Analyse du sujet de Physique U X/ENS/ESPCI 2026 (filière PSI) : physique de l'audition, de la propagation du son à l'oreille active

Équations de propagation du son en espace libre

Préambule et dérivation de l'équation d'onde

La première partie est la plus rigoureuse sur le plan de la physique mathématique. Elle établit les équations de la propagation acoustique à partir des principes microscopiques, corrige ensuite l'hypothèse de propagation isentropique pour prendre en compte la dissipation thermique, et dérive une longueur d'atténuation caractéristique.

Les questions Q1 à Q3 sont des rappels sur l'équation de d'Alembert (équation des ondes scalaire), ses solutions harmoniques planes et la notion de front d'onde. Ces questions introduisent le formalisme des ondes planes progressives harmoniques (OPPH) en notation complexe, outil central pour toute la suite du sujet.

Les questions Q4 à Q7 établissent rigoureusement les trois équations couplées décrivant la propagation acoustique : la relation entre incrément de masse volumique ρ et surpression p (via la compressibilité isentropique χ_s), la conservation de la matière (équation de continuité), et la conservation de la quantité de mouvement (équation d'Euler linéarisée). La Q4 montre que ρ ≈ ρ₀χ_s p à partir du développement au premier ordre de la compressibilité. La Q5 rappelle la loi de Laplace et exprime χ_s = 1/(γP₀) pour un gaz parfait. La Q6 utilise la conservation de la matière pour montrer que le champ de vitesse ne peut pas être nul dans une onde acoustique. La Q7 justifie l'équation d'Euler à partir d'un bilan de quantité de mouvement sur un petit volume de fluide.

Les questions Q8 à Q12 introduisent la formulation matricielle : en substituant la forme OPPH dans les trois équations couplées, on obtient A(ω, k) × (ρ̃, ṽ, p̃)^T = 0, où A est une matrice 3×3 explicite. La relation de dispersion ω = ck s'obtient en annulant le déterminant de A (Q10). La Q12 est particulièrement élégante : elle montre que la perturbation de température T est proportionnelle à la surpression p, avec un facteur T₀γ/(γ−1)/P₀, révélant que les ondes sonores modifient bien la température locale de l'air, contrairement à l'intuition naïve.

Prise en compte de la dissipation thermique

La sous-partie I.3 est la plus exigeante de la partie I. Elle revient sur l'hypothèse de transformation isentropique et la lève, en couplant les équations acoustiques à l'équation de diffusion thermique. C'est un problème de perturbation : la conductivité thermique κ est faible mais non nulle, et elle introduit une partie imaginaire dans le nombre d'onde k, responsable de l'atténuation de l'onde.

Les questions Q13 à Q19 établissent l'équation de diffusion thermique à partir des bilans d'entropie et d'énergie. La Q15 montre que le transfert thermique reçu par un volume élémentaire de fluide est dQ = −dV × dt × div(j_Q), où j_Q est le vecteur densité de flux thermique. La Q16 rappelle la loi de Fourier. La Q17 utilise le premier principe de la thermodynamique pour montrer que la variation locale d'entropie massique est ds = (c_P/T₀) × dT. La Q18 combine ces résultats pour obtenir l'équation de diffusion thermique ρ₀ × ds/dt= (κ/T₀) × ΔT, et la Q19 en déduit le coefficient de diffusion thermique D = κ/(ρ₀ c_P).

Les questions Q20 à Q28 traitent le couplage complet en formulation matricielle. La Q20 montre que les amplitudes de T et d'entropie massique s vérifient une équation matricielle B(ω, k) × (T̃, s̃)^T = 0 avec la matrice B explicite. La Q25 assemble la matrice complète 5×5 M(ω, k) couplant les grandeurs mécaniques (ρ̃, ṽ, p̃) et thermodynamiques (p̃, T̃, s̃), et montre que det M = det A × det B − correction. La Q26 effectue le développement limité au premier ordre en κ pour montrer que la correction au nombre d'onde est complexe : k = k₀ + ε avec Im(ε) ≠ 0. La Q27 dérive la partie imaginaire de k et en déduit la longueur d'atténuation δ de l'intensité sonore due à la diffusion thermique. La Q28 évalue numériquement δ à 1 kHz et conclut que cette atténuation est négligeable pour des distances ordinaires (δ est de l'ordre de la dizaine de kilomètres à 1 kHz), ce qui justifie a posteriori l'hypothèse isentropique pour l'acoustique usuelle.

Perception spatiale de l'audition

Onde sonore émise par une source sphérique

La deuxième partie est organisée autour d'une question centrale : comment le cerveau utilise-t-il les indices liés au positionnement des deux oreilles pour localiser une source sonore dans l'espace ? Trois indices sont mentionnés : la différence d'intensité (ILD), la différence temporelle (ITD) et la différence de phase (IPD). Le sujet se concentre sur l'ITD.

