Les lois de Snell-Descartes : cours, schémas et exercices
Les lois de Snell-Descartes expliquées avec schémas : réflexion, réfraction, indice de réfraction, formule n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂, angle limite et réflexion totale, exercices corrigés.
Les lois de Snell-Descartes décrivent ce qui arrive à un rayon lumineux quand il rencontre la surface séparant deux milieux transparents : une partie se réfléchit, une partie se réfracte en changeant de direction. Ce sont les lois fondamentales de l'optique géométrique, et elles se comprennent mieux sur un schéma.
Le vocabulaire de base
Quelques termes à fixer avant tout, tous visibles sur le schéma. Le dioptre est la surface qui sépare les deux milieux. La normale est la droite perpendiculaire au dioptre au point d'incidence. On mesure tous les angles par rapport à la normale, jamais par rapport à la surface. L'indice de réfraction n d'un milieu est défini par n = c/v, où c est la vitesse de la lumière dans le vide et v sa vitesse dans le milieu : il vaut environ 1 pour l'air, 1,33 pour l'eau et 1,5 pour un verre courant.
Première loi : la réflexion
Le rayon incident, le rayon réfléchi et la normale sont dans un même plan. Surtout, l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence :
i₁ = i₁′
C'est cette loi qui régit le fonctionnement des miroirs : un rayon qui arrive à 30° de la normale repart à 30° de l'autre côté.
Deuxième loi : la réfraction
Le rayon réfracté reste lui aussi dans le plan d'incidence, et les angles sont liés par la relation de Snell-Descartes :
n₁ · sin i₁ = n₂ · sin i₂
On en tire une lecture simple. Quand la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent (par exemple air → verre, n₁ < n₂), le rayon se rapproche de la normale : i₂ < i₁. Dans l'autre sens (verre → air), il s'en écarte. C'est exactement ce que montre le rayon rouge du schéma, qui « plonge » vers la normale en entrant dans le verre.
Exemple chiffré
Un rayon passe de l'air (n₁ = 1) au verre (n₂ = 1,5) avec un angle d'incidence i₁ = 35°.
On applique la deuxième loi : sin i₂ = (n₁ · sin i₁) / n₂ = (1 × sin 35°) / 1,5 ≈ 0,574 / 1,5 ≈ 0,382.
D'où i₂ = arcsin(0,382) ≈ 22,5°. Le rayon s'est bien rapproché de la normale en entrant dans le milieu plus réfringent.
Réflexion totale et angle limite
Quand la lumière va d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent (verre → air), le rayon réfracté s'écarte de la normale. À mesure que i₁ augmente, i₂ grandit plus vite et finit par atteindre 90° : le rayon réfracté « rase » alors la surface. L'angle d'incidence correspondant est l'angle limite i_lim.
Au-delà de i_lim, il n'y a plus de rayon réfracté : toute la lumière est renvoyée dans le premier milieu, c'est la réflexion totale. L'angle limite se calcule en posant i₂ = 90° dans la loi de la réfraction :
sin i_lim = n₂ / n₁ (avec n₁ > n₂)
Pour une interface verre → air : sin i_lim = 1 / 1,5 ≈ 0,667, soit i_lim ≈ 41,8°. Ce phénomène est précisément ce qui guide la lumière dans les fibres optiques.
Exercices corrigés
Exercice 1. Un rayon passe de l'eau (n = 1,33) à l'air (n = 1) avec i₁ = 30°. Quel est l'angle de réfraction ?
Correction : sin i₂ = (1,33 × sin 30°) / 1 = 1,33 × 0,5 = 0,665, donc i₂ = arcsin(0,665) ≈ 41,7°. Le rayon s'écarte de la normale (eau → air), ce qui est cohérent.
Exercice 2. Quel est l'angle limite pour une interface eau (1,33) → air (1) ?
Correction : sin i_lim = 1 / 1,33 ≈ 0,752, donc i_lim ≈ 48,8°. Au-delà de cet angle, un plongeur voit la surface se comporter comme un miroir.
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