduction k_{r0} = omega_{3/0} / omega_{1/0} du train épicycloïdal en fonction des nombres de dents Z_0, Z_1, Z_20, Z_21, en appliquant la formule de Willis. La question 3.3 calcule l'inertie équivalente ramenée sur l'arbre moteur en fonction des nombres de dents et des inerties propres des pièces 1, 2 et 3. La question 3.4 compare les avantages et inconvénients d'une configuration planétaire extérieur (satellitaire périphérique) par rapport à la configuration centrale en termes de rapport de réduction et d'inertie équivalente.

Validation d'un cycle et modèle géométrique (questions 3.5 à 3.11)

La question 3.5 demande d'écrire en Python une fonction cycle_valide(OG6, a_max) qui vérifie qu'une liste de positions de l'effecteur modélise bien un cycle (position finale identique à la position initiale) et que l'accélération du point G_6 ne dépasse jamais a_max. C'est l'une des rares questions de programmation de ce type en sciences industrielles, et elle testait la capacité des candidats à utiliser des différences finies pour approcher numériquement la dérivée seconde d'une liste de positions discrétisées à pas fixe. La question 3.6 construit le modèle géométrique direct du robot : on exprime le vecteur O_0G_6 et les matrices de changement de base R_01, R_12 et R_34 en fonction des paramètres angulaires, puis on déduit la matrice R_06 sous forme de produit de matrices élémentaires de rotation.

La question 3.7 discute de la bijectivité de la fonction géométrique directe f : elle n'est pas bijective (plusieurs configurations articulaires peuvent donner la même position et orientation de l'effecteur, notamment à cause des singularités et de la redondance posturale), ce qui complique le calcul du modèle géométrique inverse f^{-1}. La question 3.8 détermine la résolution angulaire sur l'axe 1 (codeur 10 bits, réducteur de rapport 360, soit 2^10 * 360 = 368 640 incréments par tour de sortie, donnant une résolution de l'ordre de 0,001°) et calcule la précision de déplacement de G_6 dans la configuration la plus défavorable (bras tendu à 3,4 m, soit une erreur de positionnement d'environ 0,06 mm). Les questions 3.9 à 3.11 concernent le modèle inverse par réseau de neurones : la question 3.9 détermine le nombre de neurones en entrée et en sortie et évalue le nombre de paramètres du modèle, la question 3.10 critique le modèle sans fonction de perte (erreur moyenne de l'ordre de 5 à 7 m, clairement insuffisante), et la question 3.11 sélectionne la meilleure configuration du réseau avec la fonction de perte cinématique (configuration 5 ou 6, avec une erreur de l'ordre du centimètre, et propose une amélioration).

Partie 4 : Contrôle en vitesse des actionneurs (questions 4.1 à 4.14)

Modélisation du moteur synchrone et asservissement de courant (questions 4.1 à 4.4)

La quatrième partie est consacrée à l'asservissement en vitesse d'un actionneur du robot, avec une double boucle : une boucle interne d'asservissement de courant et une boucle externe d'asservissement de vitesse angulaire. Le moteur synchrone triphasé à aimants permanents est modélisé comme une machine à courant continu équivalente décrite par quatre équations : loi des mailles électriques u(t) = R.i(t) + L.di/dt + e(t), force contre-électromotrice e(t) = k_e * omega(t), couple électromécanique c_em(t) = k_c * i(t), et équation mécanique J * d(omega)/dt = c_em - f * omega - c_r.

La question 4.1 établit la fonction de transfert H_i(p) = I(p)/U(p) sous forme canonique et identifie K_1, tau_1, a_1, a_2. La question 4.2 complète le schéma-bloc de l'asservissement de courant (Document Réponse 1) et précise le gain d'adaptation k_{i0}. La question 4.3 montre que sans correcteur (C_i(p) = 1), la boucle de courant ne satisfait pas l'exigence de précision (erreur statique non nulle) et propose un correcteur de type intégral pur ou PI. La question 4.4 dimensionne le correcteur PI par compensation de pôle pour satisfaire les critères de rapidité (pulsation propre supérieure à 100 000 rad/s) et de dépassement inférieur à 10 % grâce à l'abaque de l'Annexe F.