Les questions Q29 à Q40 établissent d'abord la physique d'une onde sphérique émise par une sphère pulsante de rayon R₀. La Q29 explique pourquoi les champs ne dépendent que de r et t : par symétrie sphérique, il n'y a pas de direction privilégiée. La Q30 montre que la surpression est de la forme p(r, t) = (1/r) × f(t − r/c), un résultat qui généralise l'onde plane en introduisant la décroissance en 1/r caractéristique d'une source sphérique. La Q31 en déduit l'onde sphérique progressive harmonique (OSPH) : p(r, t) = A_ω × g(r) × e^{−iωt} où g(r) = e^{ikr}/(4πr). La Q32 trouve la solution « convergente » par invariance par renversement du temps. La Q35 calcule l'impédance acoustique Z = cρ₀. Les questions Q36 à Q40 relient l'amplitude de l'oscillation de la sphère, le débit volumique S(t) et la puissance acoustique Φ émise, aboutissant à une expression remarquable : Φ = Z × |S_ω|² × k² dans la limite d'une source petite devant la longueur d'onde.

Perception par différence temporelle : ITD et effet de sol

La Q41 ouvre la sous-partie sur la localisation spatiale par une question physique importante : pourquoi les sons ne pénètrent-ils pas directement dans la tête par transmission acoustique ? Le corps étant essentiellement constitué d'eau (ρ_eau × c_eau ≈ 1,5 × 10⁶ Pa.s/m), l'impédance acoustique de l'eau est très différente de celle de l'air (ρ₀c ≈ 415 Pa.s/m). Le coefficient de réflexion en puissance à l'interface air-eau est très proche de 1 (plus de 99,9 % du son est réfléchi), ce qui explique la nécessité des oreilles comme systèmes de couplage air-fluide.

Les questions Q42 à Q48 étudient l'ITD. La Q42 exprime le délai Δt entre les arrivées du son à l'oreille droite et à l'oreille gauche en fonction du diamètre de la tête D, de la célérité c et de l'angle d'incidence θ : Δt = D sin(θ)/c. La Q43 calcule l'ITD maximale (pour θ = 90°) : Δt_max = D/c ≈ 0,23/343 ≈ 0,67 ms pour une tête de 23 cm. La Q44 montre que ce délai est nécessairement plus petit que l'effet de précédence (1 ms minimum), ce qui est cohérent avec les données expérimentales. La Q45 traite le cas amusant où l'auditeur est dans l'eau : son cerveau, calibré pour l'air, perçoit une direction faussée par le rapport c_eau/c_air ≈ 4,4. La Q46 montre que la précision angulaire est maximale pour θ = 0° (source de face), car c'est là que la dérivée de sin(θ) par rapport à θ est maximale. Les Q47 et Q48 estiment l'ITD minimale perceptible à partir des données expérimentales (précision angulaire de 3 à 4°) et de la condition de Nyquist-Shannon.

La sous-partie II.3 sur la perception de l'élévation par effet de sol est particulièrement originale. En présence d'un sol rigide, l'onde directe et l'onde réfléchie (modélisée par une source virtuelle image) interfèrent au niveau de l'auditeur. Les questions Q49 à Q55 montrent que la solution du problème avec sol est p(r, t) = p_1(|r − r₀|, t) + p_1(|r − r_s|, t), où r_s est la position de la source virtuelle. L'intensité sonore perçue présente donc des interférences en fonction de la pulsation ω, avec des annulations pour certaines fréquences (analogues aux anneaux d'Young). La Q54 montre que ce filtrage naturel encode l'élévation de la source, et la Q55 identifie le phénomène à une figure d'interférence analogue aux fentes d'Young en optique.

L'audition : un sens actif

Modèle passif de Helmholtz et membrane basilaire

La troisième partie est la plus biologiquement riche du sujet. Elle décrit le fonctionnement de la cochlée, cavité osseuse en spirale de l'oreille interne, dont la membrane basilaire effectue une analyse fréquentielle du son entrant : chaque position sur la membrane résonne à une fréquence différente, ce qui vaut à la cochlée le surnom de "capteur acoustique à arc-en-ciel".

