La suite arithmétique : définition, formules et méthode

La suite arithmétique, c'est quoi ? Définition

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même quantité. Cette quantité constante s'appelle la raison de la suite arithmétique, et on la note généralement r.

Autrement dit, une suite (uₙ) est une suite arithmétique de raison r si, pour tout entier n :

uₙ₊₁ = uₙ + r

Par exemple, la suite 3, 7, 11, 15, 19… est une suite arithmétique de raison r = 4 : on ajoute 4 à chaque étape. La suite 20, 17, 14, 11… est aussi une suite arithmétique, mais de raison r = −3 (la raison peut être négative).

La raison d'une suite arithmétique

La raison est l'élément central de la suite arithmétique. Pour la trouver, il suffit de calculer la différence entre deux termes consécutifs :

r = uₙ₊₁ − uₙ

Cette différence est constante dans une suite arithmétique : c'est même le critère qui permet de reconnaître ce type de suite. Si la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même, alors la suite est arithmétique ; sinon, elle ne l'est pas. Le signe de la raison renseigne aussi sur le sens de variation : une suite arithmétique est croissante si r > 0, décroissante si r < 0, et constante si r = 0.

Le terme général d'une suite arithmétique

L'intérêt majeur de la suite arithmétique est qu'on peut calculer n'importe quel terme directement, sans calculer tous les précédents. C'est la formule du terme général :

uₙ = u₀ + n·r

où u₀ est le premier terme et r la raison. Si la suite commence à u₁ plutôt qu'à u₀, la formule de la suite arithmétique devient uₙ = u₁ + (n − 1)·r. Plus généralement, on peut relier deux termes quelconques par uₙ = uₚ + (n − p)·r.

Cette formule est l'outil le plus puissant de la suite arithmétique : elle permet, par exemple, de calculer le 100ᵉ terme sans écrire les 99 premiers.

La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique

Autre grand classique : calculer la somme des termes d'une suite arithmétique. La formule à retenir est :

S = (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) / 2

Par exemple, pour la somme des termes de u₀ à uₙ (soit n + 1 termes) :

S = (n + 1) × (u₀ + uₙ) / 2

L'idée intuitive derrière cette formule de la suite arithmétique remonte à une astuce célèbre : pour additionner 1 + 2 + 3 + … + 100, on regroupe les termes par paires de même somme (1 + 100, 2 + 99, …), ce qui donne 50 × 101 = 5050. Cette même logique s'applique à toute suite arithmétique.

Suite arithmétique ou suite géométrique ? La différence

Il ne faut surtout pas confondre la suite arithmétique et la suite géométrique :

• Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours la même raison r : uₙ₊₁ = uₙ + r (croissance linéaire).

• Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par la même raison q : uₙ₊₁ = uₙ × q (croissance exponentielle).

La suite arithmétique progresse donc « en ligne droite » (de façon régulière), tandis que la géométrique s'emballe (ou s'effondre) de plus en plus vite. Repérer si l'énoncé parle d'une différence constante (arithmétique) ou d'un rapport constant (géométrique) est le premier réflexe à avoir.

Exemples corrigés de suite arithmétique

Exemple 1 — Terme général. Soit la suite arithmétique de premier terme u₀ = 5 et de raison r = 3. Calculer u₁₀.
On applique la formule : u₁₀ = u₀ + 10·r = 5 + 10 × 3 = 35.

Exemple 2 — Trouver la raison. Une suite arithmétique vérifie u₂ = 11 et u₆ = 27. Quelle est sa raison ?
On utilise uₙ = uₚ + (n − p)·r : u₆ = u₂ + (6 − 2)·r, donc 27 = 11 + 4r, d'où 4r = 16 et r = 4.

Exemple 3 — Somme. Calculer la somme S = 2 + 4 + 6 + … + 100. C'est une suite arithmétique de raison 2, allant de 2 à 100, soit 50 termes.
S = 50 × (2 + 100) / 2 = 50 × 102 / 2 = 50 × 51 = 2550.

Applications concrètes de la suite arithmétique

La suite arithmétique modélise toutes les situations à progression régulière : une épargne où l'on ajoute la même somme chaque mois, un salaire qui augmente d'un montant fixe par an, des places de théâtre disposées en rangées de plus en plus grandes (chaque rangée a un nombre de places supérieur de r à la précédente), ou encore un remboursement à mensualités constantes. Reconnaître une suite arithmétique dans un énoncé concret, c'est déjà la moitié du travail.

Prérequis attendus à l'entrée en prépa

À l'entrée en prépa (ECG comme filière scientifique), la maîtrise de la suite arithmétique est considérée comme acquise. On attend que tu saches reconnaître une suite arithmétique, déterminer sa raison, écrire son terme général et calculer une somme, sans hésitation. Ces bases sont ensuite réinvesties dans l'étude générale des suites : sens de variation, limites, raisonnement par récurrence, et comparaison avec les suites géométriques. Une suite arithmétique bien comprise au lycée fait gagner un temps précieux dès les premières semaines de prépa.