Analyse du sujet de Physique B X/ENS/ESPCI 2026 (filière PC) : de la topologie dans les ondes, de la matière condensée à El Niño

Chaînes masse-ressort et topologie mécanique

Chaîne monoatomique : relation de dispersion et ondes évanescentes

La première partie s'ouvre sur le système le plus classique de la physique des ondes discrètes : une chaîne infinie de masses identiques m reliées par des ressorts de raideur β et séparées par une distance a. Malgré sa familiarité apparente, ce système est abordé ici avec une profondeur inhabituelle, jusque dans les régimes où le nombre d'onde devient complexe.

La question 1 demande l'équation du mouvement de la n-ième masse : m × ü_n = β(u_{n+1} − 2u_n + u_{n-1}), résultat standard du programme de physique des classes préparatoires. La question 2 cherche des solutions en onde plane progressive harmonique u_n = U_0 × exp(i(kna − ωt)) et établit la relation de dispersion ω² = (2β/m)(1 − cos(ka)) = (4β/m)sin²(ka/2). La première zone de Brillouin correspond à k ∈[−π/a, π/a], ce qui est demandé à la question 3. La question 4 demande le tracé de la relation de dispersion, qui est une courbe sinusoïdale atteignant son maximum ω_max = 2√(β/m) aux bords de zone et s'annulant en k = 0.

La question 5 porte sur la signification physique de la pente en k = 0 : c'est la vitesse de phase et la vitesse de groupe (qui coïncident en k = 0), toutes deux égales à a√(β/m). La question 6 demande la vitesse de groupe aux bords de la zone de Brillouin (k = ±π/a) : elle est nulle, ce qui signifie que les ondes à ces nombres d'onde ne transportent pas d'énergie et correspondent à des ondes stationnaires.

La question 7 est la plus exigeante de la sous-partie 1. Elle étudie le régime d'excitation au-delà de la fréquence de coupure, c'est-à-dire pour ω > ω_max = 2√(β/m), en choisissant ω = α√(β/m) avec α > 2. L'absence de solution réelle en k contraint à introduire un nombre d'onde complexe k = k' + ik''. La question 7.1 montre que les conditions aux limites (u_0 imposé) forcent l'introduction de ce k complexe. La question 7.2, en utilisant la formule trigonométrique sin(x + iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y), trouve k' = π/(2a) (bord de zone). La question 7.3 déduit les deux valeurs possibles de k'' et justifie que pour n > 0, seule la solution à k'' > 0 est physique (l'autre diverge). La question 7.4 demande le tracé de la solution, qui est un mode évanescent décroissant exponentiellement en espace, et la question 7.5 définit les bandes de propagation (ω < ω_max) et les bandes interdites (ω > ω_max).

Chaîne dimérisée : le modèle SSH mécanique et ses deux phases

La sous-partie 2 est le cœur de la partie I. Elle présente le modèle SSH (Su, Schrieffer, Heeger, 1979), initialement proposé pour décrire la conduction électronique dans la molécule d'acétylène, ici transposé dans un analogue mécanique : une chaîne de masses identiques m reliées par des ressorts alternant entre raideurs β₁ et β₂. Cette alternance crée une cellule unité à deux atomes, ce qui double la période du réseau et réduit de moitié la zone de Brillouin.

La question 8 établit les équations du mouvement des masses paires (2n) et impaires (2n+1) en tenant compte du couplage alterné. La question 9 cherche des solutions de la forme vectorielle (u_{2n}, u_{2n+1})^T = (U_0, U_1)^T × exp(i(2kna − ωt)) et montre que les équations se réduisent à un problème aux valeurs propres ω² (U_0, U_1)^T = D(k)(U_0, U_1)^T, où D(k) est la matrice dynamique 2×2 à déterminer explicitement.