Le modèle de Helmholtz (1885) modélise la membrane basilaire comme un ensemble d'oscillateurs harmoniques amortis indépendants, de masse m_n, raideur k_n et coefficient de frottement h_n. La Q56 écrit l'équation différentielle de chaque oscillateur et identifie la pulsation de résonance ω_n = √(k_n/m_n) et le facteur de qualité Q_n = m_n ω_n/h_n. La Q57 calcule la réponse en amplitude et en phase de l'oscillateur n soumis à un forçage monochromatique. La Q58 introduit la variation exponentielle de la raideur le long de la membrane : k_n = k₀ × exp(−z_n/l) avec l = 0,7 cm. La pulsation de résonance varie donc comme exp(−z_n/(2l)) le long de la membrane : les hautes fréquences résonnent à la base (extrémité proche des osselets) et les basses fréquences à l'apex (extrémité opposée). La Q59 évalue le rapport des fréquences extrêmes détectées : exp(L/(2l)) avec L = 3,5 cm, soit exp(2,5) ≈ 12, cohérent avec la gamme auditive humaine (20 Hz à 20 kHz, rapport d'environ 1000).

Les cellules ciliées externes et l'amplification active

La grande originalité de la partie III est d'introduire les cellules ciliées externes, découvertes par von Békésy dans les années 1950, qui constituent le mécanisme actif de l'oreille. Contrairement à ce que postulait Helmholtz, les cellules ciliées de l'oreille ne sont pas de simples récepteurs passifs : elles amplifient activement les vibrations de la membrane basilaire, ce qui permet à l'oreille humaine d'entendre des sons 1000 fois plus faibles que ce que le modèle passif prédit.

Les cellules ciliées externes connectent la membrane basilaire à une membrane secondaire (membrane tectorielle), dont le déplacement y_n est décrit par un second oscillateur harmonique de paramètres m'_n, k'_n et h'_n. La force appliquée par les cellules ciliées sur la membrane basilaire est non linéaire : f_{cc,n}(y_n) = −αy_n + βy_n². Les questions Q60 et Q61 étudient le couplage entre les deux oscillateurs dans le régime linéaire et montrent que le déplacement de la membrane tectorielle est approximativement y_n ≈ −(C_n/h'_n) × x_n au voisinage de la résonance.

La Q62 est centrale : en incluant l'effet des cellules ciliées dans l'équation de la membrane basilaire, on obtient un coefficient d'amortissement effectif h_n − h''_n, où h''_n est le coefficient d'amortissement négatif (c'est-à-dire un gain) apporté par les cellules ciliées. Lorsque le coefficient α est suffisamment grand, l'amortissement total devient négatif, et la membrane devient instable même en l'absence de stimulus extérieur.

Émissions oto-acoustiques spontanées et test de surdité

Cette instabilité est précisément à l'origine du phénomène d'émission oto-acoustique spontanée (EOAS) : l'oreille humaine émet spontanément des sons, même en l'absence de stimulus extérieur. Ce phénomène, d'abord prédit théoriquement et observé expérimentalement, constitue la base des tests de dépistage de la surdité chez les nouveau-nés.

La Q63 montre que l'instabilité apparaît quand α > h_n × h'_n/C_n, et la Q64 explique qualitativement comment la non-linéarité (le terme βy_n² négligé jusqu'ici) stabilise l'oscillation spontanée à une amplitude finie en régime permanent. La Q65 montre que l'amplitude z₀ de l'oscillation spontanée satisfait A(z₀) = B(z₀) = 0, ce qui donne z₀ en fonction des paramètres du modèle.

Le test de surdité par émission oto-acoustique consiste à envoyer deux sons purs de fréquences f₁ et f₂ (avec f₁/f₂ ≈ 1,1) dans le conduit auditif et à mesurer l'émission de l'oreille à des fréquences différentes, produites par la non-linéarité de la réponse des cellules ciliées. Les questions Q66 à Q70 établissent la physique de ce test. La Q66 montre que pour deux excitations de fréquences Ω₁ et Ω₂, le déplacement linéaire x_{n,lin}(t) est une superposition de quatre termes aux fréquences ±Ω₁ et ±Ω₂. La Q67 montre que la correction non linéaire x_{n,NL} satisfait une équation aux mêmes paramètres mais avec un terme de forçage f_{NL} proportionnel à βx_{n,lin}², qui génère des pulsations Ω_{m} = n₁Ω₁ + n₂Ω₂ pour des entiers n₁ et n₂. Parmi celles-ci, les pulsations proches de la résonance ω_n et distinctes de Ω₁ et Ω₂ sont 2Ω₁ − Ω₂ et 2Ω₂ − Ω₁. La Q68 calcule l'amplitude de l'émission à 2Ω₁ − Ω₂. La Q69 identifie ces fréquences d'émission oto-acoustique sur la figure 5A et discute la variation de l'amplitude d'émission avec le niveau sonore des sources. La Q70 conclut en déterminant le niveau sonore optimal pour un test de dépistage et souligne que la détection de ces émissions permet d'assurer le bon fonctionnement de l'audition chez les nouveau-nés, sans que le niveau sonore exposé ne soit dangereux pour l'oreille.