Analyse du sujet de Physique XSR PSI 2026 : autour du monde ferroviaire, de la caténaire à la jonction PN

Quelques phénomènes physiques liés aux caténaires

Modélisation du fil et équation de d'Alembert

La première partie s'ouvre sur la physique du fil de caténaire, modélisé comme un fil mince de cuivre de masse linéique µ, tendu rectilignement entre deux poteaux distants de L_s, soumis à des petits déplacements verticaux. Le contexte est immédiatement concret : les caténaires des lignes à grande vitesse doivent être suffisamment tendues pour que la vitesse de propagation des ondes transverses soit supérieure à la vitesse des TGV, faute de quoi le pantographe génère des oscillations catastrophiques analogues au franchissement du mur du son.

La question 1 demande d'exprimer la masse linéique µ en fonction de la masse volumique du cuivre ρ_Cu et du rayon de section R_c, exercice d'application directe. Les questions 2 à 4 établissent progressivement l'équation de d'Alembert ∂²y/∂t² = (T/µ) × ∂²y/∂x², en passant par l'étude de l'élongation d'un tronçon élémentaire, la démonstration que la tension T est uniforme le long du fil (en l'absence de pesanteur et au premier ordre en l'angle α), et enfin l'application du principe fondamental de la dynamique à un tronçon de longueur dx. La célérité des ondes transverses se lit directement : c = √(T/µ).

La question 5 est une application numérique directe mais exigeante en termes d'ordre de grandeur : pour un TGV circulant à 300 km/h (soit environ 83 m/s), la célérité c doit être supérieure à v = 83 m/s. En estimant R_c à quelques millimètres pour un fil de cuivre, on trouve que la tension minimale T_min à appliquer est de l'ordre de plusieurs centaines de Newtons à quelques kilonewtons selon la valeur de R_c retenue. Cette question testait la capacité des candidats à mener un calcul d'ordre de grandeur rigoureux en substituant des valeurs numériques plausibles.

Tramways, géométrie en zigzag et questions d'application

La question 6 demande de proposer deux raisons physiques pour lesquelles les caténaires de tramways sont bien moins tendues que celles des LGV. La première raison est cinématique : les tramways circulent à des vitesses bien inférieures (typiquement 50 à 70 km/h), donc la condition c > v est bien moins contraignante. La deuxième raison est géométrique ou mécanique : les tramways ont des fils plus légers et des portées plus courtes entre poteaux, ce qui permet de maintenir une tension plus faible tout en garantissant une flèche acceptable.

La question 7 aborde la géométrie réelle des caténaires, qui ne sont pas rectilignes mais disposées en ligne brisée zigzaguant autour de la droite médiane entre les deux rails. Cette géométrie, dite en zigzag, a pour but de répartir l'usure du fil sur toute la largeur du frottoir du pantographe plutôt que de la concentrer en un seul point, évitant ainsi l'usure prématurée du fil et du pantographe. Cette question d'ouverture technique et qualitative était accessible à tous les candidats sérieux et permettait de marquer des points sans calcul.

Dimensionnement de l'entrefer d'une machine à courant continu

Champ magnétique dans l'entrefer et réfraction des lignes de champ

La deuxième partie est la plus longue et la plus ambitieuse du sujet. Elle étudie les limitations physiques qui imposent une épaisseur minimale à l'entrefer d'une machine à courant continu ferroviaire. Le contexte est clairement posé : on cherche à maximiser le champ magnétique dans l'entrefer pour maximiser le couple et la puissance de la machine, ce qui pousse à minimiser l'épaisseur de l'entrefer. Deux phénomènes s'y opposent : la dilatation thermique du rotor et le cisaillement de la couche d'air.

La sous-partie II.A commence par un rappel sur les matériaux ferromagnétiques, indispensable pour comprendre le fonctionnement de la carcasse statorique. La question 8 demande de préciser la différence entre un matériau ferromagnétique dur (cycle d'hystérésis large, aimant permanent une fois magnétisé) et un matériau ferromagnétique doux (cycle d'hystérésis étroit, facilement aimantable et désaimantable). Pour la carcasse du stator, on utilise un matériau doux, car la carcasse doit canaliser le flux magnétique sans générer de pertes par hystérésis importantes lors des variations cycliques du champ dues à la rotation du rotor.

