Analyse du sujet de Mathématiques D MP ENS 2026 : approximations probabilistes

Partie préliminaire : lois de Poisson et inégalités exponentielles

La partie préliminaire, indépendante du reste du sujet, posait les outils de base sur la loi de Poisson de paramètre lambda, notée Z_lambda, de loi P(Z_lambda = n) = (lambda^n / n!) * exp(-lambda) pour tout entier n >= 0.

La question (1) demandait de calculer la fonction génératrice de Z_lambda, c'est-à-dire E[z^{Z_lambda}] = exp(lambda(z-1)) pour tout z dans R. C'est un calcul de référence issu du cours, mais qui servait de fondation directe pour la suite.

La question (2) établissait des inégalités de Chernoff pour la loi de Poisson. La sous-question (2a) demandait de montrer que pour tous u, r > 0, on a P(Z_lambda >= r) <= exp(-ur) * E[exp(u * Z_lambda)]. Il s'agissait d'une application directe de l'inégalité de Markov à la variable aléatoire exp(u * Z_lambda). Les sous-questions (2b) et (2c) en déduisaient les bornes exponentielles optimisées : pour r >= lambda, P(Z_lambda >= r) <= exp(-r * ln(r) + r * ln(lambda) + r - lambda), et pour r dans ]0, lambda], P(Z_lambda <= r) <= exp(-r * ln(r) + r * ln(lambda) + r - lambda). L'optimisation de u dans l'inégalité de Chernoff donnait u = ln(r/lambda), ce qui conduisait à ces bornes après calcul. Ces inégalités sont fondamentales en probabilités algorithmiques et en apprentissage statistique.

La question (3) demandait de montrer que ln(k!) <= (k+1)*ln(k) - k + 1 pour tout entier k >= 1. Cette borne sur le factoriel, plus fine que la borne triviale k! <= k^k, se démontre par comparaison série-intégrale : ln(k!) = somme des ln(j) pour j de 1 à k, et on majore chaque ln(j) par une intégrale convenable.

Partie 1 : opérateur de Chen-Stein et approximation poissonienne

L'opérateur de Chen-Stein

La partie 1.1 introduisait l'opérateur de Chen-Stein L_lambda, défini pour toute fonction f : N -> R par (L_lambda * f)(n) = lambda * f(n+1) - n * f(n). On notait F l'espace des fonctions bornées sur N munies de la norme sup, et G_lambda l'espace des fonctions f telles que f(Z_lambda) soit L^1, muni de la norme ||f||_(lambda) = E[|f(Z_lambda)|].

La question (4) établissait les propriétés de base de cet opérateur. La sous-question (4a) demandait de vérifier que la norme ||.||(lambda) est bien une norme sur G_lambda : seule la séparation demandait un véritable argument, reposant sur le fait que f(Z_lambda) = 0 presque sûrement et Z_lambda prend toutes les valeurs de N avec probabilité strictement positive implique f = 0. La sous-question (4b) montrait que L_lambda est une application linéaire continue de F dans G_lambda : on avait ||(L_lambda * f)||(lambda) = E[|lambda * f(Z_lambda + 1) - Z_lambda * f(Z_lambda)|] <= lambda * ||f||_infini + E[Z_lambda] * ||f||_infini = 2*lambda * ||f||_infini. La sous-question (4c) étendait le résultat : si f est dans F et X est une variable aléatoire L^1 à valeurs dans N, alors L_lambda * f(X) est aussi L^1, par les mêmes majorations.

La question (5) était le cœur théorique de la méthode de Chen-Stein. La sous-question (5a) demandait de montrer que X suit une loi de Poisson de paramètre lambda si et seulement si E[L_lambda * f(X)] = 0 pour tout f dans F. C'est la caractérisation de Stein-Chen de la loi de Poisson : la loi de Poisson est l'unique mesure de probabilité sur N qui annule l'opérateur de Stein associé. La démonstration de l'implication directe reposait sur un calcul direct de E[Z_lambda * f(Z_lambda)] par la formule de la loi de Poisson. La démonstration de la réciproque nécessitait de montrer que la connaissance de E[L_lambda * f(X)] pour toutes les fonctions indicatrices 1_{A} détermine entièrement la loi de X. La sous-question (5b) montrait qu'il n'existe pas de solution f dans F à l'équation L_lambda * f = g lorsque E[g(Z_lambda)] est différent de zéro : c'est une condition de compatibilité analogue au théorème de Fredholm.

