Concours X–ENS 2026 : analyse du sujet de Mathématiques A (MP-MPI)
Le concours X–ENS demeure, année après année, l’une des épreuves les plus sélectives et les plus révélatrices du niveau réel des candidats de classes préparatoires scientifiques.
Eline Le Berre
Le concours X–ENS demeure, année après année, l’une des épreuves les plus sélectives et les plus révélatrices du niveau réel des candidats de classes préparatoires scientifiques. L’épreuve de Mathématiques A, proposée le lundi 13 avril 2026, n’a pas dérogé à cette exigence. À travers un problème dense, structuré et profondément ancré dans l’analyse matricielle et l’algèbre linéaire, elle a cherché à distinguer les étudiants capables de mobiliser à la fois rigueur, intuition et endurance intellectuelle. L’étude du sujet permet de comprendre les attentes du jury et d’identifier les compétences clés valorisées dans ce concours d’excellence.
Une architecture classique au service d’une montée en puissance maîtrisée
Un préambule exigeant mais balisé
Dès les premières pages, le sujet installe un cadre théorique solide autour des espaces vectoriels complexes, du produit scalaire hermitien et des normes matricielles. Le candidat est invité à manipuler des notions fondamentales telles que la norme subordonnée, le conditionnement d’une matrice ou encore les matrices unitaires et hermitiennes.
Ce préambule n’est pas anodin : il constitue une boîte à outils indispensable pour la suite du problème. Les résultats admis, comme la diagonalisation unitaire ou les propriétés des valeurs propres, permettent de gagner du temps à condition d’être parfaitement maîtrisés. Les premières questions visent à vérifier cette maîtrise, sans réelle difficulté technique mais avec une exigence de rigueur formelle.
Des préliminaires révélateurs du niveau attendu
Les questions préliminaires prolongent ce travail en demandant de démontrer des propriétés classiques sur les normes matricielles : inégalités de submultiplicativité, invariance par transformation unitaire, ou encore liens avec les valeurs propres. Ces résultats, souvent connus, doivent ici être redémontrés proprement. C’est un point essentiel du concours X–ENS : la connaissance ne suffit pas, elle doit s’accompagner d’une capacité à reconstruire les raisonnements. Les candidats les plus solides prennent ici une avance décisive.
Un cœur de problème ambitieux : entre analyse complexe et matrices
Le principe du maximum : un pont entre analyse et algèbre
La première grande partie introduit une version matricielle du principe du maximum pour les polynômes. À travers une construction astucieuse faisant intervenir une matrice unitaire dépendant d’un complexe (z), le sujet établit une majoration du module d’un polynôme en fonction de sa norme sur le cercle unité. Cette partie est particulièrement révélatrice de l’esprit du sujet : il ne s’agit pas simplement d’appliquer des résultats connus, mais de comprendre comment les adapter à un cadre matriciel. Le lien entre analyse complexe et algèbre linéaire est ici central, et seuls les candidats capables de naviguer entre ces deux univers pouvaient progresser efficacement.
L’inégalité de Von Neumann : un moment clé du sujet
La seconde partie s’attaque à une inégalité fondamentale reliant la norme d’un polynôme évalué en une matrice et sa norme sur le disque unité. La démonstration repose sur une construction matricielle ingénieuse et sur l’utilisation répétée des résultats du préambule.Ce passage est typiquement discriminant : il exige de la vision, de la persévérance et une capacité à exploiter des résultats intermédiaires parfois techniques. Les questions s’enchaînent logiquement, mais la difficulté réside dans la compréhension globale de la stratégie.
Une ouverture théorique de haut niveau : géométrie matricielle et conjecture
Le rayon numérique et l’ensemble de Hausdorff
La troisième partie introduit des notions plus avancées, comme l’ensemble de Hausdorff d’une matrice et le rayon numérique. Ces concepts permettent de relier les valeurs propres à des propriétés géométriques dans le plan complexe.
Le candidat doit ici faire preuve d’abstraction et d’aisance avec les objets géométriques associés aux matrices. La démonstration de propriétés comme la convexité ou les inégalités reliant norme et rayon numérique constitue un véritable test de maturité mathématique.
La conjecture de Crouzeix : une conclusion ambitieuse
La dernière partie aborde la conjecture de Crouzeix, un résultat de recherche encore relativement récent en analyse matricielle. Le sujet demande de montrer certaines inégalités et d’étudier des cas particuliers, sans exiger une résolution complète de la conjecture.
Cette ouverture vers la recherche est caractéristique du concours X–ENS. Elle valorise les candidats capables de prendre du recul, d’interpréter les résultats et de s’aventurer dans des terrains moins balisés. Même un traitement partiel permettait de marquer des points, conformément à l’indication explicite du sujet invitant au “grappillage”.