La question 9 utilise les relations de passage de Maxwell aux interfaces magnétiques pour relier les composantes tangentielle et normale de B de part et d'autre de l'interface air/fer. La question 10 établit la loi de réfraction des lignes de champ, analogue à la loi de Snell-Descartes en optique : tan(α₁)/tan(α₂) = 1/µ_r, où α₁ est l'angle dans l'air et α₂ l'angle dans le fer. La question 11 demande un ordre de grandeur de µ_r pour le fer (typiquement µ_r ≈ 1000 à 10 000) et en déduit les deux cas limites : pour un angle dans le fer grand (α₂ ≈ 90°), les lignes de champ dans l'air sont quasi normales à l'interface (α₁ ≈ 0°) ; pour un angle dans le fer petit (α₂ ≈ 0°), les lignes de champ dans l'air sont quasi tangentielles (α₁ ≈ 0° aussi). La question 12 identifie que dans un moteur à courant continu, les lignes de champ dans l'entrefer sont radiales, ce qui correspond au premier cas limite.

Les questions 13 à 15 calculent le champ magnétique dans l'entrefer. La question 13 montre que la norme de B est uniforme dans le matériau ferromagnétique et dans l'entrefer, en utilisant la conservation du flux et la géométrie du circuit magnétique. La question 14 exprime les niveaux de H dans l'air (H_air = B/µ₀) et dans le fer (H_fer = B/(µ_r µ₀)), puis les densités volumiques d'énergie magnétique associées. La question 15 applique le théorème d'Ampère sur la ligne de champ moyenne pour établir la formule remarquable B = µ₀NI/(l/µ_r + 2e), où l est la longueur moyenne dans le fer, e l'épaisseur de l'entrefer, N le nombre de spires et I l'intensité. Cette formule montre que pour µ_r grand, le terme l/µ_r devient négligeable devant 2e, et que B est essentiellement contrôlé par l'entrefer. La question 16 en déduit pourquoi on cherche à minimiser l'épaisseur de l'entrefer : un entrefer plus mince donne un champ B plus intense pour le même courant d'excitation NI, ce qui augmente le couple et la puissance de la machine.

Cisaillement de l'air dans l'entrefer

La sous-partie II.B étudie l'écoulement de la couche d'air dans l'entrefer, en modélisant le rotor comme un cylindre de rayon R et de hauteur L tournant à la vitesse angulaire ω dans une carcasse statorique cylindrique de rayon intérieur R + e. L'objectif est de calculer la puissance mécanique perdue par le rotor pour cisailler cette couche d'air, et d'en déduire si l'épaisseur de l'entrefer est limitée par ce phénomène.

La question 17 rappelle la définition de l'échelle mésoscopique en mécanique des fluides (intermédiaire entre l'échelle moléculaire et l'échelle macroscopique), présente la notion de particule de fluide, et établit l'expression de la résultante volumique des forces de pression sur une particule cubique de fluide : f_pe = −grad(P). Cette question de rappel de cours testait la clarté de la pensée physique des candidats.

La question 18 écrit l'équation du mouvement de Navier-Stokes pour une particule de fluide d'air dans l'entrefer, en négligeant la pesanteur : ρ_air × dv/dt = −grad(P) + η × Δv. La question 19 exploite les symétries du problème en régime permanent (L ≫ R, rotation à vitesse constante) pour montrer que le champ de vitesse est purement azimutal et ne dépend que de r, puis établit les deux équations (2) : l'équilibre radial entre pression et force centrifuge, et l'équation de Stokes pour la composante azimutale de la vitesse.

La question 20 résout l'équation différentielle de Stokes en cherchant des solutions de la forme u(r) = kr^n : les deux solutions indépendantes sont r et 1/r, donnant u(r) = ar + b/r. Les conditions aux limites (vitesse du fluide égale à la vitesse de la surface du rotor en r = R, vitesse nulle au niveau de la carcasse statorique en r = R + e) permettent de déterminer a et b en fonction de R, e et ω.

Les questions 21 à 23 calculent le couple et la puissance mécanique dissipée. La question 21 retrouve l'équation différentielle de Stokes par le théorème du moment cinétique appliqué à un volume annulaire de fluide. La question 22 exprime le couple exercé par le rotor sur l'air en intégrant la contrainte de cisaillement visqueuse sur la surface du rotor. La question 23 déduit la puissance mécanique dissipée P_rotor/air = Γ_rotor/air × ω et en fait l'application numérique : pour des valeurs typiques (η = 1,7 × 10⁻⁵ Pa.s, L ≈ 1 m, R ≈ 1 m, e de l'ordre du millimètre, ω de l'ordre de quelques dizaines de rad/s), on trouve P_rotor/air de l'ordre de quelques watts à quelques dizaines de watts, très négligeable devant la puissance utile de 1 MW. Le cisaillement de l'air n'est donc pas la limitation principale pour l'épaisseur de l'entrefer.

