La suite de Fibonacci : définition, étude mathématique et résultats fondamentaux
La suite de Fibonacci constitue un exemple fondamental de suite définie par récurrence linéaire d’ordre 2
Dumonteil-Divies Lila
La suite de Fibonacci constitue un exemple fondamental de suite définie par récurrence linéaire d’ordre 2. Bien que sa définition soit élémentaire, elle possède une structure mathématique riche qui en fait un objet privilégié pour l’étude de la récurrence, des suites linéaires, de la convergence, des équivalents et des méthodes de diagonalisation. Elle permet également d’introduire des outils généraux utilisés pour résoudre des relations de récurrence linéaires à coefficients constants.
Définition et premières propriétés
Définition par récurrence
La suite de Fibonacci, notée (𝐹𝑛)𝑛∈N, est définie par :
et pour tout entier 𝑛 ≥ 2,
Il s’agit d’une suite récurrente linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants.
Calcul des premiers termes
En appliquant la relation de récurrence, on obtient : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Ces valeurs permettent d’anticiper la croissance de la suite et de formuler des conjectures sur son comportement asymptotique.
Étude élémentaire de la croissance
Positivité et monotonie
On montre par récurrence que, pour tout 𝑛≥1, 𝐹 ≥ 0. De plus, pour tout 𝑛≥2,
ce qui implique que la suite est croissante à partir du rang 1, et strictement croissante à partir du rang 2.
Divergence de la suite
La croissance de la suite et la relation de récurrence montrent que (𝐹𝑛 ) est non bornée. On en déduit que :
Résolution de la relation de récurrence
Recherche d’une solution de type exponentiel
On cherche des solutions de la forme 𝐹 =rⁿ ,avec 𝑟 ≠ 0. En injectant dans la relation de récurrence, on obtient :
soit, après division par rⁿ⁻²,
Cette équation caractéristique est :
Racines de l’équation caractéristique
Le discriminant vaut Δ = 5, d’où deux racines réelles distinctes :
Expression explicite : formule de Binet
Écriture générale de la solution
Toute suite vérifiant la relation de récurrence s’écrit sous la forme :
où 𝑎 et 𝑏 sont des constantes réelles.
Détermination des constantes
À l’aide des conditions initiales :
On obtient :
Formule de Binet
Pour tout entier 𝑛 ≥ 0,
Cette expression explicite permet une étude précise du comportement asymptotique de la suite.
Étude asymptotique
Équivalent de 𝐹𝑛
Comme |ψ| < 1, on a ψⁿ → 0 quand n → +∞
Cet équivalent est fondamental pour comparer la suite de Fibonacci à des suites géométriques.
Limite du rapport de deux termes consécutifs
On montre que :
Cette convergence est classique en prépa et constitue un exercice-type mêlant suites et limites.
Suites associées et méthodes classiques
Étude de la suite des rapports
On peut montrer que la suite (Fₙ₊₁ / Fₙ) est monotone et convergente, ce qui fournit une autre approche pour introduire le nombre d’or.
Méthode matricielle (approche avancée)
La suite de Fibonacci peut être définie par :
Cette écriture permet d’utiliser la diagonalisation de matrices pour retrouver la formule de Binet, et constitue une méthode élégante et puissante, souvent exploitée dans les sujets exigeants.
