Analyse du sujet de Physique X/ENS/ESPCI 2026 (filière MP) : ondes mécaniques dans une plaque élastique, de la chaîne de molécules à la vibrométrie laser

Préambule : onde de compression unidimensionnelle dans une chaîne de molécules

Le préambule pose les bases microscopiques du problème en étudiant la propagation d'une onde de compression longitudinale dans une chaîne de molécules identiques (masse m) reliées par des ressorts de raideur κ et de longueur à vide a. Cette modélisation discète est ensuite passée à la limite continue pour faire émerger une équation d'onde.

La question 1 demande de rappeler l'expression de l'énergie potentielle élastique emmagasinée dans un ressort d'élongation δ_n. C'est un point de cours direct, mais essentiel pour la suite.

La question 2 demande l'énergie potentielle élastique E_p^λ stockée sur une longueur d'onde, sous forme de somme discrète, lorsque le déplacement des molécules est décrit par une onde plane progressive harmonique u(x, t) = U sin(kx − ωt). Les candidats devaient exprimer l'élongation de chaque ressort en fonction de la dérivée spatiale de u, sommer sur une longueur d'onde, et reconnaître la somme d'un carré de sinusoïde sur une période entière, qui vaut la moitié du nombre de termes fois le carré de l'amplitude.

La question 3 justifie le passage de la description discrète à une description continue : l'élongation d'un ressort est proportionnelle à ∂u/∂x, et la somme discrète se transforme en intégrale sur une longueur d'onde. La formule obtenue, E_p^λ = (1/2)κa ∫(∂u/∂x)² dx, est un résultat fondamental pour la suite.

La question 4 demande l'énergie cinétique E_c^λ sous forme intégrale sur une longueur d'onde, et la question 5 utilise l'équipartition de l'énergie mécanique entre ses composantes cinétique et potentielle pour établir la relation de dispersion ω² = k²c², où c est la vitesse de propagation. L'expression de c en fonction des paramètres microscopiques κ, a et m doit être donnée et commentée : c = a√(κ/m), qui est bien la vitesse du son dans le milieu.

La question 6, plus conceptuelle, demande de retrouver l'équation d'onde à partir de la relation de dispersion. Puisque ω correspond à une dérivée temporelle et k à une dérivée spatiale, la relation ω² = k²c² se traduit directement par ∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x², l'équation des ondes classique non dispersive. Cette question testait la capacité des candidats à raisonner dans les deux sens entre relation de dispersion et équation aux dérivées partielles, un exercice central en physique des ondes.

Énergie élastique pour une plaque en compression homogène

La deuxième partie étend le modèle microscopique au cas tridimensionnel : le solide est désormais modélisé comme un réseau cubique de molécules reliées par des ressorts dans les trois directions de l'espace. On étudie le cas d'une compression statique homogène selon l'axe Ox.

La question 7 demande de tracer l'allure du déplacement u(x) lors d'une compression homogène : c'est une fonction linéaire de x, puisque tous les ressorts se compriment de la même longueur δ et que le déplacement d'une molécule est proportionnel à sa position initiale.

La question 8 demande d'exprimer le nombre de ressorts comprimés dans la direction Ox en fonction des dimensions de la plaque e, l et L : il y a (L/a) × (e/a) × (l/a) molécules au total, et donc (L/a − 1) × (e/a) × (l/a) ressorts dans la direction Ox, ce qui se simplifie en (el/a²) × (L/a) pour une grande plaque.

La question 9 est la plus importante de cette partie : montrer que l'énergie potentielle élastique de la plaque comprimée d'une quantité ΔL s'écrit E_p^L = (1/2)K(el/L)ΔL², où K = κ/a est la raideur par unité de longueur. La démonstration passe par le calcul de l'élongation de chaque ressort (δ = ΔL/(L/a) = aΔL/L), puis par la sommation sur le nombre total de ressorts comprimés. Ce résultat, analogue à la loi de Hooke pour un ressort macroscopique, préfigure les résultats de la partie suivante sur la flexion.

Flexion : énergie élastique d'une tranche courbée

La troisième partie est le cœur conceptuel du sujet. Elle introduit la déformation en flexion d'une tranche de plaque qui, sous l'effet de contraintes mécaniques, adopte la forme d'un arc de cercle de rayon R_C et d'angle θ. C'est la physique de la poutre d'Euler-Bernoulli, reformulée à partir des résultats microscopiques établis en partie II.

La question 10 donne le sens physique de R_C (rayon de courbure de la fibre neutre, c'est-à-dire l'élément de longueur invariante au milieu de la plaque) et la relation géométrique L = R_C × θ.

