Analyse du sujet de Mathématiques B X/ESPCI 2026 (MP-MPI) : spectre de matrices de Toeplitz, approximation de Weierstrass et matrices aléatoires

Le préliminaire : une suite récurrente d'ordre 2 aux multiples visages

La question 1 posait le décor en demandant d'exprimer le terme général u_n d'une suite récurrente d'ordre 2 définie par u_0 = 0, u_1 = 1 et u_n = alpha * u_{n-1} - u_{n-2} pour tout n supérieur ou égal à 2, en distinguant soigneusement quatre cas selon la valeur de |alpha|.

Ce préliminaire n'est pas anodin : il s'agit précisément du polynôme caractéristique de la matrice tridiagonale T_n qui structurera toute la partie II. L'équation caractéristique associée à la récurrence est r² - alpha * r + 1 = 0, dont le discriminant est alpha² - 4. Les quatre régimes correspondent aux quatre régimes spectraux de la matrice T_n que l'on va étudier. Quand |alpha| > 2, les racines sont réelles distinctes et la suite est de nature hyperbolique (combinaison linéaire d'exponentielles réelles). Quand |alpha| < 2, les racines sont complexes conjuguées de module 1 et la suite est de nature trigonométrique, ce qui donne u_n = sin(n * theta) / sin(theta) en posant alpha = 2 * cos(theta). Quand alpha = 2, on est à la transition (racine double 1) et la suite est simplement u_n = n. Quand alpha = -2, la racine double est -1 et u_n = n * (-1)^{n+1}.

Ce préliminaire demandait une maîtrise solide des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 et une gestion rigoureuse des cas. Un candidat qui a su traiter proprement les quatre régimes en explicitant les formules correctes a posé les bases pour la partie II. La connexion avec l'expression trigonométrique dans le cas |alpha| < 2, précisément de la forme 2 cos(k*pi/(n+1)) pour les valeurs propres de T_n, était la clé de voûte de tout le sujet.

Première partie : sommes de Riemann et loi de Chebyshev

Questions 2 à 4 : convergence de sommes de Riemann et densité de Chebyshev

La première partie s'ouvre sur une question classique de convergence de sommes de Riemann (question 2), mais avec une subtilité : les deux suites v_n et w_n ne sont pas exactement des sommes de Riemann au sens habituel puisque les points d'évaluation sont respectivement k/(n+1) et 2k/(2n+1), et non k/n. Il fallait reconnaître que ces deux suites sont des approximations de l'intégrale de f sur [0,1] par des sommes de Riemann à pas variable, et montrer leur convergence commune vers l'intégrale de f sur [0,1] en utilisant la continuité uniforme de f sur le compact [0,1].

La question 3 introduit l'intégrale I(f) = (1/pi) * intégrale de -2 à 2 de f(x) / sqrt(4 - x²) dx et demande de montrer sa convergence puis de l'exprimer comme (1/pi) * intégrale de 0 à pi de f(2 cos(theta)) d theta par le changement de variable x = 2 cos(theta). Ce changement de variable est fondamental : la mesure (1/pi) * dx / sqrt(4 - x²) sur [-2, 2] est précisément la mesure de Chebyshev (ou mesure d'arc sinus), mesure spectrale classique associée aux matrices de Toeplitz symétriques tridiagonales. Reconnaître cette mesure était une clé de lecture du sujet entier, même si ce vocabulaire n'était pas explicitement utilisé.

Les questions 4a et 4b montrent que l'espérance de f(2 cos(pi * U_n / (n+1))), où U_n est uniforme sur {1, ..., n}, converge vers I(f). C'est un résultat de loi des grands nombres probabiliste qui relie les sommes discrètes aux intégrales continues via la mesure de Chebyshev. La question 4b demande de plus de montrer la convergence en loi vers la loi de Chebyshev, ce qui constituait un exercice d'identification de fonction de répartition parmi les questions les plus élaborées de cette première partie.

Difficulté et stratégie dans la première partie

La première partie était accessible aux candidats bien préparés en analyse et en probabilités, à condition de reconnaître rapidement le lien entre les sommes de Riemann généralisées et les intégrales via la continuité uniforme. La question 3a, sur la convergence de l'intégrale impropre, demandait une justification rigoureuse : la singularité de 1/sqrt(4 - x²) aux bornes ±2 est intégrable car de type 1/sqrt(4 - x²) ~ 1/(2*sqrt(2 - x)) au voisinage de x = 2, intégrable comme puissance inférieure à 1. La question 3c sur le calcul explicite de I(f_n) pour f_n(x) = x^n était une invitation à mobiliser les moments de la mesure de Chebyshev, calculables par les formules de Wallis appliquées aux puissances de cosinus.