Dilatation thermique du rotor

La sous-partie II.C, plus longue et plus calculatoire, étudie l'effet de l'échauffement du rotor sur son rayon. Deux sources d'échauffement internes sont identifiées à la question 24 : les pertes par effet Joule dans les bobinages rotoriques (résistance × intensité²) et les pertes par courants de Foucault et hystérésis dans la carcasse ferromagnétique. Ces deux sources dépendent de la vitesse angulaire ω du rotor via l'intensité du courant et la fréquence des cycles d'hystérésis.

La question 25 établit l'équation de bilan thermique en régime permanent pour le rotor, en coordonnées cylindriques. En utilisant la loi de Fourier (densité de flux thermique proportionnelle au gradient de température) et en supposant une production de puissance thermique volumique p_th uniforme, on aboutit à l'équation d/dr(r × j_th(r)) = r × p_th, où j_th(r) est la densité de flux thermique radiale.

La question 26 intègre cette équation pour obtenir j_th(r) = (p_th/2) × r et T(r) = −(p_th)/(4λ_Fe) × r² + C, où C est une constante déterminée par la condition aux limites à la surface du rotor (loi de Newton pour le flux convectif en r = R). La question 27 explicite cette constante C en termes de p_th, R, h (coefficient de convection), λ_Fe (conductivité thermique du fer) et T_air.

Les questions 28 à 31 calculent l'augmentation du rayon du rotor due à la dilatation thermique. La question 28 utilise le coefficient de dilatation thermique isobare β pour exprimer la masse volumique ρ(r) en fonction de ρ₀ et T(r) − T₀. La question 29 exprime la masse totale m du rotor sous forme intégrale et établit l'équation implicite (4) reliant p_th, R, R₀, λ_Fe, C et T₀. La question 30 montre, en supposant que p_th est faible (βp_th R²/(4λ_Fe) ≪ 1), que R ≈ R₀ × exp(β/2 × (C − T₀)), ce qui est la dilatation thermique du rayon. La question 31 demande enfin l'ordre de grandeur de l'augmentation relative (R − R₀)/R₀ due à l'échauffement en régime permanent. Avec les données numériques fournies, on trouve une dilatation relative de l'ordre du millième à quelques dixièmes de millimètre pour un rayon de 1 m, ce qui fixe l'ordre de grandeur minimal de l'épaisseur de l'entrefer : typiquement quelques millimètres. La dilatation thermique est donc bien la limitation physique dominante, et non le cisaillement de l'air.

Étude des jonctions de semi-conducteurs

Physique des semi-conducteurs et dopage

La troisième et dernière partie plonge dans la physique quantique des matériaux semi-conducteurs, qui fondent le fonctionnement des diodes et transistors de puissance utilisés dans les redresseurs, hacheurs et onduleurs des locomotives électriques. Cette partie est en grande partie indépendante des deux premières et constituait une opportunité de marquer des points pour les candidats ayant bien préparé ce chapitre.

L'introduction présente la théorie des bandes : bande de valence, bande de conduction, gap d'énergie E_g = E_C − E_V. Les électrons de valence peuvent, par agitation thermique, franchir le gap et atteindre la bande de conduction, laissant derrière eux un trou dans la bande de valence. Les trous se comportent comme des porteurs de charge positive +e, participant à la conduction électrique tout comme les électrons.

La question 32 justifie que dans le silicium dopé N (remplacement d'atomes Si par des atomes pentavalents), on a n_N ≈ n_D (le nombre d'électrons de conduction est à peu près égal au nombre d'atomes donneurs) et p_N ≈ n_i²/n_D (le produit n × p est conservé par l'agitation thermique et vaut n_i²). La question 33 demande des estimations numériques pour les deux niveaux de dopage (faible : 1 sur 10⁸, fort : 1 sur 10⁵) en utilisant la densité d'atomes de 10²⁹ m⁻³ et n_i = 2 × 10¹⁶ m⁻³ à 298 K. Ces calculs numériques mobilisaient les logarithmes et exponentielles fournis dans le formulaire, et testaient la capacité à manipuler des ordres de grandeur très étendus.