La question 10 résout ce problème aux valeurs propres pour obtenir la relation de dispersion de la chaîne dimérisée : ω² = ω₁² + ω₂² ± √(ω₁⁴ + ω₂⁴ + 2ω₁²ω₂²cos(2ka)), où ω₁ = √(β₁/m) et ω₂ = √(β₂/m). Cette relation donne deux branches de dispersion (acoustique et optique), séparées par une bande interdite dont la largeur dépend du rapport ω₁/ω₂.

La question 11 demande de commenter la différence entre les cas ω₁/ω₂ = 2/3 et ω₁/ω₂ = 3/2, qui sont inverses l'un de l'autre. Bien que les deux spectres de bandes semblent symétriques en apparence, ils correspondent à deux phases physiquement distinctes de la chaîne, c'est précisément là qu'intervient la topologie. La question 12 compare la première zone de Brillouin de la chaîne dimérisée (k ∈ [−π/(2a), π/(2a)]) avec celle de la chaîne monoatomique : elle est deux fois plus petite en raison du doublement de la période. Les questions 13 et 14 demandent les valeurs remarquables de ω en k = 0 et aux bords de zone, les développements limités au voisinage de k = 0 (donnant la vitesse du son à basse fréquence), les pentes de la relation de dispersion, et le tracé final pour les deux cas ω₁/ω₂ = 2/3 et ω₁/ω₂ = 1.

La question 15 étend l'étude des ondes évanescentes à la chaîne dimérisée, en choisissant une fréquence dans la bande interdite entre √2ω₁ et √2ω₂. La procédure est analogue à la question 7 mais légèrement plus complexe en raison de la matrice dynamique 2×2 : la question 15.1 trouve les deux valeurs possibles de k' dans la zone de Brillouin, la question 15.2 montre qu'une seule satisfait la condition de fréquence imposée, et la question 15.3 trace le profil spatial des déplacements pour n > 0. La question 16 demande d'identifier sur le diagramme de bandes fourni les bandes de propagation et les bandes interdites, et d'analyser le cas limite ω₁ = ω₂ (qui correspond à la chaîne monoatomique non dimérisée, où la bande interdite disparaît).

Interprétation topologique : les matrices de Pauli et l'invariant de Zak

La sous-partie 3 est la plus conceptuellement avancée du sujet et constitue l'une des questions les plus originales jamais posées dans un concours de classe préparatoire. Elle introduit les matrices de Pauli σ_x et σ_y pour décomposer la matrice dynamique D(k) sous la forme D(k) = d₀ 𝕀 + d_x(k) σ_x + d_y(k) σ_y.

La question 17 demande d'identifier explicitement d₀, d_x(k) et d_y(k) à partir de D(k). Un calcul direct donne d₀ = ω₁² + ω₂², d_x(k) = 2ω₁ω₂cos(ka) (la partie réelle du couplage) et d_y(k) = 2ω₁ω₂sin(ka) (la partie imaginaire). La question 18 est graphique et centrale : lorsque k parcourt la première zone de Brillouin [−π/(2a), π/(2a)], le vecteur d(k) = (d_x(k), d_y(k))^T décrit une trajectoire dans le plan (Oxy). La question demande de tracer cette trajectoire et de distinguer les deux cas ω₁ > ω₂ et ω₁ < ω₂.

C'est le moment révélateur du sujet : quand ω₁ > ω₂, la trajectoire est une ellipse (ou courbe fermée) qui ne contourne pas l'origine ; quand ω₁ < ω₂, la trajectoire contourne l'origine. Cette différence topologique ne peut pas être éliminée par une déformation continue de la chaîne tant qu'on ne ferme pas la bande interdite (ω₁ = ω₂). Les deux phases sont topologiquement distinctes.

