Le rang d'une matrice : définition et méthode de calcul

Qu'est-ce que le rang d'une matrice ?

Le rang d'une matrice A, noté rg(A), est le nombre maximal de colonnes linéairement indépendantes de A. On démontre qu'il est aussi égal au nombre maximal de lignes linéairement indépendantes : le rang « par les lignes » et le rang « par les colonnes » coïncident toujours.
Autrement dit, rg(A) est la dimension du sous-espace engendré par les colonnes de A (son image). Pour une matrice A de taille n × p, on a toujours 0 ≤ rg(A) ≤ min(n, p).
Concrètement : si une colonne est combinaison linéaire des autres, elle n'apporte rien au rang. Le rang compte les colonnes « vraiment utiles ».

Le lien avec l'indépendance linéaire

Trois lectures équivalentes du rang, utiles selon le contexte :

• Par les colonnes — rg(A) = dimension de l'espace engendré par les colonnes (l'image de l'application linéaire associée).

• Par les lignes — rg(A) = nombre de lignes non nulles après échelonnement.

• Par les déterminants — rg(A) = taille du plus grand bloc carré extrait de A dont le déterminant est non nul.
  En pratique, c'est la lecture « par les lignes » qui donne la méthode de calcul la plus rapide.

Calculer le rang par échelonnement (pivot de Gauss)

La méthode standard consiste à échelonner la matrice par opérations élémentaires sur les lignes, puis à compter les pivots. Le point clé : les opérations élémentaires (échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, ajouter à une ligne un multiple d'une autre) ne changent pas le rang.
La démarche tient en trois étapes. Étape 1 — placer un pivot non nul en haut à gauche. Étape 2 — annuler tous les coefficients situés en dessous de ce pivot. Étape 3 — recommencer sur la sous-matrice restante. Une fois la matrice échelonnée, le rang est simplement le nombre de lignes non nulles.

Exemple complet

Prenons la matrice :

[ 1 2 3 ]
[ 2 4 6 ]
[ 1 1 1 ]

On élimine sous le premier pivot : L2 ← L2 − 2·L1 donne (0 0 0), et L3 ← L3 − L1 donne (0 −1 −2). La matrice devient :

[ 1 2 3 ]
[ 0 −1 −2 ]
[ 0 0 0 ]

Il reste deux lignes non nulles, donc rg(A) = 2. On le vérifie « à la main » : la deuxième colonne est le double de la première… non, mais la deuxième ligne est le double de la première, ce qui explique la ligne nulle obtenue. Deux directions indépendantes subsistent : le rang vaut bien 2.

Propriétés du rang à connaître

Quelques résultats à avoir en réflexe pour les colles et les concours :

• Transposée — rg(Aᵀ) = rg(A).

• Inversibilité — une matrice carrée A de taille n est inversible si et seulement si rg(A) = n.

• Théorème du rang — pour A de taille n × p : dim(noyau) + rg(A) = p.

• Produit — rg(AB) ≤ min(rg(A), rg(B)).
  Ces propriétés relient le rang à l'inversibilité et à la résolution des systèmes linéaires.

Erreurs fréquentes et cas particuliers

La matrice nulle a un rang égal à 0 : c'est le seul cas. Une matrice non nulle a toujours un rang d'au moins 1.
Attention à ne pas confondre « ligne nulle après calcul » et « ligne nulle au départ » : ce sont bien les opérations d'échelonnement qui révèlent les dépendances. Autre piège courant : oublier qu'on ne peut multiplier une ligne que par un scalaire non nul sous peine de fausser le rang. Enfin, pour une matrice carrée, un déterminant nul signifie seulement que le rang est strictement inférieur à la taille — il ne dit pas lequel.