La question (6) demandait de montrer l'existence et l'unicité d'une fonction h_g : N -> R vérifiant h_g(0) = 0 et L_lambda * h_g = g, avec la formule explicite h_g(k+1) = (1 / (lambda * P(Z_lambda = k))) * somme de j=0 à k de P(Z_lambda = j) * g(j). C'est l'équation de Stein résolue par récurrence : h_g(k+1) est déterminé par h_g(k) et les valeurs de g, ce qui permet de construire la solution pas à pas. La question (7) établissait la borne ||h_g||_infini <= e * ||g||_infini lorsque E[g(Z_lambda)] = 0, en utilisant les inégalités sur ln(k!) établies en partie préliminaire.

La question (8) était le résultat central de la section 1.1 : pour toute variable aléatoire X à valeurs dans N, on avait

sup_{A subset N} |P(X dans A) - P(Z_lambda dans A)| <= e * sup {E[L_lambda * f(X)] : f dans F, ||f||_infini <= 1}.

Cette inégalité quantifie la distance en variation totale entre la loi de X et la loi de Poisson de paramètre lambda, en termes de l'opérateur de Stein évalué en X. C'est le résultat fondamental de la méthode de Chen-Stein, qui permet d'obtenir des bornes quantitatives sur la qualité de l'approximation poissonienne.

Sommes de variables aléatoires et approximation poissonienne

La partie 1.2 appliquait la méthode de Chen-Stein à l'approximation poissonienne de la somme W = X_1 + ... + X_N de variables de Bernoulli de paramètres p_1, ..., p_N dans ]0,1[, avec lambda = somme des p_i et B_1 = somme des p_i^2.

Dans la section 1.2.1, les variables étaient supposées indépendantes. La question (9a) demandait de montrer la formule clé E[L_lambda * f(W)] = somme de i=1 à N de p_i * E[f(W+1) - f(W_i + 1)], où W_i = W - X_i. Cette formule découplait la contribution de chaque variable X_i à l'opérateur de Stein. La question (9b) en déduisait la borne sup_{A} |P(W dans A) - P(Z_lambda dans A)| <= 2eB_1, qui est la borne de Chen-Stein classique : la distance en variation totale entre la loi de W et la loi de Poisson de paramètre lambda est contrôlée par B_1 = somme des p_i^2, qui mesure le degré d'inhomogénéité des paramètres. Plus les p_i sont petits et égaux, meilleure est l'approximation.

La question (10) appliquait ce résultat à la loi binomiale : pour Y_n de loi binomiale B(n, lambda/n), on montrait que |P(Y_n = k) - (lambda^k * exp(-lambda) / k!)| <= 2elambda^2/n pour tout k >= 0 et n >= 1. Ce résultat classique, qui quantifie la convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson, découle directement de la borne de Chen-Stein avec p_i = lambda/n et B_1 = n * (lambda/n)^2 = lambda^2/n.

La section 1.2.2 traitait le cas des variables dépendantes, plus délicat. Pour chaque i, on définissait D_i comme l'ensemble des indices j != i tels que X_i et X_j ne sont pas indépendantes, T_i = somme_{j dans D_i} X_j, et S_i = W - T_i - X_i. On posait p_ij = E[X_i * X_j], B_2 = somme des p_i * p_j (somme sur i et j dans D_i), et B_3 = somme des p_ij (même domaine de sommation). La question (11) établissait la décomposition de E[L_lambda * f(W)] en deux termes tenant compte de la dépendance. La question (12) en déduisait la borne générale sup_{A} |P(W dans A) - P(Z_lambda dans A)| <= 2e(B_1 + B_2 + B_3), où B_2 mesure les dépendances de premier ordre et B_3 les corrélations directes.