La question 11 est géométriquement délicate : elle demande d'exprimer l'élongation d'une fibre située à la distance algébrique r de la fibre neutre. Un arc de cercle de rayon R_C + r a une longueur (R_C + r)θ, tandis que la fibre neutre a une longueur R_C × θ = L. L'élongation est donc ΔL(r) = r × θ = rL/R_C. Les fibres en dehors de la fibre neutre s'allongent (r > 0, face extérieure) ou se raccourcissent (r < 0, face intérieure), conformément à l'intuition physique.

La question 12 utilise le résultat de la question 9 pour exprimer l'énergie potentielle élémentaire emmagasinée dans une tranche infinitésimale d'épaisseur dr, et la question 13 intègre sur toute l'épaisseur e pour obtenir l'énergie totale de flexion E_p^L = AK(Lle³/R_C²), où A est un préfacteur numérique qui vaut 1/24 après intégration de r² entre −e/2 et e/2 (donnant e³/12, mais le signe de A peut varier selon la convention). Ce résultat est central : il montre que l'énergie de flexion est proportionnelle au carré de la courbure 1/R_C, ce qui est la base de toute la mécanique des plaques et des poutres élastiques.

Relation de dispersion des ondes de flexion

La quatrième partie combine les résultats des parties précédentes pour établir la relation de dispersion des ondes de flexion, qui est fondamentalement différente de celle des ondes de compression établie en préambule.

La question 14 définit l'inclinaison locale α(x, t) de la plaque par rapport à l'horizontale et demande sa relation avec Z(x, t), la position de la fibre neutre. Dans le régime des faibles déformations, α = ∂Z/∂x.

Les questions 15 et 16 calculent respectivement l'énergie potentielle élastique E_p^λ et l'énergie cinétique E_c^λ sur une longueur d'onde pour une onde plane progressive harmonique Z(x, t) = a_Z sin(kx − ωt). Pour l'énergie potentielle, on utilise le résultat de la partie III avec 1/R_C = ∂²Z/∂x², ce qui donne une dépendance en k⁴. Pour l'énergie cinétique, on intègre (1/2)ρS(∂Z/∂t)² sur une longueur d'onde, donnant une dépendance en ω².

La question 17 égalise les moyennes temporelles des deux énergies pour établir la relation de dispersion 12ω² = e²c²k⁴. C'est le résultat le plus important de la partie : contrairement aux ondes de compression (ω² = c²k², relation linéaire entre ω et k), les ondes de flexion obéissent à une relation de dispersion quadratique ω ∝ k². Cela signifie que ces ondes sont dispersives : leur vitesse de phase dépend du nombre d'onde, ce qui a des conséquences profondes sur la propagation des paquets d'ondes.

La question 18 demande d'exprimer la constante c en fonction de K et de la masse volumique ρ du matériau, puis d'en calculer la valeur numérique pour du verre (K = 70 GPa, ρ = 2500 kg/m³). On trouve c = √(K/ρ) ≈ 5300 m/s, ce qui correspond à la vitesse du son dans le verre, une valeur physiquement cohérente et attendue des meilleurs candidats.

La question 19 demande de montrer que la vitesse de groupe vaut le double de la vitesse de phase, et de commenter les conséquences sur un paquet d'ondes. À partir de ω = (ec/√12)k², on calcule v_φ = ω/k = (ec/√12)k et v_g = dω/dk = 2(ec/√12)k = 2v_φ. Comme les deux vitesses dépendent de k, le paquet d'ondes se déforme lors de la propagation : les différentes composantes spectrales se propagent à des vitesses différentes, et l'enveloppe du paquet s'étale. Cette dispersion de groupe est la signature caractéristique des ondes de flexion.

La question 20 reprend la méthode de la question 6 pour proposer une équation de propagation correspondant à la relation de dispersion 12ω² = e²c²k⁴. Puisque ω ↔ ∂/∂t et k ↔ ∂/∂x (avec les bons signes), la relation de dispersion donne ∂²Z/∂t² = −(e²c²/12)∂⁴Z/∂x⁴. Cette équation biharmonique est l'équation de flexion d'une plaque mince, bien connue en mécanique des structures. Le signe négatif (lié au k⁴ pair) traduit le caractère dispersif et différencie fondamentalement cette équation de l'équation d'onde standard.

Applications : flûte à champagne, séismes et lac gelé

Modes propres d'une flûte à champagne

La sous-partie sur la flûte à champagne est l'une des plus élégantes du sujet. Elle modélise le verre comme un cylindre de verre de hauteur h = 10 cm, d'épaisseur e = 0,5 mm et de rayon R₀ = 2 cm, dont les déformations sont purement radiales. Lorsqu'un doigt mouillé frotte le bord du verre, il excite ses modes propres, dont le deuxième (celui avec deux ventres d'oscillation opposés) est naturellement sélectionné.