Formation de la jonction PN et zone de charge d'espace

La sous-partie III.B étudie la jonction PN obtenue en mettant en contact un semi-conducteur dopé P et un semi-conducteur dopé N. Les questions 34 à 36 décrivent qualitativement la formation de la zone de charge d'espace (ZCE). La question 34 identifie le sens du courant diffusif initial : les électrons diffusent du côté N vers le côté P (gradient de concentration), créant un courant ionique orienté selon +e_x. La question 35 explique comment cette diffusion génère une densité volumique de charge ρ_e non nulle au voisinage de l'interface, positive côté N (les donneurs ionisés restent, chargés positivement) et négative côté P (les accepteurs ionisés restent, chargés négativement). La question 36 déduit le champ électrique résultant, orienté du côté N vers le côté P (de la charge positive vers la charge négative), et le courant conductif qui s'y oppose au courant diffusif jusqu'à l'équilibre.

La question 37 demande de tracer les allures du potentiel électrostatique V(x), de la composante E_x du champ, et de la densité de charge ρ_e(x), à partir du profil énergétique donné sur la figure 7. Ces tracés sont des exercices graphiques classiques mais exigeants : le potentiel est une fonction croissante continue, le champ est nul hors ZCE et présente un minimum négatif dans la ZCE, et la densité de charge est créneau (positive côté N, négative côté P dans la ZCE abrupte).

La question 38 donne l'expression de la différence de potentiel de contact U₀ = (k_B T/e) × ln(n_D n_A / n_i²) et demande son ordre de grandeur. Pour des niveaux de dopage typiques, U₀ est de l'ordre de 0,5 à 0,7 V, ce qui correspond bien à la tension de seuil d'une diode silicium. Ce résultat, issu d'un raisonnement sur les niveaux d'énergie, est l'un des moments les plus satisfaisants de la partie III.

Relation courant-tension de la jonction PN : la loi de Shockley

La dernière sous-partie III.C est la plus calculatoire de la partie III. Elle établit la loi de Shockley I = I₀ × (exp(U/V_T) − 1) pour la jonction PN polarisée sous une tension U, en résolvant l'équation de diffusion des porteurs minoritaires de part et d'autre de la ZCE.

La sous-partie III.C.a étudie le matériau dopé P hors de la ZCE (x ≤ −a). La question 39 montre qu'en régime stationnaire, la densité d'électrons de conduction n(x) satisfait l'équation différentielle d²n/dx² = n(x)/(τ_n D_n) − n_p/(τ_n D_n), où τ_n est la durée de vie des électrons dans le matériau dopé P et D_n le coefficient de diffusion. La question 40 résout cette équation pour trouver n(x) = n_p + (n(−a) − n_p) × exp((x + a)/L_n), où L_n = √(τ_n D_n) est la longueur de diffusion des électrons. La question 41 en déduit l'intensité du courant d'électrons en x = −a.

La sous-partie III.C.b étudie la ZCE. La question 42 montre qu'en régime permanent dans la ZCE, le rapport dn/n est égal à (µ_n/D_n) × dV(x), ce qui est la relation d'Einstein entre mobilité et coefficient de diffusion présentée sous une autre forme. La question 43 intègre cette relation pour obtenir ln(n(−a)/n_N) = (µ_n/D_n)(U − U₀) et ln(n_p/n_N) = −(µ_n/D_n)U₀. La question 44 combine ces deux résultats pour montrer que n(−a) = n_p × exp(eU/(k_B T)), le facteur exponentiel reflétant l'abaissement de la barrière de potentiel par la tension appliquée.

La question 45 substitue cette expression dans la formule de l'intensité de la question 41, et la question 46 étend le raisonnement aux trous pour obtenir la loi de Shockley complète I = I₀ × (exp(U/V_T) − 1), où V_T = k_B T/e ≈ 26 mV à 25°C est la tension thermique et I₀ est le courant de saturation inverse. La question 47 demande de tracer l'allure de la caractéristique courant-tension en précisant les ordres de grandeur, en commentant les régimes de polarisation directe (U > V_T : courant exponentiel croissant) et inverse (U < 0 : courant saturé à −I₀ ≈ −1 pA). Ce tracé est l'aboutissement de toute la partie III et illustre parfaitement pourquoi la jonction PN fonctionne comme une valve électrique, laissant passer le courant dans un sens et le bloquant dans l'autre.