La question 19 quantifie cette observation par l'invariant topologique ν = (1/2π) × ∫ dφ(k), où φ(k) est l'angle formé par d(k) avec l'axe Ox, intégré sur toute la zone de Brillouin. Géométriquement, ν est simplement le nombre de tours effectués par le vecteur d(k) autour de l'origine : ν = 0 quand ω₁ > ω₂ (la trajectoire ne contourne pas l'origine) et ν = 1 quand ω₁ < ω₂ (elle le contourne une fois). Cet invariant, appelé nombre d'enroulement ou invariant de Zak, est l'analogue mécanique du nombre de Chern en physique de la matière condensée.

La question 20 applique ce résultat à une interface entre deux chaînes SSH d'invariants topologiques ν_g et ν_d différents : le nombre de modes localisés dans la bande interdite à cette interface est exactement |ν_g − ν_d|. Ce résultat, appelé principe de correspondance bord-volume (bulk-edge correspondence), est la prédiction la plus frappante de la topologie en physique des ondes : on peut prédire l'existence de modes de bord en calculant seulement des propriétés du volume des deux demi-chaînes, sans résoudre le problème de l'interface. La question 21 demande de représenter qualitativement le profil spatial du mode de bord pour ω₁_g/ω₂_g = 0,7 (phase topologique non triviale à gauche) et d'expliquer pourquoi on parle de mode de bord : le mode est exponentiellement localisé à l'interface, exactement comme le mode évanescent de la question 15.

Ondes équatoriales et états de bord topologiques dans l'océan

Mise en équation : ondes de surface en eau peu profonde avec rotation

La deuxième partie est indépendante de la première dans sa mise en équation, mais entièrement dépendante d'elle dans son interprétation. Elle s'intéresse aux ondes à la surface des océans équatoriaux, gouvernées par les équations des eaux peu profondes en rotation, et montre que ces ondes obéissent à une physique strictement analogue à la chaîne SSH.

La question 22 demande d'identifier les deux équations du système (1) : la première est l'équation de continuité (conservation de la masse pour un fluide incompressible en eau peu profonde), la seconde est l'équation d'Euler (conservation de la quantité de mouvement) avec la force de Coriolis. La question 23 exprime le paramètre de Coriolis f = 2Ω sin(l̂) en fonction de la latitude l̂ (Ω est la vitesse angulaire de rotation de la Terre) : f s'annule à l'équateur (l̂ = 0) et vaut ±2Ω aux pôles. La question 24 écrit les trois composantes de la force de Coriolis F_c = −f e_z ∧ u en fonction des composantes u et v du champ de vitesse horizontal. La question 25 linéarise le système autour d'un état de repos avec h = H + η, η ≪ H, et obtient le système linéarisé gouvernant les petites oscillations.

Hypothèse de Lord Kelvin : modes de Poincaré et mode géostrophique

La sous-partie 2 introduit l'hypothèse de Lord Kelvin : à une latitude donnée, le paramètre de Coriolis f est localement constant, égal à f₀ = 2Ω sin(l̂). Cette approximation, dite approximation du plan f, permet de chercher des solutions en ondes planes de la forme Ψ(x, y, t) = Ψ₀ × exp(i(k_x x + k_y y − ωt)).

La question 26 montre que les équations linéarisées se réduisent à un problème aux valeurs propres MΨ₀ = ωΨ₀, où M est une matrice 3×3 en k_x, k_y, H, g et f₀. La question 27 donne la relation de dispersion obtenue en calculant det(M − ωI) = 0 : il y a trois branches, deux non-nulles (modes de Poincaré, analogues aux modes optiques et acoustiques de la chaîne SSH) et une branche plate ω = 0 (mode géostrophique). La question 28 montre que la vitesse de propagation à haute fréquence est c = √(gH), la vitesse des ondes de surface en eau peu profonde.

La question 29 demande de tracer les trois branches de dispersion pour k_y = 0 dans le plan (k_x, ω) et pour les trois cas f₀ = 1, f₀ = 0, f₀ = −1. La comparaison entre f₀ = 0 (sans rotation) et f₀ ≠ 0 (avec rotation) est instructive : la rotation ouvre un gap entre les modes de Poincaré et le mode géostrophique, exactement comme l'alternance β₁ ≠ β₂ ouvre un gap dans la chaîne SSH. La question 30 identifie les bandes interdites.