La question 21 demande quel type de conditions aux limites impose la quantification du nombre d'onde, et dans quel autre domaine de la physique une telle condition existe. La réponse attendue est la quantification en mécanique quantique : les conditions périodiques sur l'anneau sont analogues aux conditions aux limites périodiques imposées à la fonction d'onde d'un électron dans un modèle de Kronig-Penney, ou simplement à la quantification du moment cinétique orbital en mécanique quantique.

La question 22 exprime la condition de quantification sur le nombre d'onde k pour la flûte : la circonférence 2πR₀ doit contenir un nombre entier n de longueurs d'onde, soit k = n/(R₀). La question 23 demande de représenter le premier mode propre (n = 1), qui correspond à une déformation elliptique du cylindre.

La question 24 donne la fréquence du deuxième mode propre (n = 2), en utilisant la relation de dispersion établie : f = ω/(2π) = (e × c)/(2π × √12) × k² = (ec)/(2π√12) × (2/R₀)². La question 25 demande l'application numérique : on trouve f ≈ 740 Hz, ce qui correspond bien aux sons audibles produits par une flûte à champagne, une cohérence physique immédiatement appréciable.

Séismes

La sous-partie sur les séismes utilise le même formalisme pour modéliser la croûte terrestre comme une plaque élastique d'épaisseur e = 30 km, de raideur K = 100 GPa et de masse volumique ρ = 2800 kg/m³. Elle offre deux questions applicatives directes mais exigeantes.

La question 26 demande si la vitesse de propagation des ondes P longitudinales (6 km/s mesurée) est cohérente avec les résultats précédents. Le calcul donne c = √(K/ρ) ≈ 6000 m/s, ce qui est bien cohérent. La question 27 est plus subtile : elle demande si la vitesse des ondes S transverses (assimilées ici aux ondes de flexion) de 4 km/s est une vitesse de phase ou de groupe. Puisque les ondes de flexion sont dispersives, les deux vitesses sont différentes et dépendent de la fréquence. La réponse demande une analyse soignée : à la fréquence dominante d'un séisme (environ 1 Hz), la vitesse de groupe est le double de la vitesse de phase. Si on mesure 4 km/s pour la vitesse de groupe, la vitesse de phase serait 2 km/s, ce qui paraît trop faible. La question invite donc les candidats à discuter la pertinence de l'analogie entre ondes S sismiques et ondes de flexion d'une plaque mince.

La question 28 demande de calculer la longueur d'onde des ondes S à partir des données. Avec v_g = 4 km/s et f ≈ 1 Hz, la longueur d'onde est de l'ordre de plusieurs kilomètres, cohérente avec l'épaisseur de la croûte. Ces questions sismologiques permettent aux candidats de calibrer les ordres de grandeur et de vérifier la cohérence physique de leurs résultats théoriques.

Lac gelé

La sous-partie sur le lac gelé est la plus phénoménologique et la plus accessible de la partie V. Elle décrit le son caractéristique produit lorsqu'on jette une pierre sur un lac gelé : l'impact crée un train d'ondes de flexion sur une large bande de fréquences, et la dispersion fait que les différentes fréquences arrivent à des instants différents à l'oreille d'un observateur distant, produisant un son glissant décroissant en fréquence.

La question 29 demande de commenter le diagramme temps-fréquence de la figure 6, qui montre deux impacts. L'observation centrale est que la fréquence reçue décroît avec le temps après chaque impact : les hautes fréquences, qui se propagent plus vite (v_g ∝ k ∝ √f), arrivent en premier, et les basses fréquences plus lentement. La figure montre également deux impacts distincts correspondant aux deux pierres lancées.

La question 30 explique comment exploiter ce diagramme pour mesurer l'épaisseur de la glace : en mesurant la relation entre la fréquence reçue et le temps d'arrivée pour une distance connue, on peut remonter à la vitesse de groupe en fonction de la fréquence, puis à l'épaisseur e via la relation de dispersion v_g = 2v_φ = (ec/√3)k. La question 31 discute la différence de perception entre un observateur à 50 m et un à 500 m : à grande distance, les fréquences élevées sont davantage atténuées et la dispersion temporelle est plus marquée, ce qui modifie profondément le son perçu.

Détection des ondes de flexion : la vibrométrie laser

Le montage interférométrique et la mesure d'amplitude

La sixième et dernière partie constitue le sommet d'ambition et d'originalité du sujet. Elle présente la vibrométrie laser, une technique optique qui permet de mesurer les vibrations d'une plaque sans contact mécanique, en exploitant les interférences entre un rayon laser de référence et un rayon sonde réfléchi par la plaque vibrante. Le montage est un interféromètre de Michelson modifié, décrit sur la figure 7b.