Partie 2 : inégalités de concentration

Espérance conditionnelle

La partie 2.1 rappelait la définition de l'espérance conditionnelle E[X|Y] comme la variable aléatoire phi(Y) où phi(y) = E[X * 1_{Y=y}] / P(Y=y) si P(Y=y) > 0, et 0 sinon. La question (13) établissait les propriétés fondamentales : positivité presque sûre si X >= 0 presque sûrement (13a), appartenance à L^1 et loi des espérances itérées E[E[X|Y]] = E[X] (13b), conditionnement sur une fonction de X : E[g(X)|X] = g(X) presque sûrement pour toute fonction bornée g (13c), et linéarité pour des fonctions de Y : E[h(Y)*X|Y] = h(Y)E[X|Y] presque sûrement pour toute fonction h bornée (13d). La question (14) traitait l'indépendance : si X et Y sont indépendantes, E[X|Y] = E[X] presque sûrement (14a) ; si Z est indépendante du couple (X,Y), alors E[XZ|Y] = E[Z]E[X|Y] presque sûrement (14b) ; et la linéarité E[X + lambdaZ|Y] = E[X|Y] + lambdaE[Z|Y] presque sûrement (14c).

Un énoncé abstrait et l'inégalité de concentration

La partie 2.2 était la section la plus abstraite et la plus puissante du sujet. Elle introduisait la notion de couple échangeable (W, W') : un couple tel que (W, W') et (W', W) ont la même loi. On considérait une fonction F : E^2 -> R bornée et antisymétrique (F(x,y) = -F(y,x)), et on posait phi(W) = E[F(W, W')|W].

La question (15) établissait une identité clé : pour toute fonction h bornée, E[h(W)*phi(W)] = E[h(W)*F(W,W')] = (1/2)*E[(h(W)-h(W'))*F(W,W')], et E[phi(W)] = 0. Cette symétrisation, liée à l'échangeabilité du couple, est le point de départ de toutes les inégalités de Poincaré et de type Efron-Stein.

On posait ensuite Delta(W) = (1/2)E[|(phi(W)-phi(W'))F(W,W')| | W] et m(theta) = E[exp(thetaphi(W))], et on admettait l'existence de constantes B >= 0 et C >= 0 telles que Delta(W) <= Bphi(W) + C presque sûrement. La question (16a) montrait que m est dérivable et que m'(theta) = (1/2)E[(exp(thetaphi(W)) - exp(thetaphi(W')))F(W,W')]. La question (16b) en déduisait l'inégalité différentielle m'(theta) <= Bthetam'(theta) + Cthetam(theta), puis par résolution : ln(m(theta)) <= Ctheta^2 / (2(1-B*theta)) pour theta dans [0, 1/B[.

La question (17) concluait la partie 2 : en prenant theta = t/(C + B*t) (valeur optimale), on obtenait l'inégalité de concentration

P(|phi(W)| >= t) <= 2 * exp(-t^2 / (2C + 2B*t))

pour tout t >= 0. Cette inégalité de type Bernstein généralise l'inégalité de Hoeffding (obtenue pour B = 0) et l'inégalité de Bennett. C'est un résultat central de la théorie de la concentration de la mesure.

Partie 3 : applications

Sommes de variables indépendantes : inégalité de Bernstein

La partie 3.1 appliquait le cadre abstrait de la partie 2 aux sommes de variables indépendantes bornées. Soient X_1, ..., X_N des variables indépendantes à valeurs dans R avec |X_i| <= K, et S_N = somme des X_i. On considérait un indice aléatoire I uniforme sur {1,...,N}, indépendant des X_i, et S'_N = S_N - X_I + X'_I où X'_I est une copie indépendante de X_I.

La question (18) demandait de montrer que (S_N, S'_N) est un couple échangeable (18a) et que E[X_I | S_N] = S_N / N presque sûrement (18b). La question (19) demandait de montrer l'inégalité de Bernstein-Hoeffding : pour tout t >= 0,

P(|S_N - E[S_N]| >= t) <= 2 * exp(-t^2 / (somme des (c_i^2 + sigma_i^2)))

où sigma_i^2 = Var(X_i) et |X_i - mu_i| <= c_i presque sûrement. L'indication suggérait de prendre F(x,y) = N*(x-y), ce qui donnait phi(S_N) = S_N - E[S_N] via le calcul de l'espérance conditionnelle. La question (20) traitait le cas particulier 0 <= X_i <= 1 et obtenait la borne P(|S_N - E[S_N]| >= t) <= 2 * exp(-t^2 / (2*E[S_N] + t)), qui est l'inégalité de Bernstein avec variance empirique.

