Les polynômes de Legendre : cours et propriétés

Définition et premiers polynômes

Les polynômes de Legendre (Pₙ)ₙ≥₀ peuvent se définir par la formule de Rodrigues :
Pₙ(x) = (1 / (2ⁿ · n!)) · dⁿ/dxⁿ [ (x² − 1)ⁿ ].
Pₙ est un polynôme de degré n. On les normalise traditionnellement de sorte que Pₙ(1) = 1 pour tout n. Les premiers s'écrivent :

• P₀(x) = 1

• P₁(x) = x

• P₂(x) = (3x² − 1) / 2

• P₃(x) = (5x³ − 3x) / 2

• P₄(x) = (35x⁴ − 30x² + 3) / 8

• P₅(x) = (63x⁵ − 70x³ + 15x) / 8
  On remarque dès ces premiers termes une alternance : les Pₙ d'indice pair ne contiennent que des puissances paires de x, ceux d'indice impair que des puissances impaires. Cette régularité n'est pas un hasard : elle découle d'une propriété de parité démontrée plus bas.

La formule de Rodrigues en pratique

La formule de Rodrigues est utile pour démontrer des propriétés, mais lourde pour le calcul. Vérifions-la tout de même sur P₂. On part de (x² − 1)² = x⁴ − 2x² + 1. Sa dérivée première vaut 4x³ − 4x, sa dérivée seconde 12x² − 4. On divise par 2² · 2! = 8 : (12x² − 4)/8 = (3x² − 1)/2. On retrouve bien P₂.
En pratique, dès que l'indice grandit, on lui préfère la relation de récurrence, beaucoup plus économique.

La relation de récurrence

Plutôt que de dériver la formule de Rodrigues à chaque fois, on construit les polynômes de proche en proche grâce à la relation de récurrence à trois termes :
(n + 1) · Pₙ₊₁(x) = (2n + 1) · x · Pₙ(x) − n · Pₙ₋₁(x).
À partir de P₀ = 1 et P₁ = x, pour n = 1 : 2·P₂ = 3x·x − 1·1 = 3x² − 1, d'où P₂ = (3x² − 1)/2. Pour n = 2 : 3·P₃ = 5x·P₂ − 2·P₁ = (15x³ − 5x)/2 − 2x = (15x³ − 9x)/2, d'où P₃ = (5x³ − 3x)/2. Pour n = 3 : 4·P₄ = 7x·P₃ − 3·P₂ = (35x⁴ − 21x²)/2 − (9x² − 3)/2 = (35x⁴ − 30x² + 3)/2, d'où P₄ = (35x⁴ − 30x² + 3)/8.
C'est cette récurrence, et non la formule de Rodrigues, qu'on utilise pour tabuler les polynômes ou les programmer.

La fonction génératrice

Une autre manière, plus synthétique, d'encoder toute la famille : la fonction génératrice. Pour |t| < 1, on a
1 / √(1 − 2xt + t²) = Σₙ≥₀ Pₙ(x) · tⁿ.
Autrement dit, les Pₙ(x) sont exactement les coefficients du développement en série entière de cette fonction par rapport à t. Cette identité explique l'omniprésence des polynômes de Legendre en physique : le terme 1/√(1 − 2xt + t²) est précisément la forme que prend l'inverse d'une distance lorsqu'on développe le potentiel créé par une charge (développement multipolaire). On y reviendra dans la dernière section.

L'équation différentielle de Legendre

Pₙ est solution de l'équation différentielle de Legendre :
(1 − x²) · y″ − 2x · y′ + n(n + 1) · y = 0.
Cette équation surgit naturellement lorsqu'on sépare les variables dans des problèmes à symétrie sphérique (équation de Laplace en coordonnées sphériques, par exemple). L'entier n(n + 1) y joue le rôle d'une valeur propre, et Pₙ celui de la solution polynomiale associée — la seule, parmi les solutions, à rester bornée sur tout l'intervalle [−1, 1].

L'orthogonalité

C'est la propriété la plus importante en pratique. Sur l'intervalle [−1, 1], muni du produit scalaire usuel (poids 1), les polynômes de Legendre sont deux à deux orthogonaux :
∫ de −1 à 1 de Pₘ(x)·Pₙ(x) dx = 0 si m ≠ n, et = 2 / (2n + 1) si m = n.
La famille (Pₙ) constitue donc une base orthogonale de l'espace des polynômes pour ce produit scalaire. Conséquence directe : toute fonction de carré intégrable sur [−1, 1] peut s'approcher par projection sur les premiers Pₙ, ses coefficients se calculant un à un sans avoir à résoudre de système. La norme au carré de Pₙ valant 2/(2n + 1), le coefficient de la projection sur Pₙ s'obtient en divisant ∫ f·Pₙ par cette quantité.
On peut vérifier l'orthogonalité de P₁ et P₂ sans calcul : le produit x·(3x² − 1)/2 est une fonction impaire, et l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique est nulle.

Les racines et la quadrature de Gauss

Pₙ possède n racines réelles distinctes, toutes situées dans l'intervalle ouvert ]−1, 1[. Cette propriété, partagée par les familles de polynômes orthogonaux, a une application numérique majeure : la quadrature de Gauss-Legendre. L'idée est d'approcher une intégrale ∫ de −1 à 1 de f(x) dx par une somme pondérée f évaluée aux racines de Pₙ. Avec seulement n points bien choisis (les racines de Pₙ), la méthode calcule exactement l'intégrale de tout polynôme de degré au plus 2n − 1 — une efficacité que les méthodes à points équirépartis n'atteignent pas.

Valeurs particulières et parité

Trois propriétés utiles pour vérifier un calcul : Pₙ(1) = 1, Pₙ(−1) = (−1)ⁿ, et Pₙ(−x) = (−1)ⁿ · Pₙ(x). La dernière traduit la parité observée plus haut : Pₙ est pair si n est pair, impair si n est impair. Parmi les relations entre dérivées, on retient souvent (2n + 1)·Pₙ(x) = P′ₙ₊₁(x) − P′ₙ₋₁(x), commode pour intégrer ou dériver un Pₙ sans repasser par son expression développée.

Applications

Au-delà du cours, les polynômes de Legendre interviennent dans plusieurs contextes. En physique, le développement multipolaire du potentiel (gravitationnel ou électrostatique) fait apparaître les Pₙ via la fonction génératrice : ils décrivent les contributions successives (monopôle, dipôle, quadripôle…) à grande distance. En analyse numérique, la quadrature de Gauss-Legendre en fait un outil de calcul d'intégrales. En approximation, leur orthogonalité permet de projeter proprement une fonction sur un espace de polynômes, ce qui limite les oscillations parasites qu'on observe parfois avec une simple interpolation.