Les questions 32 à 35 établissent la structure de base du signal interférométrique. La question 32 demande d'exprimer les amplitudes a₁ et a₂ des rayons de référence et sonde à leur arrivée sur la photodiode, en tenant compte des réflexions et transmissions successives sur les lames séparatrices idéales : a₁ = a₂ = a₀/2. La question pose aussi pourquoi on ne peut pas utiliser simplement un miroir à la place de la séparatrice : un miroir plein enverrait tout le faisceau vers la plaque, sans bras de référence, et les interférences seraient impossibles.

La question 33 demande les déphasages φ₁ et φ₂ des deux rayons en fonction des distances et du temps, et la question 34 discute la condition sur la distance D entre la séparatrice et la plaque pour observer des interférences : il faut que D soit inférieure à la longueur de cohérence du laser (de l'ordre de quelques centimètres pour un laser ordinaire). La question 35 établit l'expression de la tension U(t) produite par la photodiode, qui s'avère être U(t) = U₀(1 + cos(4π(z(t) − ε)/λ_l)), résultat direct du calcul de l'intensité lumineuse en sortie de l'interféromètre.

Les questions 36 à 40 analysent la mesure d'amplitude dans deux régimes. Dans le régime des très faibles déformations (a_z ≪ λ_l, questions 36 à 38), en se plaçant au contact optique (ε = 0), le signal U(t) oscille autour de sa valeur moyenne : pour optimiser la sensibilité, il faut régler la vis micrométrique de façon à se placer en quadrature de phase, c'est-à-dire à ε = λ_l/4, ce qui linéarise la réponse du capteur. Dans le régime des grandes déformations (a_z ≫ λ_l, questions 39 et 40), le signal oscillant autour de sa valeur moyenne fait apparaître de nombreuses franges d'interférence, et l'amplitude se mesure en comptant le nombre de franges sur une période de vibration.

La mesure de vitesse par effet Doppler

La dernière sous-partie est la plus avancée du sujet et exploite l'effet Doppler du rayon laser réfléchi par la plaque vibrante. Lorsque la plaque se déplace à la vitesse v, le rayon réfléchi subit un décalage en fréquence f_D = −2f_l × v/c₀, où c₀ est la vitesse de la lumière et f_l la fréquence du laser.

Les questions 41 à 43 établissent ce résultat par une démarche géométrique soignée sur les fronts d'onde. La question 41 calcule la période T' du rayon incident vu par le miroir mobile, et la question 42 déduit la longueur d'onde λ'' et la période T'' du rayon réémis. La question 43 combine les deux effets Doppler (aller et retour) pour montrer que le décalage en fréquence total est f_D = −2f_l × v/c₀.

La question 44 demande de calculer la valeur numérique de la fréquence du laser (f_l = c₀/λ_l ≈ 10¹⁵ Hz) et d'en déduire l'amplitude des variations du décalage Doppler pour le violon de l'introduction (a_z = 100 µm, f = 1 kHz) : v_max = a_z × ω ≈ 0,63 m/s, d'où f_D(max) ≈ 4 MHz. Ce chiffre est faible devant la fréquence optique, ce qui justifie l'approche non-relativiste.

Les questions 45 à 52 traitent le signal interférométrique en présence du seul effet Doppler (en négligeant la variation de la distance S₂M₂ déjà traitée). On montre que la tension devient U(t) = U₀(1 + cos(2πf_D(t)(t − τ))), où τ est un temps de retard lié à la distance D/c₀. La question 49 soulève une indétermination importante : puisque f_D est proportionnel à v mais pas au signe de v, il est impossible de distinguer si la plaque s'éloigne ou se rapproche. La solution classique, introduite aux questions 50 à 52, est d'ajouter un modulateur acousto-optique (réseau de Bragg) sur le trajet du rayon sonde pour lui imposer un décalage constant en fréquence f_B = 40 MHz. Le signal devient alors une modulation de fréquence (FM) autour de f_B, et le signe du décalage Doppler peut être déterminé selon que la fréquence instantanée est supérieure ou inférieure à f_B.

Les questions 53 à 56 concluent le sujet par l'électronique de traitement du signal. La question 53 montre que le circuit RC de la figure 9 satisfait l'équation dU/dt = U_s/RC + dU_s/dt, et la question 54 propose des valeurs de R et C pour se placer en régime dérivateur (RC ≪ 1/f_D). Dans ce régime, le signal de sortie U_s(t) est proportionnel à la dérivée de U(t), c'est-à-dire à la vitesse de déplacement de la plaque. La question 56 explique comment remonter à l'amplitude des vibrations par intégration du signal de vitesse.