Asservissement de vitesse angulaire et commande dynamique (questions 4.5 à 4.14)

Les questions 4.5 et 4.6 établissent la fonction de transfert en boucle ouverte de l'asservissement de vitesse et déterminent la pulsation de cassure optimale omega_V du correcteur PI de vitesse pour satisfaire simultanément les critères de stabilité (marge de phase supérieure à 45°) et de rapidité (pulsation de coupure supérieure à 40 rad/s en boucle ouverte). La question 4.7 utilise le diagramme de Bode fourni pour relever les paramètres K_pv et K_iv, et la question 4.8 conclut sur le respect ou non des exigences du cahier des charges pour l'asservissement de vitesse corrigé. La question 4.9 illustre qualitativement la variabilité de l'inertie équivalente ramenée sur l'axe moteur de l'axe 2 en dessinant les deux configurations extrêmes du robot (bras replié vs bras tendu), et explique l'origine de cette variabilité.

Les questions 4.10 et 4.11 étudient l'effet de cette variation d'inertie : la question 4.10 demande de tracer sur le Document Réponse 2 les diagrammes de Bode asymptotiques de la boucle ouverte sans correction pour deux valeurs d'inertie J_1 = 10² kg.m² et J_2 = 10³ kg.m², et d'en déduire l'effet sur le gain et les performances de l'asservissement. La question 4.11 décrit qualitativement l'effet théorique sur la précision, la stabilité et la rapidité. Les questions 4.12 à 4.14 présentent la commande dynamique (feedforward) qui compense les termes non-linéaires du modèle dynamique du robot : la question 4.12 lit le schéma-bloc de commande pour écrire l'équation de commande globale, la question 4.13 montre que l'erreur d'angle vérifie une équation différentielle du second ordre homogène dont les racines sont imposées par K_v et K_p, et la question 4.14 explicite le rôle de ces deux paramètres sur les performances (K_v agit sur l'amortissement, K_p sur la pulsation propre).

Partie 5 : Analyse dynamique et dimensionnement des actionneurs (questions 5.1 à 5.8)

Situation particulière de forte accélération (questions 5.1 à 5.6)

La cinquième partie analyse la dynamique du robot pour dimensionner les actionneurs. Une situation particulière de forte accélération est d'abord étudiée : axes 1, 3, 4 et 5 bloqués, seules les rotations autour des axes 2 et 6 sont possibles. La question 5.1 donne l'expression de la vitesse et de l'accélération du point G_6 dans son mouvement par rapport au socle. La question 5.2 détermine le moment dynamique delta(G_6, 6/0) dans la base la plus appropriée. La question 5.3 applique le théorème du moment dynamique à la liaison pivot entre le poignet 5 et l'effecteur 6 pour montrer que le couple C_m6 est de la forme k * sin(2 * theta_6) * theta_dot_6², et discute le cas particulier B_6 = C_6 dans la matrice d'inertie de l'effecteur. La question 5.4 propose et met en oeuvre une démarche pour déterminer le couple C_m2 de l'actionneur de l'axe 2 par application du théorème du moment dynamique en O_2. Les questions 5.5 et 5.6 lisent et commentent les courbes simulées de couples et d'angles sur les axes 2 et 6 pour deux cas (theta_dot_6 = 0 et theta_dot_6 = 2 rad/s), et discutent le phénomène dynamique associé à l'effet gyroscopique créé par un centre de gravité de l'effecteur hors de l'axe.

Modèle dynamique général (questions 5.7 et 5.8)

Les deux dernières questions de la partie 5 généralisent au cas des 6 axes mobiles simultanément. La question 5.7 donne l'expression générale de l'énergie cinétique d'un élément i et montre qualitativement que l'énergie cinétique globale se met sous la forme E_c = (1/2) * theta_dot^T * A(theta) * theta_dot, où A(theta) est la matrice d'inertie généralisée du système (matrice symétrique définie positive dont les termes représentent les inerties et les couplages inertiels entre les axes). La question 5.8 indique une démarche rapide (Lagrange ou Newton-Euler) pour aboutir au modèle dynamique global A(theta) * theta_double_dot+ B(theta, theta_dot) * theta_dot + C(theta) = tau, en explicitant la signification physique de chaque terme : A(theta) * theta_double_dot sont les couples d'inertie, B(theta, theta_dot) * theta_dot les couples de Coriolis et centrifuges, C(theta) les couples gravitationnels, et tau le vecteur des couples moteurs. C'est précisément le modèle utilisé dans la commande dynamique de la partie 4.