Permutations aléatoires

La partie 3.2 traitait les permutations aléatoires. Soit pi_N une permutation uniforme de {1,...,N}, I et J deux indices uniformes indépendants de pi_N. On posait pi'N = pi_N composée par la transposition (I,J), et S_N = somme des a{i, pi_N(i)} pour une matrice (a_{i,j}) avec 0 <= a_{i,j} <= 1.

La question (21) demandait de montrer que (pi_N, pi'_N) est un couple échangeable, ce qui découle du fait que composer par une transposition uniforme conserve la loi uniforme sur les permutations. La question (22a) établissait l'inégalité

somme sur i,j de (a_{i,pi(i)} + a_{j,pi(j)} - a_{i,pi(j)} - a_{j,pi(i)})^2 <= 2 * somme sur i,j de (a_{i,pi(i)} + a_{j,pi(j)} + a_{i,pi(j)} + a_{j,pi(i)})

qui permettait de contrôler Delta(S_N) par une constante. La question (22b) en déduisait l'inégalité de concentration P(|S_N - E[S_N]| >= t) <= 2 * exp(-t^2 / (4E[S_N] + 2t)).

La question (23) demandait de montrer que la probabilité que pi_N ait au moins k points fixes est au plus 2*exp(-k/12). Ce résultat, qui quantifie la concentration du nombre de points fixes d'une permutation aléatoire autour de son espérance (qui vaut 1 pour la loi uniforme), est une application directe de l'inégalité de concentration avec la matrice a_{i,j} = 1_{i=j}.

Magnétisation dans le modèle de Curie-Weiss

La partie 3.3 était la plus ambitieuse du sujet, et la plus éloignée du programme de prépa. Elle traitait le modèle de Curie-Weiss, un modèle de mécanique statistique sur les spins. On considérait une variable aléatoire X = (X_1,...,X_N) à valeurs dans {-1,+1}^N dont la loi est donnée par

P(X = (sigma_1,...,sigma_N)) = (1/Z_N) * exp(beta/N * somme sur i<j de sigma_isigma_j + betah * somme des sigma_i)

où beta >= 0 est la température inverse et h est le champ magnétique extérieur. La magnétisation moyenne m(X) = (1/N) * somme des X_i est la quantité physique centrale.

La question (24) demandait de montrer que E[X_{i_0} | (X_j){j != i_0}] = tanh(beta*m{i_0}(X) + beta*h) presque sûrement, où m_{i_0}(X) = (1/N) * somme des X_j pour j != i_0. Ce calcul, qui repose sur la structure de la loi de Gibbs, est la relation d'auto-cohérence fondamentale du modèle de Curie-Weiss.

La question (25) construisait le couple échangeable (X, X') : on choisissait un indice I uniforme indépendant de X, on gardait X'_j = X_j pour j != I, et on tirait X'_I conditionnellement aux autres composantes selon la loi conditionnelle de X_I donnée ses voisines. La sous-question (25a) calculait la constante de normalisation C, et la sous-question (25b) montrait que (X, X') est bien échangeable. La question (26) donnait une expression explicite de la fonction phi(X) = E[F(X, X')|X] pour F(sigma, sigma') = somme des (sigma_i - sigma'_i), à savoir phi(X) = somme des tanh(betam_i(X) + betah) - somme des X_i, qui mesure l'écart entre la magnétisation observée et la magnétisation d'équilibre prédite par le champ moyen.

La question (27) concluait le sujet : on montrait d'abord que |(1/N) * somme des tanh(betam_i(X) + betah) - tanh(betam(X) + betah)| <= beta/N, ce qui repose sur la lipschitzianité de tanh, puis on en déduisait l'inégalité de concentration

P(|m(X) - tanh(betam(X) + betah)| >= beta/N + t/sqrt(N)) <= 2 * exp(-t^2 / (4*(1+beta)))

pour tout t >= 0. Cette inégalité montre que la magnétisation m(X) est concentrée autour des solutions de l'équation de champ moyen m = tanh(betam + betah), avec des fluctuations de l'ordre de 1/sqrt(N).