Deuxième partie : spectre de la matrice tridiagonale T_n

Questions 5 et 6 : polynôme caractéristique et valeurs propres

La deuxième partie est le coeur algébrique du sujet. Elle porte sur la matrice tridiagonale T_n, matrice n x n symétrique dont les entrées sont 1 sur les deux sous-diagonales adjacentes à la diagonale principale et 0 partout ailleurs. La matrice T_n est exactement la matrice T_n(0, 1, 1) dans la notation générale introduite plus loin dans le sujet.

La question 5a demande de calculer les polynômes caractéristiques pour n = 2 et n = 3. Pour n = 2, T_2 = [[0,1],[1,0]] et chi_2(X) = X² - 1. Pour n = 3, un calcul de déterminant 3x3 par développement donne chi_3(X) = X³ - 2X. La question 5b demande d'établir la relation de récurrence chi_n(X) = X * chi_{n-1}(X) - chi_{n-2}(X) pour n supérieur ou égal à 4, obtenue par développement du déterminant selon la première ligne ou la dernière colonne. Cette relation est précisément celle du préliminaire avec alpha = X, et le résultat de la question 1 dans le cas |alpha| < 2 donne immédiatement la formule de la question 5c pour chi_n(alpha) lorsque |alpha| < 2.

La question 6, centrale dans le sujet, demande de montrer que les valeurs propres de T_n sont exactement 2 cos(k*pi/(n+1)) pour k = 1, ..., n. C'est un résultat classique de l'algèbre linéaire spectrale, mais la démonstration rigoureuse passe par la formule de la question 5c : chi_n(2 cos(theta)) = sin((n+1)*theta) / sin(theta), et les zéros de chi_n sont exactement les valeurs de 2 cos(k*pi/(n+1)) pour k = 1, ..., n (qui correspondent à theta = k*pi/(n+1)). Vérifier que ces n valeurs sont distinctes et identifier chi_n comme polynôme de degré n était requis pour une démonstration complète.

Questions 7 à 9 : convergence spectrale et matrices généralisées T_n(a,b,c)

La question 7 est la synthèse spectaculaire des deux premières parties. Elle demande de montrer que la moyenne spectrale S_f(T_n) = (1/n) * somme des f(lambda_k) sur les valeurs propres de T_n converge vers I(f) quand n tend vers l'infini. La preuve utilise le fait que les valeurs propres sont 2 cos(k*pi/(n+1)) et que la somme est une somme de Riemann pour l'intégrale de f(2 cos(theta)) sur [0, pi], qui vaut exactement I(f) par la question 3. C'est la connexion entre les parties I et II, et l'un des moments les plus satisfaisants du sujet.

Les questions 8 et 9 généralisent au cas de la matrice T_n(a, b, c), matrice tridiagonale avec a sur la diagonale principale, b sur la sur-diagonale et c sur la sous-diagonale. Les questions 8a et 8b montrent que le spectre de T_n(a, b, c) se déduit de celui de T_n(0, b, c) par translation de a, et que le spectre de T_n(0, b, c) se déduit de celui de T_n(0, sqrt(bc), 1) par une mise à l'échelle. La question 8c, sous l'hypothèse bc > 0, exprime les valeurs propres complexes explicites de T_n(a, b, c) en fonction de a, b, c et n, en utilisant la formule de la question 6 appliquée à T_n(0, sqrt(bc), 1).

La question 9a est une belle généralisation de la question 7 : la moyenne spectrale de T_n(a, b, c) converge vers une intégrale I(f) décalée et mise à l'échelle, reflétant le fait que la mesure spectrale asymptotique est la mesure de Chebyshev centrée en a et dilatée par sqrt(bc). La question 9b demande un équivalent du nombre de valeurs propres dans un intervalle, c'est-à-dire la fonction de répartition asymptotique de la mesure spectrale, qui est précisément la fonction de répartition de la loi de Chebyshev reparamétrisée.

Troisième partie : une démonstration du théorème de Weierstrass

Questions 10 à 12 : convergence des polynômes de Bernstein généralisés

La troisième partie est indépendante des deux premières et propose une démonstration originale et élégante du théorème d'approximation de Weierstrass : toute fonction continue sur un compact peut être approchée uniformément par des polynômes. Ce théorème est l'un des résultats fondamentaux de l'analyse, et l'énoncé précise explicitement que son utilisation est interdite dans les questions 10 à 12, ce qui oblige les candidats à construire la preuve de toutes pièces.

L'approche choisie passe par les polynômes Q_n = (1 - X²)^{2n} et P_n = Q_n((1-X)/2). La question 10a demande de montrer que Q_n converge uniformément vers 1 sur [0, kappa] pour tout kappa < 1/2 et vers 0 sur [1 - kappa, 1], résultat qui découle directement du fait que (1 - x²)^{2n} tend vers 0 géométriquement vite dès que x est écarté de 0. La question 10b déduit la convergence uniforme de P_n vers la fonction de Heaviside H sur [-1, 1] privé de [-eta, eta], ce qui signifie que les polynômes P_n approchent uniformément des fonctions à saut.