Partie 6 : Commande du frein de sécurité (questions 6.1 à 6.5)

Exigence de freinage et modélisation des actions de contact (questions 6.1 à 6.3)

La sixième et dernière partie valide l'architecture et la commande d'un frein de sécurité à disque intégré à chaque unité d'actionneur. L'exigence est que le système de freinage réagisse suffisamment vite pour que l'effecteur ne descende pas de plus de Delta_z = 10 mm après déclenchement en cas de défaillance de l'actionneur principal de l'axe 2. La question 6.1 calcule la durée de chute libre de l'effecteur (modélisé par un point de masse m_6 à une longueur L_6 = 2 450 mm de l'axe O_2) pour parcourir 10 mm sous l'effet de la pesanteur, en détaillant les hypothèses (pivot parfait, poids seul actif, conditions initiales au repos). Le résultat fournit un critère de rapidité pour le système de freinage. La question 6.2 identifie les caractéristiques de l'action mécanique tangentielle locale en un point M de la garniture sur le disque, et donne le torseur d'action mécanique local {dT_{g->d}} en O. La question 6.3 intègre ce torseur local sur toute la surface de la garniture pour exprimer le couple de freinage C_f en fonction de l'effort presseur F, du coefficient de frottement f et des rayons intérieur r_1 et extérieur r_2 de la garniture : C_f = (2/3) * f * F * (r_2³ - r_1³) / (r_2² - r_1²).

Architecture de commande et validation du dimensionnement (questions 6.4 et 6.5)

La question 6.4 justifie qualitativement l'allure de la courbe du courant d'induit simulé lors d'un échelon de tension de 15 V (pic initial dû à l'inductance, puis régime permanent) et explique l'origine du retard de l'effort presseur par rapport au déplacement de la garniture (temps de montée en courant puis en couple moteur avant que l'écrou se déplace suffisamment pour produire un effort presseur significatif). La question 6.5, qui clôt le sujet, vérifie si les exigences de maintien à l'arrêt du cahier des charges sont satisfaites : l'effort presseur en régime permanent doit ne pas dépasser de plus de 40 % la valeur nominale (critère de précision), et le temps de réponse à 5 % doit être inférieur à 40 ms. L'analyse des courbes simulées fournies permet de conclure.

Bilan global : un sujet marathon d'une cohérence exemplaire

Un fil conducteur unique sur un système industriel réel

Ce sujet de Sciences Industrielles PSI XSR 2026 est remarquable par la cohérence de son fil conducteur. Toutes les parties s'articulent autour d'un seul système, le KUKA KR 500, et chacune éclaire un aspect différent de son fonctionnement : les effecteurs (partie 1), la fixation (partie 2), la géométrie et la cinématique (partie 3), l'asservissement des actionneurs (partie 4), la dynamique (partie 5) et la sécurité (partie 6). Ce découpage donne au sujet une progressivité réelle : on commence par des mécanismes relativement classiques (cinématique de la pince, hyperstatisme) avant de monter vers des thèmes plus avancés (modèle géométrique inverse par réseau de neurones, commande dynamique, dynamique Lagrangienne à 6 axes). À chaque étape, les résultats obtenus dans une partie servent de base pour la suivante, notamment le modèle dynamique de la partie 5 qui justifie et alimente la commande de la partie 4.

Les thèmes qui ont différencié les copies

Certaines questions étaient clairement destinées à séparer les meilleurs candidats. La question 3.5 de programmation Python sur la validation d'un cycle, inédite dans le style de ce concours, testait une compétence numérique qui ne s'improvise pas. La question 3.7 sur la non-bijectivité du modèle géométrique direct et ses implications pour l'inversion était un moment d'analyse conceptuelle délicat. L'ensemble des questions 3.9 à 3.11 sur les réseaux de neurones appliqués au modèle géométrique inverse introduisait un thème d'intelligence artificielle appliquée aux systèmes mécatroniques qui est désormais incontournable dans les industries du futur. La commande dynamique des questions 4.12 à 4.14 et le modèle Lagrangien général des questions 5.7 et 5.8 relevaient d'une culture des systèmes multi-corps qui dépasse le programme standard de prépa PSI, même si les questions étaient guidées et accessibles avec une bonne compréhension physique.