À chacune des trois branches on peut associer un invariant topologique C, dont les valeurs sont données dans l'énoncé : {C^(−), C^(0), C^(+)} = {2, 0, −2} × signe(f₀). Le mode géostrophique a toujours un invariant nul (C^(0) = 0), tandis que les modes de Poincaré ont des invariants de signe opposé.

Le cas équatorial : l'équateur comme interface topologique

La sous-partie 3 est l'aboutissement de tout le sujet et constitue sa contribution la plus originale. À l'équateur, f s'annule et change de signe : f = βy avec β = 2Ω/R_Terre (R_Terre étant le rayon de la Terre). L'équateur est donc une interface naturelle entre l'hémisphère nord (f > 0) et l'hémisphère sud (f < 0), c'est-à-dire entre deux milieux de topologies différentes selon les valeurs des invariants topologiques.

La question 31 formalise cette observation : au nord de l'équateur (y > 0, f > 0), les invariants sont {2, 0, −2}, tandis qu'au sud (y < 0, f < 0), ils sont {−2, 0, 2}. La différence des invariants topologiques entre les deux hémisphères est donc |ν_g − ν_d| = |2 − (−2)| = 4 pour les modes de Poincaré. Par le principe de correspondance bord-volume, on prédit l'existence de modes localisés à l'équateur dont le nombre total est égal à cette différence d'invariants. La question 32 réécrit l'opérateur matriciel M(y) en tenant compte de la dépendance en y de f = βy.

Matsuno a montré en 1966 que les valeurs propres de ce problème satisfont l'équation ω²/c² − k_x² − βk_x/ω = (2n+1)β/c pour n ∈ ℕ, ainsi qu'une solution supplémentaire correspondant à l'onde de Kelvin : ω = k_xc. Ces solutions, représentées sur la figure du sujet avec les modes de Poincaré (n ≥ 1), les modes de Rossby(n ≥ 1), le mode de Yanai (n = 0 de l'équation de Matsuno) et le mode de Kelvin, constituent le spectre complet des ondes équatoriales.

La question 33 demande de compter les modes qui transitent dans les bandes interdites de l'hypothèse de Kelvin (où f était constant) et de vérifier que ce nombre est compatible avec la différence des invariants topologiques. Les modes topologiques attendus sont exactement les ondes de Yanai et de Kelvin : deux modes traversant la bande interdite, conformément à la prédiction |ν_g − ν_d| = 2 pour chaque bande. C'est la vérification expérimentale de la correspondance bord-volume dans un contexte géophysique réel.

La question 34 évalue la vitesse de phase des ondes de Rossby : v_phase = ω/k_x = −β/(k_x² + β(2n+1)/c) < 0, ce qui signifie qu'elles se propagent toujours vers l'ouest. Ce résultat fondamental de l'océanographie est ici dérivé de façon analytique propre. La question 35 calcule la vitesse de groupe des ondes de Rossby et montre qu'elle change de signe pour une longueur d'onde critique λ_c = 2π√(c/(β(2n+1))) : les ondes de Rossby longues (λ > λ_c) se propagent vers l'est (vitesse de groupe positive), tandis que les ondes courtes se propagent vers l'ouest avec le flux de phase. La question 36, qui conclut le sujet, explique le rôle de l'onde de Kelvin dans El Niño : c'est une onde de bord topologique, localisée à l'équateur et se propageant vers l'est avec la vitesse c = √(gH) sans dispersion. Lors des épisodes El Niño, cette onde transporte l'énergie thermique des eaux chaudes de l'Indopacifique vers les côtes du Pérou en quelques mois, provoquant l'accumulation d'eaux chaudes au large de l'Amérique du Sud et les perturbations climatiques associées.