La question 11 construit ensuite une approximation polynomiale d'une fonction continue f avec f(-1) = 0 par une somme finie de fonctions de Heaviside décalées, avec des coefficients contrôlés. C'est la partie la plus délicate de la démonstration : il s'agit de décomposer f en une somme finie de fonctions étagées, chacune approchée par un polynôme. La condition f(-1) = 0 est technique mais nécessaire pour contrôler les sommes. La question 12 lève cette restriction et conclut la démonstration générale du théorème de Weierstrass en combinant les questions 10, 11 et l'indication fournie dans l'énoncé.

Une partie accessible et gratifiante

La troisième partie était probablement la plus accessible du sujet pour les candidats ayant une bonne maîtrise de l'analyse réelle et des convergences uniformes. Elle ne demandait pas de connaissances spécifiques hors programme, et la démarche proposée par l'énoncé était guidée avec des indications claires. Un candidat qui a su montrer proprement la convergence uniforme de Q_n sur les deux intervalles de la question 10a disposait de la pièce maîtresse pour enchaîner les questions. La gestion des epsilon dans les questions 11 et 12 requérait de la rigueur, mais l'architecture de la démonstration était suffisamment balisée pour ne pas perdre le fil.

Quatrième partie : matrices aléatoires de Wigner et loi du demi-cercle

Structure et enjeu de la quatrième partie

La quatrième et dernière partie constitue le sommet de difficulté et d'ambition du sujet. Elle introduit une famille de matrices aléatoires symétriques X_n dont les entrées sont des variables aléatoires indépendantes, de carré intégrable, centrées et de variance 1 (pour les entrées diagonales et sur-diagonales), normalisées par sqrt(n). C'est exactement la structure des matrices de Wigner, dont le théorème de convergence spectrale est l'un des résultats fondateurs de la théorie des matrices aléatoires.

L'objectif de la partie est de démontrer que la mesure spectrale empirique de X_n converge en probabilité vers la loi du demi-cercle, de densité (1/(2*pi)) * sqrt(4 - x²) sur [-2, 2]. Ce résultat, dit théorème de Wigner, est un analogue probabiliste de la loi des grands nombres pour les valeurs propres de matrices aléatoires. La densité du demi-cercle est précisément reliée à la mesure de Chebyshev de la partie I par la relation sqrt(4 - x²) / (2*pi) = (1/pi) * (1/sqrt(4 - x²)) * (4 - x²) / 2.

Questions 13 à 17 : de la trace aléatoire à la convergence en probabilité

La question 13a établit que la variable aléatoire S_n(f_k), définie comme la moyenne spectrale de X_nappliquée à f_k(x) = x^k, est égale à (1/n) * Tr(X_n^k). C'est le lien fondamental entre les statistiques spectrales et les traces de puissances de matrices. La question 13b demande de calculer Sigma(f_k), la limite espérée des traces normalisées, ce qui revient à calculer les moments de la loi du demi-cercle. Les moments pairs de la loi du demi-cercle sont les nombres de Catalan, un résultat classique mais non trivial. La question 13c demande de vérifier l'hypothèse (H_k) pour k = 0, 1, 2, c'est-à-dire de montrer que (1/n) * E(Tr(X_n^k)) converge vers Sigma(f_k) pour les petites puissances.

Les questions 14 et 15 établissent des inégalités de type Markov permettant de contrôler les grandes déviations de S_n(g_{k,B}) où g_{k,B}(x) = |x|^k * 1_{|x| > B}. Ces inégalités sont les ingrédients techniques nécessaires pour montrer que la contribution des grandes valeurs propres est négligeable. La question 16 montre que S_n(f_k) concentre autour de son espérance E(S_n(f_k)), c'est-à-dire que la fluctuation de la trace normalisée autour de sa moyenne tend vers 0 en probabilité. C'est une loi des grands nombres pour les statistiques spectrales.

Les questions 17a et 17b concluent la démonstration par un argument de densité : toute fonction continue f à support compact peut être approchée par un polynôme (théorème de Weierstrass de la partie III, dont l'utilisation est maintenant autorisée !), et la convergence pour les polynômes entraîne la convergence pour f. La question 17b conclut que S_n(f) converge en probabilité vers Sigma(f) pour toute fonction continue à support compact, ce qui est précisément l'énoncé de la convergence en loi vers la mesure de Weyl du demi-cercle.

Une partie IV accessible uniquement pour les meilleurs

La quatrième partie était clairement destinée à séparer les meilleurs candidats. Elle mobilise simultanément des connaissances avancées en probabilités (variables aléatoires indépendantes, convergence en probabilité, inégalité de Markov), en algèbre linéaire (trace de puissances de matrices, moments spectraux), et en analyse (densité de la loi du demi-cercle, théorème de Weierstrass comme outil). La connexion avec la partie III, où la démonstration de Weierstrass avait été construite précisément pour pouvoir être utilisée ici, était une belle cohérence architecturale du sujet. Les candidats qui avaient réussi à la fois la partie III et les premiers outils de la partie IV pouvaient apprécier cette construction progressive.